第十一章 区间估计

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1、第十一章第十一章 区间估计区间估计置信区间置信区间正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间第一节第一节 置信区间置信区间对应总体的某一个体的某一个样本本观测值，我，我们可以得到点估可以得到点估计量量的一个的一个观测值，但是它，但是它仅仅是参数是参数的一个近似的一个近似值. .由于由于 是一个随机是一个随机变量，它会随着量，它会随着样本的抽取而随机本的抽取而随机变化，不会化，不会总是和是和相等，而存在着或大、或小，或正、或相等，而存在着或大、或小，或正、或负的的误差差. .即便点估即便点估计量具量具备了很好的性了很好的性质，但是它本身无法，但是它本身无法反映反映这种近似的精确度，且无法种近似的精

2、确度，且无法给出出误差的范差的范围. .为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围，并知道为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围，并知道该范围包含真实值的可靠程度该范围包含真实值的可靠程度. .这样的范围通常以区间的形这样的范围通常以区间的形式给出，同时还要给出该区间包含参数式给出，同时还要给出该区间包含参数真实值的可靠程度真实值的可靠程度. .这种形式的估计称之为这种形式的估计称之为区间估计区间估计. .第一节第一节 置信区间置信区间例例 对明年小麦的亩产量作出估计为:若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为P(800X1000)=80%明年小麦亩产量八成为明年小麦亩产量八成为800-1000

3、800-1000斤斤. .区间估计区间估计第一节第一节 置信区间置信区间例例1 1某农作物的平均亩产量某农作物的平均亩产量X(X(单位单位) )服从正态分布服从正态分布N(N(, ,2 2),),今随机抽取今随机抽取100100亩进行试验亩进行试验, ,观察其亩产量值观察其亩产量值x x1 1,x,x2 2, ,x,x100100, ,基此算出基此算出 , ,因此因此的点估计值为的点估计值为500.500.由于抽由于抽 样的随机性样的随机性, , 的真值与的真值与 的值总有误差的值总有误差, ,我们希望以我们希望以95%95%的可靠度估计的可靠度估计 与与的最大误差是多少的最大误差是多少? ?

4、因为因为, ,从而存在从而存在c0,c0,使得使得, ,因此因此, , 这个这个c c就是可允许的最大误差就是可允许的最大误差第一节第一节 置信区间置信区间定义定义 设设X X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n是来自总体是来自总体f(x,f(x, ) )的样本的样本, , 未知未知, ,对于任给对于任给 （0 0 1),1),若有若有统计量统计量 则称随机区间则称随机区间 为为 的的双侧双侧1 1的的置信区间置信区间,1,1为为置信置信水平水平, ,使得使得 第一节第一节 置信区间置信区间第一节第一节 置信区间置信区间第一节第一节 置信区间置信区间第一节第一节 置信区间置信区间第一节第一节

5、 置信区间置信区间第一节第一节 置信区间置信区间这时必有这时必有 例例1 1某农作物的平均亩产量某农作物的平均亩产量X(X(单位单位) )服从正态分布服从正态分布N(N(, ,2 2),),今随机抽取今随机抽取100100亩进行试验亩进行试验, ,观察其亩产量值观察其亩产量值x x1 1,x,x2 2, ,x,x100100, ,基此算出基此算出 , ,因此因此的点估计值为的点估计值为500.500.由于抽由于抽 样的随机性样的随机性, , 的真值与的真值与 的值总有误差的值总有误差, ,我们希望以我们希望以95%95%的可靠度估计的可靠度估计 与与的最大误差是多少的最大误差是多少? ?因为因

6、为, ,因此因此, ,就是就是c c值，值，解解此处此处, ,2 2=100=1002 2，n=100,n=100,因此因此置信区间置信区间第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(N(, ,2 2) )的情形的情形一、均值估计（均值一、均值估计（均值的置信区间）的置信区间）1. 1. 2 2已知时已知时X X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n为取自为取自N(N(, ,2 2) )的样本的样本, ,求求的的1-1-置信区间置信区间第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(N(, ,2 2) )的情形的情形2.

7、2. 2 2未知时未知时第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(N(, ,2 2) )的情形的情形例例为估计一批钢索所能承受的平均张力（单位：为估计一批钢索所能承受的平均张力（单位：kg/cmkg/cm2 2），），从中随机抽取从中随机抽取1010个样品作试验，由实验数据算出个样品作试验，由实验数据算出 ， 假定张力服从正态分布，求平均张力的置信水平假定张力服从正态分布，求平均张力的置信水平为为95%95%的置信区间的置信区间. .解解第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(N(, ,2 2) )的情形的情形二

8、、方差的估计（方差二、方差的估计（方差2的置信区间）的置信区间）1. 1. 已知时已知时X X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n为取自为取自N(N(, ,2 2) )的样本的样本, ,求求2的的1-1-置信区间置信区间第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(N(, ,2 2) )的情形的情形1. 1. 未知时未知时第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间两个正态总体两个正态总体N(N(1 1, ,1 12 2), N(), N(2 2, ,2 22 2) )的情形的情形设设X X1 1,X,X2 2, ,X,Xm m为取自为取自N(N

9、(1 1, ,1 12 2) )的样本的样本, Y, Y1 1,Y,Y2 2, ,Y,Yn n为取自为取自N(N(2 2, ,2 22 2) )的样本的样本, ,且（且（X X1 1,X,X2 2, ,X,Xm m，）与，）与（Y Y1 1,Y,Y2 2, ,Y,Yn n）相互独立，求二总体均值差）相互独立，求二总体均值差1 1- - 2 2的的1-1-置信区间置信区间第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间两个正态总体两个正态总体N(N(1 1, ,1 12 2), N(), N(2 2, ,2 22 2) )的情形的情形1 1- - 2 2 的置信区间的置信区间1. 1. 1

10、 12 2, , 22已知时已知时第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间两个正态总体两个正态总体N(N(1 1, ,1 12 2), N(), N(2 2, ,2 22 2) )的情形的情形2. 2. 1 12 2= =2 22 2= =2 2未知时未知时第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间两个正态总体两个正态总体N(N(1 1, ,1 12 2), N(), N(2 2, ,2 22 2) )的情形的情形例例 甲、乙两台机床加工同一种零件，今在机床甲加工的零甲、乙两台机床加工同一种零件，今在机床甲加工的零件中随机抽取件中随机抽取9 9件，在乙加工的零件中随机

11、抽取件，在乙加工的零件中随机抽取6 6件，分件，分别测量零件的长度（单位：别测量零件的长度（单位：mmmm），由测得的数据可算出），由测得的数据可算出假定零件长度服从正态分布，试求两台机床加工零件长假定零件长度服从正态分布，试求两台机床加工零件长度的均值差度的均值差1 1- -2 2的水平为的水平为95%95%的置信区间。的置信区间。解解令令n n1 1=9,=9,n n2 2=6=6水平为水平为95%95%的的1 1- -2 2的置信区间为的置信区间为 -0.6056-0.6056，0.61640.6164例例1 1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从正态解解 (1)即分布 N( 2),

12、 现从某天的产品中随机抽 (1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间 (3) 求方差 2的置信区间.取 6 件, 测得直径为15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1置信度均为0.95 的置信区间为(2) 取查表由给定数据算得 2 的置信区间为(3) 选取枢轴量查表得 的置信区间为第三节第三节 抽样推断抽样推断我们在对社会问题的抽样调查中，通常关心的是总体中我们在对社会问题的抽样调查中，通常关心的是总体中具某种特性的个体的比率，所以我们在个体具备某种特具某种特性的个体的比率，所以我们在个体具备某种特性的时候性的时候 ，不具

13、备某种特性时，令其为，不具备某种特性时，令其为0 0，称样，称样本中具有某种特性的个体的百分数为样本成数。本中具有某种特性的个体的百分数为样本成数。样本成数的公式：样本成数的公式：第三节第三节 抽样推断抽样推断例例 欲调查某选区候选人欲调查某选区候选人A A获胜的百分比获胜的百分比 ，从该选区抽，从该选区抽取取25002500个选民进行民意测试，其中个选民进行民意测试，其中13281328人赞成选该候选人赞成选该候选人，则样本成均数为人，则样本成均数为 ，而总体成数，而总体成数 ，正是需推断的通常用样本成数，正是需推断的通常用样本成数 估计估计 ，其估计误，其估计误差为差为 - - 有时也称有

14、时也称 - - 为抽样误差，抽样误差为不为抽样误差，抽样误差为不可观察的。大小用标准差可观察的。大小用标准差 来度量，成为标准误。记来度量，成为标准误。记为为SESE第三节第三节 抽样推断抽样推断当抽样无放回时，统一用当抽样无放回时，统一用 计算标准误。计算标准误。而而 作为作为 的估计的估计 的分布由中心极限定理，可得的分布由中心极限定理，可得 的渐进分布：的渐进分布：对给定的对给定的 有有因此总体成数因此总体成数 的水平为的水平为 的渐进置倍区间为的渐进置倍区间为例例 某市大学生某市大学生19871987年注册的有年注册的有2500025000名，为调查住在家里的大学名，为调查住在家里的大学生的百分数，随机抽生的百分数，随机抽400400人，发现有人，发现有137137人住在家里，试求这批大人住在家里，试求这批大学生中住在家里所占的百分数的水平为学生中住在家里所占的百分数的水平为95%95%的近似置信区间。的近似置信区间。解：此处解：此处N=25000N=25000，n=400n=400，因此可将抽样看成有放回的，因此可将抽样看成有放回的， 因此因此最后得所求置信区间的观察值为（最后得所求置信区间的观察值为（75%75%，83%83%）