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1、19 七月 2024Page 1第第4 4节节广义坐标形式的广义坐标形式的静力学普遍方程静力学普遍方程19 七月 2024Page 2静力学普遍方程的特点静力学普遍方程的特点作为对比，单个质点平衡时作为对比，单个质点平衡时F=0在质点系中，通常受某些约束，各点的虚位在质点系中，通常受某些约束，各点的虚位移不独立，因此移不独立，因此19 七月 2024Page 3 若坐标独立，其虚位移（变分）是否独立？若坐标独立，其虚位移（变分）是否独立？今天的课堂内容，就是解决这样几个问题：今天的课堂内容，就是解决这样几个问题：广义坐标的概念广义坐标的概念自由度的概念自由度的概念如果虚位移都是独立的，会有什么
2、结果？如果虚位移都是独立的，会有什么结果？怎样选取独立的坐标？怎样选取独立的坐标？广义力的概念广义力的概念不独立不独立19 七月 2024Page 4能够唯一地确定质系可能位置的独立参数称为能够唯一地确定质系可能位置的独立参数称为广义坐标广义坐标。广义坐标数为：广义坐标数为：根根据据需需要要可可以以任任选选k个个可可以以确确定定质质系系可可能能位位置置的的独独立立参参数数 作作为为广广义义坐坐标标，它它们们可以是距离、角度、面积等。可以是距离、角度、面积等。广义坐标广义坐标空间质点系空间质点系平面质点系平面质点系N质点的数目；质点的数目；r约束方程的个数约束方程的个数空间刚体系空间刚体系平面刚
3、体系平面刚体系N刚体的数目；刚体的数目；r约束方程的个数约束方程的个数19 七月 2024Page 5实例分析实例分析利用广义坐标描述质系运动，利用广义坐标描述质系运动，几何约束自然满足几何约束自然满足OxyrlAB把把A、B看成是两个可运动的看成是两个可运动的质点，质点，广义坐标数为：广义坐标数为：N = 2OA、AB长度为约束，长度为约束，B点点上下运动也受约束，共有上下运动也受约束，共有3个约束方程个约束方程r = 3如果考虑系统有如果考虑系统有A、B、O共共3个质点个质点，N3，则，则约束也增加，约束也增加，r5，广义坐标数，广义坐标数k2Nr1因此，在考虑广义坐标系时，只需考虑运动的
4、质点因此，在考虑广义坐标系时，只需考虑运动的质点19 七月 2024Page 6另一个问题：广义坐标独立，但是其变分是否独立？另一个问题：广义坐标独立，但是其变分是否独立？OxyrlAB如果把杆如果把杆OA、杆、杆AB、滑块、滑块B看成是看成是刚体，则原先的刚体，则原先的A、B、O点看成是点看成是约束，广义自由度该如何计算？约束，广义自由度该如何计算？3个刚体，个刚体，N3约束方程：约束方程：每个平面铰链有每个平面铰链有2个约束方程，共个约束方程，共6个；个；对滑块对滑块B，不能转动，不能上下运动，不能转动，不能上下运动，有有2个约束方程；个约束方程；r = 6 + 2 = 8广义坐标数目广义
5、坐标数目K = 3N r = 9 8 = 1广义坐标的计广义坐标的计算有不同的方算有不同的方法，结果都应法，结果都应该相同该相同19 七月 2024Page 7独立的虚位移数就是质系的独立的虚位移数就是质系的自由度自由度。自由度自由度N 质点总数质点总数 r 完整约束的总数；完整约束的总数； s 非完整约束的总数；非完整约束的总数；自由度数目自由度数目比较：广义坐标数为：广义坐标数为：如果是完整约束，如果是完整约束，kn如果是非完整约束，如果是非完整约束，kn19 七月 2024Page 8完整约束的例子完整约束的例子OxyrlAB广义坐标数目为广义坐标数目为1，自由度数为自由度数为1刚性杆广
6、义坐标数目为广义坐标数目为1，自由度数为自由度数为1弹簧广义坐标数目为广义坐标数目为2，自由度数为自由度数为219 七月 2024Page 9为了描述圆球在水平面上作纯为了描述圆球在水平面上作纯滚动，独立的参数为滚动，独立的参数为非完整约束的例子非完整约束的例子独立的广义坐标数为独立的广义坐标数为5；自由度为；自由度为3。19 七月 2024Page 10广义坐标形式的静力学普遍方程广义坐标形式的静力学普遍方程19 七月 2024Page 11Qj 称为对应于广义坐标称为对应于广义坐标 qj 的的广义力广义力。O广义力是广义坐标和时间的函数广义力是广义坐标和时间的函数。O广广义义力力是是主主动
7、动力力的的某某种种代代数数表表达达式式，但但不不一一定定具具有有力力的的量量纲纲。广广义义力力和和广广义义坐坐标标变变分的乘积一定具有功的量纲。分的乘积一定具有功的量纲。广义力与真实力相比，数目大为减少。广义力与真实力相比，数目大为减少。19 七月 2024Page 12具有具有完整理想完整理想约束的质系，其平衡的充分约束的质系，其平衡的充分必要条件是：必要条件是：所有的广义力等于零所有的广义力等于零。静力学普遍静力学普遍方程方程上述结论的条件是什么？上述结论的条件是什么？广义坐标独立，与广义坐标的变分独立，是否是一回事？广义坐标独立，与广义坐标的变分独立，是否是一回事？19 七月 2024P
8、age 13例例1惰惰钳钳机机构构由由六六根根长长杆杆和和两两根根短短杆杆组组成成，长长杆杆长长2a，短短杆杆长长a，各各杆杆之之间间用用铰铰链链相相连连。它它在在顶顶部部受受力力P的的作作用用，问问下下部部力力Q的的大大小小为为多多少少才才能能使使系系统统处处于于平平衡衡状状态态。图图中中 为已知角。为已知角。19 七月 2024Page 14解解取取 为广义坐标为广义坐标19 七月 2024Page 15例例2均均质质杆杆OA和和AB用用铰铰A连连接接，用用铰铰O固固定定。两两杆杆的的长长度度为为 和和 ，重重量量为为均均为为P 。在在B端端作作用用一一水水平平力力 ，求求平平衡衡时时两两
9、杆杆与与竖直方向夹角竖直方向夹角19 七月 2024Page 16取取 、 为广义坐标为广义坐标解解 解析法解析法19 七月 2024Page 1719 七月 2024Page 18解解 几何法几何法首先取首先取 19 七月 2024Page 19再取再取19 七月 2024Page 20例例3已知：已知： m1, m2, M, , , 且且接触面光滑。接触面光滑。求：平衡时，求：平衡时， m1, m2, M 的关系。的关系。 M19 七月 2024Page 21解解二自由度的平衡问题二自由度的平衡问题选独立的广义坐标选独立的广义坐标 x1, x2m2gm1gMgM19 七月 2024Page
10、 22第5节主动力有势情况下的主动力有势情况下的静力学普遍方程静力学普遍方程19 七月 2024Page 23力场力场若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间，而间位置和时间，而与其速度无关与其速度无关，则称该空间区，则称该空间区域存在域存在力场力场，如重力场、万有引力场、弹性力场、，如重力场、万有引力场、弹性力场、电场、磁场等。电场、磁场等。若存在标量函数若存在标量函数V，只依赖于质点，只依赖于质点Pi的坐标的坐标xi、 yi、 zi，并且质点，并且质点Pi在力场中所受的力等于在力场中所受的力等于则称力场则称力场有势有势，函数，函数V为
11、为势能势能，Fi为有为有势力势力。19 七月 2024Page 24主动力有势情况下的静力学普遍方程主动力有势情况下的静力学普遍方程设质系所受的主动力有势设质系所受的主动力有势：质系的平衡方程质系的平衡方程19 七月 2024Page 25对主动力有势的对主动力有势的质系质系，其，其势能在平衡位置取驻值势能在平衡位置取驻值。拉格朗日定理：拉格朗日定理：对对完整保守系统若势完整保守系统若势能函数在平衡位置能函数在平衡位置取孤立极小值取孤立极小值, 则则该平稳位置稳定。该平稳位置稳定。 qVqV19 七月 2024Page 26结果与前相同。结果与前相同。Ma已知：已知： m1, m2, M, , , 且且接触面光滑。接触面光滑。求：平衡时，求：平衡时， m1, m2, M 的关系。的关系。 例例119 七月 2024Page 27例例2已知已知：灯：灯G的质量为的质量为m，A、C为铰链，为铰链，B为套筒。为套筒。杆的质量不计。当杆的质量不计。当 = 180 时弹簧为原长。时弹簧为原长。求求：当：当 = 120 系统处于系统处于平衡时，弹簧刚度平衡时，弹簧刚度k应具应具有的大小，并讨论该平有的大小，并讨论该平衡位置的稳定性。衡位置的稳定性。19 七月 2024Page 28解解 系统处于稳定平衡位置系统处于稳定平衡位置19 七月 2024Page 29作业作业515516525527
