2022年中考数学压轴题型研究

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1、中考数学压轴题型研究动态问题动态几何问题是近几年北京市中考数学和各区模拟考试中压轴题的一大热点和难点， 考察的知识点非常多， 几乎涉及到代数和几何的各个知识点，如坐标系中的计算，一次函数和二次函数的图象和性质，全等三角形，相似三角形，平移、翻折、旋转三种几何变换等等。 对学生对知识的熟练运用以及弄清本质下进行迁移和转化的能力要求非常高，同时，对函数与方程、 分类讨论和数形结合三大数学思想的考查也是必考的内容。 因为这种问题既注重对常见知识点的考查又能体现学生思维和能力上的区别，所以一般都在压轴题的位置出现。很多同学也对这类问题比较头疼，感觉很难把握要领，真正取得突破。新年华数学教研组的各位老师

2、经过长期的深入研究，发现了其内在的规律，最终我们给出这类问题的一套解决方案，从而帮助很多初三同学彻底克服了这类难题。这套方案的内容可以这么表述：一个方针，两种思想，三个关键点。一个方针就是“以静制动” ，不管题目中是点在动还是线在动甚至是一个几何图形在动，每个问题的解决都是某种静态的情况，只要把这种情况分析清楚，做出相应图形，利用自己掌握的代数和几何的知识进行求解就行了。两种思想是分类讨论思想和函数与方程的思想，先说分类讨论， 在动态问题中一般有两种分类的类型， 一种是存在性问题， 此时要根据几何图形本身的性质和特征进行分类， 比如等腰三角形就按哪个是顶角分成三类，平行四边形按谁和谁是对边进行

3、分类；一种是函数关系类问题， 一般按照运动的不同阶段进行分类，常见的是求某个图形的面积和变量之间的函数关系。再说函数与方程的思想， 动态题的本质就是含字母的计算题， 只要找到跟要求目标相关的等量关系然后写出方程（组）进行求解即可。三个关键点是：审题（看清问题中运动的起始位置，何时结束，是在直线上还是线段上运动等）、作图（每一种情况都要分别作图） 、标图（把题目中的基本数量和各种位置关系标清楚，尤其是特殊的角度和特殊的数量和位置关系）另外，作为综合题， 一般会分成好几问， 把握好特殊和一般情况之间的联系和区别也是解题中特别要注意的地方。一般第一问会比较简单， 但是对后面的问题会有一定的提示和铺垫

4、作用，要注意分析。下面结合具体问题进行分析。【例 1】 （2009 北京中考 24 题）在ABCD 中，过点 C作 CE CD交 AD于点 E，将线段 EC绕点 E逆时针旋转 90得到线段 EF（如图 1）.（1）在图 1 中画图探究：当1P为射线 CD上任意一点（1P不与 C点重合）时【审题时要注意这句话中的射线和1P不与 C点重合】 ，连结1EP，将线段1EP绕点 E 逆时针旋转 90得到线段1EG. 判断直线1FG与直线 CD的位置关系并加以证明；当2P点为线段 DC的延长线上任意一点时， 连结2EP，将线段2EP绕点 E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

5、 - - - - - -第 1 页，共 9 页逆时针旋转 90得到线段2EG. 判断直线12G G与直线 CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若 AD =6，4tan3B， AE =1，在的条件下，设1CP=x，11P FGS =y，求 y与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围 .【分析】 这是 09 北京中考倒数第二题， 综合考查了几何中的三角形全等，平行四边形的性质，旋转变换，三角函数，以及面积问题。既要求具备对证明题的严密的推理能力，也要求对于较复杂计算题的处理能力。【参考答案和点评】 ： （1）直线1FG与直线 CD 的位置关系为互相垂直证明：如图 1【注意

6、单独作图】，设直线1FG与直线 CD的交点为 H 线段EC、1EP分别绕点 E逆时针旋转 90依次得到线段 EF 、1EG，1190PEGCEF，11EGEP，EFEC1190G EFPEF，1190PECPEF，11G EFPEC 1G EF1PEC 【这里实质是旋转变换的一种基本模型】11G FEPCEECCD，190PCE190G FE图 1 图 2 （备用）图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页90EFH90FHC1FGCD 按题目要求所画图形见图 1，直线12G G与直线 CD 的位置关系为互相垂直（2

7、） 四边形ABCD是平行四边形，BADC AD =6，AE =1，4tan3B，5DE，4tantan3EDCB可得CE= 4 由（1）可得四边形 FECH 为正方形 CH=CE= 4【这里的函数关系跟动点的位置有关，所以要分不同阶段进行分类讨论】 如图 2 【仍然需要单独作图， 用以静制动的想法处理】 ，当1P点在线段 CH的延长线上时，11FGCPx，14PHx，11111(4)22P FGx xSFGPH2122yxx（x4） 如图 3 【仍然需要单独作图， 用以静制动的想法处理】，当1P点在线段 CH 上（不与 C、H两点重合）时，11FGCPx，14PHx，11111(4)22P F

8、GxxSFGPH2122yxx（0x4） 图 2 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页当1P点与H点重合时，即4x时，11PFG不存在综上所述， y 与 x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是2122yxx（x4）或2122yxx（0x4） 【 例 2】 （ 2010 北 京 中 考 24 题 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系xO y中 ， 抛 物 线22153244mmyxxmm与x轴的交点分别为原点O和点A，点(2,)Bn在这条抛物线上（1） 求B点的坐标；（2） 点P在线段OA上，从O点出发向A点

9、运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得EDPE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动） 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FMQF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边

10、恰好落在同一条直线上，求此刻t的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页【分析】这是 10 北京中考倒数第二题， 在平面直角坐标系的背景下考察动态问题，综合考查了一次函数和二次函数的图像和性质，等腰直角三角形，平移变换，含参数问题的计算。同时对于分类讨论的思想的考查也是本题的重点。【参考答案和点评】： （1） 抛物线22153244mmyxxmm经过原点，2320mm解得11m，22m由题意知1m， 【注意审题，不要忘了0a】2m 抛物线的解析式为21542yxx 点(2)Bn，在抛物线21542yxx上，4nB点的坐标

11、为(2 4)，（2） 设直线OB的解析式为1yk x求得直线OB的解析式为2yxA点是抛物线与 x 轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10 0)，设P点的坐标为(0)a，则E点的坐标为(2 )aa，根据题意作等腰直角三角形PCD，如图 1 【该作图时一定要作图】可求得点C的坐标为(32 )aa，由C点在抛物线上，得2152(3 )342aaa即2911042aa解得122209aa，（舍去） 229OP【注意点的坐标和函数解析式以及线段长度之间的互相转化】 依题意作等腰直角三角形QMN设直线AB的解析式为2yk xb由点(100)A， 点( 2 4 )B， 求得直线AB的解析式为152yx当P

12、点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 【根据几何关系进行分类讨论，因为题中对于哪条边共线没有明确指出，所以要分三种情况进行讨论】图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页第一种情况：CD与NQ在同一条直线上， 如图 2 所示 【单独作图，以静制动】可证 DPQ为等腰直角三角形此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位4PQDPt4210ttt107t第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3 所示可证 PQM为等腰直角三角形此时OP、AQ的长可依次表示为

13、t、2t个单位102OQtF点在直线AB上，FQt2MQt2PQMQCQt2210ttt2t第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4 所示此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位210tt103t综上，符合题意的t 值分别为1010273， ，图 3 图 4 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页【 小 试 身 手 】（09济南中考）如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒 2 个单位长度的速度向终点运动； 动点同时从点出发沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒（1）

14、求的长（2）当时，求的值（3）试探究：为何值时，为等腰三角形【参考答案】 ： （1）如图，过、分别作于，于，则四边形是矩形在中，在中，由勾股定理得，（2）如图，过作交于点，则四边形是平行四边形由题意知，当、运动到秒时，又即解得，（3）分三种情况讨论：当时，如图，即ABCD354 245ADBCADDCABB，MBBCCNCCDDtBCMNABttMNCADAKBCKDHBCHADHK3KHADRtABK2sin 454 242AKAB2cos454 242BKABRtCDH22543HC43310BCBKKHHCDDGABBCGADGBMNABMNDG3BGAD1037GCMNt102CNtC

15、Mt，DGMNNMCDGCCCMNCGDCCNCMCDCG10257tt5017tNCMC102tt103t（图）A D C B K H （图）A D C B G M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页当时，如图，过作于解法一：由等腰三角形三线合一性质得在中，又在中，解得解法二：即当时，如图，过作于点.解法一：（方法同中解法一）解得解法二：MNNCNNEMCE11102522ECMCttRtCEN5cosECtcNCtRtDHC3cos5CHcCD535tt258t90CCDHCNEC ，NECDHCNCECDCHC553tt258tMNMCMMFCNF1122FCNCt132cos1025tFCCMCt6017t90CCMFCDHC ，MFCDHCA D C B M N （图）（图）A D C B M N H E （图）A D C B H N M F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页即综上所述，当、或时，为等腰三角形FCMCHCDC1102235tt6017t103t258t6017tMNC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页