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1、学习好资料欢迎下载直线与圆的位置关系（教案）- 距离与最值的问题题型四：直线与圆的位置关系例 5. （2014，江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x2y 30 被圆 (x 2)2(y 1)24 截得的弦长为_解析：由题意可得，圆心为(2 ，1) ，r 2，圆心到直线的距离d|2 23|1222355，所以弦长为2r2d22 4952555 . 例 6.（2014，浙江）已知圆x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为4，则实数a 的值是 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 解析：圆的标准方程为(x 1)2(y 1)22a，r22a，则圆心 ( 1，1)到直线xy20 的距离
2、为| 11 2|22. 由 22(2)22a，得 a 4, 故选 B. 例 7. （2014，湖北）直线l1： yxa 和 l2：yxb 将单位圆 C：x2y21 分成长度相等的四段弧，则a2b2_. 解析：依题意得，圆心O到两直线l1：y xa，l2：yxb 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a|2|b|21sin 45 ，得 |a|b| 1. 故 a2b22. 例 8. （2014，全国）直线l1和 l2是圆 x2y22 的两条切线若l1与 l2的交点为 (1 ，3)，则 l1与 l2的夹角的正切值等于_解：根据题意， OA PA ， OA 2，OP 10，所以 PA OP2OA2
3、2 2，所以 tan OPA OAPA22 212，故 tan APB 2tan OPA1tan2OPA43，即 l1与 l2的夹角的正切值等于43. 评注： 解决圆与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，要用平面几何中有关圆的性质，养成勤画图的良好习惯题型七：最值问题例 11. （2014，北京）已知圆C： (x 3)2(y 4)21 和两点A( m ，0) ， B(m ，0)(m0) 若圆 C上存在点P，使得 APB 90，则 m的最大值为 ( ) A7 B6 C 5 D4 解析：由图可知， 圆 C上存在点P使APB 90，即圆 C与以 AB为直径的圆有公共点，所以32 421m
4、32421，即 4m 6. 故选 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习好资料欢迎下载例 12. （2014，四川）设m R，过定点 A的动直线x my0 和过定点B的动直线mxym 30 交于点 P(x，y) ，则 |PA| |PB| 的取值范围是 ( ) A5， 2 5 B10，2 5 C 10，4 5 D25，4 5 解析：由题意可知，定点A(0，0) ，B(1，3) ，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以 AB为直径的圆周上，所以|PA|2 |PB|2|AB|210，即 |PA| |PB| |AB
5、| 10. 又|PA| |PB| （|PA| |PB| ）2|PA|22|PA|PB|PB|22（|PA|2|PB|2） 2 5，所以 |PA| |PB| 10，2 5 ，故选 B. 例 13. （2013，江西师大附中）已知P是直线0843yx上的动点，PAPB、是圆012222yxyx的切线，AB、是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是( ) A2B 2 C22 D 4解析：由题意，圆012222yxyx的圆心是 C（ 1，1） ，半径为1，PA=PB 。易知四边形PACB面积1()2PAPBPA, 故 PA最小时，四边形PACB面积最小。由于2|1PAPC, 故 PC最小时，
6、 PA最小。此时 CP垂直直线0843yx，2348|3,|1225PCPAPC 四边形PACB面积的最小值是2 2. 例 14. （2014，江苏）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸 AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段 OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和 A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点 O正北方向60 m 处，点 C位于点 O正东方向170 m 处(OC为河岸 ) ，tan BCO 43. (1) 求新桥 BC的长； (2) 当 OM多长时，圆形保护区的面积最大？解： (1) 如图所示，以 O 为
7、坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60), C(170， 0) ， 直线 BC 的斜率 kBC tan BCO 43. 又因为AB BC, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习好资料欢迎下载所以直线AB的斜率 kAB34. 设点 B 的坐标为 (a ，b) ，则 kBCb 0a17043， kABb60a 034，解得 a 80, b120，所以 BC（17080）2（ 0120）2 150. 因此新桥BC的长是 150 m. (2) 设保护区的边界圆M的半径为r
8、m, OMd m (0d60)由条件知，直线 BC的方程为 y43(x 170)，即 4x3y6800. 由于圆 M与直线 BC相切，故点 M(0, d)到直线 BC的距离是r ，即 r |3d 680|42326803d5. 因为 O和 A到圆 M上任意一点的距离均不少于 80 m ，所以r d 80，r （ 60d）80，即6803d5d80，680 3d5（ 60d）80，解得 10d35. 故当 d10 时， r 680 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM 10 m 时，圆形保护区的面积最大评注：解决最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解.与圆有关的最值问题的求法： (1
9、)圆 O 外一点A 到圆上一点的距离的最小值为|AO|r，最大值为 |AO|r；(2)求ax by(其中 (x，y)为圆上点 )的取值范围转化为直线与圆的位置关系；(3)求axbycxdy(其中 (x，y)为圆上点 )的最值，可转化为求直线的斜率；(4)求(xa)2(y b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题13 （14 分）已知以点Ct ，2t(t R， t 0)为圆心的圆与x 轴交于点 O、A，与 y 轴交于点O 、B，其中 O为原点(1) 求证： AOB的面积为定值；(2) 设直线 2xy 40 与圆 C交于点 M 、N，若 |OM|ON| ，求圆 C的方程；(3) 在(
10、2) 的条件下， 设 P、Q分别是直线l ：x y20 和圆 C的动点， 求|PB| |PQ|的最小值及此时点P的坐标13、(1) 由题设知，圆C的方程为 (x t)2 y2t2t24t2，化简得x2 2tx y24ty0，当 y0 时， x0 或 2t ，则 A(2t ，0) ；当 x0 时， y0 或4t，则 B 0，4t， S AOB12|OA| |OB| 12|2t|4t4 为定值(2) |OM| |ON| ，则原点O在 MN的中垂线上，设MN的中点为H，则 CH MN ， C、H、O三点共线， 则直线 OC的斜率 k2tt2t212， t 2 或 t 2， 圆心 C(2，1) 或 C
11、(2，1) 圆C 的方程为 (x 2)2(y 1)25 或(x 2)2(y 1)25，由于当圆方程为(x2)2(y 1)25 时，直线 2xy 40 到圆心的距离dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去 . 圆 C的方程为 (x 2)2(y 1)25 (3) 点 B(0， 2) 关于直线xy20 的对称点为B( 4， 2) ， 则|PB| |PQ| |PB|PQ|BQ|， 又 B到圆上点Q的最短距离为 |B C| r （ 6）232535精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习好资料欢迎下载525. 所以 |PB| |PQ
12、| 的最小值25，直线 B C的方程为y12x，则直线 B C与直线 xy20 的交点 P的坐标为43，23. 二：有关面积的最值三：某些参量的取值问题例 2已知圆 C 通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、 R(0,1)，且 CP的斜率为 1. (1)试求 C 的方程；(2)过原点 O 作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交 C 于 E，F 两点，l2交 C 于 G，H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值【解答】(1)设圆 C 的方程为 x2y2DxEyF0，则 C 点的坐标为D2，E2，且 PC 的斜率为 1，因为圆 C 通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，所以有
13、1EF0，42DF0，D22m2，E20D2m 1，解得D1，E5，F 6，m 3.所以圆 C 的方程为 x2y2x5y60. 或写成 x122 y522252. (2)圆心 C 12，52，设圆心 C 到 l1，l2的距离分别为d1，d2，则 d21d22OC2132，又EF22d21R2，GH22d22R2，两式相加，得EF2GH2742EF GH，S12EF GH372，即 (S四边形EFGH)max372. 例 3 已知圆x2y2 2ax2ay2a24a0(0a4)的圆心为C，直线 l：yxm. (1)若 m4，求直线l 被圆 C 所截得弦长的最大值；(2)若直线 l 是圆心下方的切线
14、，当 a 在(0,4变化时， 求 m 的取值范围【解答】(1)x2 y22ax2ay2a24a 0， (xa)2(ya)24a. 圆心为C( a， a)，半径为 r 2 a. 设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为2t，圆心 C 到直线 l 的距离为 d. m 4 时，直线l：xy40，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习好资料欢迎下载(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d|aam|2|m2a|2，直线 l 是圆 C 的切线，dr，即|m2a|22 a. m2a 2 2a. 直线 l 在圆 C 的下方，m2a2 2a( 2a1)21. a(0,4，m 1，84 2. 若曲线x2y22x4y10 上的任意一点关于直线 2axby20(a， bR)的对称点仍在该曲线上，则1a1b的最小值是 _4【解析】由题意知，已知圆的圆心(1,2)在直线 2axby20(a，bR)上，所以解得ab1，所以1a1babaabb2baab4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
