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1、学习好资料欢迎下载直线与圆的位置关系(教案)- 距离与最值的问题题型四:直线与圆的位置关系例 5. (2014,江苏)在平面直角坐标系xOy 中,直线x2y 30 被圆 (x 2)2(y 1)24 截得的弦长为_解析:由题意可得,圆心为(2 ,1) ,r 2,圆心到直线的距离d|2 23|1222355,所以弦长为2r2d22 4952555 . 例 6.(2014,浙江)已知圆x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为4,则实数a 的值是 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 解析:圆的标准方程为(x 1)2(y 1)22a,r22a,则圆心 ( 1,1)到直线xy20 的距离
2、为| 11 2|22. 由 22(2)22a,得 a 4, 故选 B. 例 7. (2014,湖北)直线l1: yxa 和 l2:yxb 将单位圆 C:x2y21 分成长度相等的四段弧,则a2b2_. 解析:依题意得,圆心O到两直线l1:y xa,l2:yxb 的距离相等,且每段弧长等于圆周的14,即|a|2|b|21sin 45 ,得 |a|b| 1. 故 a2b22. 例 8. (2014,全国)直线l1和 l2是圆 x2y22 的两条切线若l1与 l2的交点为 (1 ,3),则 l1与 l2的夹角的正切值等于_解:根据题意, OA PA , OA 2,OP 10,所以 PA OP2OA2
3、2 2,所以 tan OPA OAPA22 212,故 tan APB 2tan OPA1tan2OPA43,即 l1与 l2的夹角的正切值等于43. 评注: 解决圆与圆的位置关系的问题时,要注意运用数形结合思想,要用平面几何中有关圆的性质,养成勤画图的良好习惯题型七:最值问题例 11. (2014,北京)已知圆C: (x 3)2(y 4)21 和两点A( m ,0) , B(m ,0)(m0) 若圆 C上存在点P,使得 APB 90,则 m的最大值为 ( ) A7 B6 C 5 D4 解析:由图可知, 圆 C上存在点P使APB 90,即圆 C与以 AB为直径的圆有公共点,所以32 421m
4、32421,即 4m 6. 故选 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习好资料欢迎下载例 12. (2014,四川)设m R,过定点 A的动直线x my0 和过定点B的动直线mxym 30 交于点 P(x,y) ,则 |PA| |PB| 的取值范围是 ( ) A5, 2 5 B10,2 5 C 10,4 5 D25,4 5 解析:由题意可知,定点A(0,0) ,B(1,3) ,且两条直线互相垂直,则其交点P(x,y)落在以 AB为直径的圆周上,所以|PA|2 |PB|2|AB|210,即 |PA| |PB| |AB
5、| 10. 又|PA| |PB| (|PA| |PB| )2|PA|22|PA|PB|PB|22(|PA|2|PB|2) 2 5,所以 |PA| |PB| 10,2 5 ,故选 B. 例 13. (2013,江西师大附中)已知P是直线0843yx上的动点,PAPB、是圆012222yxyx的切线,AB、是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是( ) A2B 2 C22 D 4解析:由题意,圆012222yxyx的圆心是 C( 1,1) ,半径为1,PA=PB 。易知四边形PACB面积1()2PAPBPA, 故 PA最小时,四边形PACB面积最小。由于2|1PAPC, 故 PC最小时,
6、 PA最小。此时 CP垂直直线0843yx,2348|3,|1225PCPAPC 四边形PACB面积的最小值是2 2. 例 14. (2014,江苏)如图,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区规划要求:新桥BC与河岸 AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段 OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和 A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量,点A位于点 O正北方向60 m 处,点 C位于点 O正东方向170 m 处(OC为河岸 ) ,tan BCO 43. (1) 求新桥 BC的长; (2) 当 OM多长时,圆形保护区的面积最大?解: (1) 如图所示,以 O 为
7、坐标原点, OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60), C(170, 0) , 直线 BC 的斜率 kBC tan BCO 43. 又因为AB BC, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习好资料欢迎下载所以直线AB的斜率 kAB34. 设点 B 的坐标为 (a ,b) ,则 kBCb 0a17043, kABb60a 034,解得 a 80, b120,所以 BC(17080)2( 0120)2 150. 因此新桥BC的长是 150 m. (2) 设保护区的边界圆M的半径为r
8、m, OMd m (0d60)由条件知,直线 BC的方程为 y43(x 170),即 4x3y6800. 由于圆 M与直线 BC相切,故点 M(0, d)到直线 BC的距离是r ,即 r |3d 680|42326803d5. 因为 O和 A到圆 M上任意一点的距离均不少于 80 m ,所以r d 80,r ( 60d)80,即6803d5d80,680 3d5( 60d)80,解得 10d35. 故当 d10 时, r 680 3d5最大,即圆面积最大,所以当OM 10 m 时,圆形保护区的面积最大评注:解决最值问题时,要借助图形的几何性质,利用数形结合求解.与圆有关的最值问题的求法: (1
9、)圆 O 外一点A 到圆上一点的距离的最小值为|AO|r,最大值为 |AO|r;(2)求ax by(其中 (x,y)为圆上点 )的取值范围转化为直线与圆的位置关系;(3)求axbycxdy(其中 (x,y)为圆上点 )的最值,可转化为求直线的斜率;(4)求(xa)2(y b)2型的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题13 (14 分)已知以点Ct ,2t(t R, t 0)为圆心的圆与x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点O 、B,其中 O为原点(1) 求证: AOB的面积为定值;(2) 设直线 2xy 40 与圆 C交于点 M 、N,若 |OM|ON| ,求圆 C的方程;(3) 在(
10、2) 的条件下, 设 P、Q分别是直线l :x y20 和圆 C的动点, 求|PB| |PQ|的最小值及此时点P的坐标13、(1) 由题设知,圆C的方程为 (x t)2 y2t2t24t2,化简得x2 2tx y24ty0,当 y0 时, x0 或 2t ,则 A(2t ,0) ;当 x0 时, y0 或4t,则 B 0,4t, S AOB12|OA| |OB| 12|2t|4t4 为定值(2) |OM| |ON| ,则原点O在 MN的中垂线上,设MN的中点为H,则 CH MN , C、H、O三点共线, 则直线 OC的斜率 k2tt2t212, t 2 或 t 2, 圆心 C(2,1) 或 C
11、(2,1) 圆C 的方程为 (x 2)2(y 1)25 或(x 2)2(y 1)25,由于当圆方程为(x2)2(y 1)25 时,直线 2xy 40 到圆心的距离dr,此时不满足直线与圆相交,故舍去 . 圆 C的方程为 (x 2)2(y 1)25 (3) 点 B(0, 2) 关于直线xy20 的对称点为B( 4, 2) , 则|PB| |PQ| |PB|PQ|BQ|, 又 B到圆上点Q的最短距离为 |B C| r ( 6)232535精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习好资料欢迎下载525. 所以 |PB| |PQ
12、| 的最小值25,直线 B C的方程为y12x,则直线 B C与直线 xy20 的交点 P的坐标为43,23. 二:有关面积的最值三:某些参量的取值问题例 2已知圆 C 通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、 R(0,1),且 CP的斜率为 1. (1)试求 C 的方程;(2)过原点 O 作两条互相垂直的直线l1,l2,l1交 C 于 E,F 两点,l2交 C 于 G,H 两点,求四边形EGFH 面积的最大值【解答】(1)设圆 C 的方程为 x2y2DxEyF0,则 C 点的坐标为D2,E2,且 PC 的斜率为 1,因为圆 C 通过不同的三点P(m,0),Q(2,0),R(0,1),所以有
13、1EF0,42DF0,D22m2,E20D2m 1,解得D1,E5,F 6,m 3.所以圆 C 的方程为 x2y2x5y60. 或写成 x122 y522252. (2)圆心 C 12,52,设圆心 C 到 l1,l2的距离分别为d1,d2,则 d21d22OC2132,又EF22d21R2,GH22d22R2,两式相加,得EF2GH2742EF GH,S12EF GH372,即 (S四边形EFGH)max372. 例 3 已知圆x2y2 2ax2ay2a24a0(0a4)的圆心为C,直线 l:yxm. (1)若 m4,求直线l 被圆 C 所截得弦长的最大值;(2)若直线 l 是圆心下方的切线
14、,当 a 在(0,4变化时, 求 m 的取值范围【解答】(1)x2 y22ax2ay2a24a 0, (xa)2(ya)24a. 圆心为C( a, a),半径为 r 2 a. 设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为2t,圆心 C 到直线 l 的距离为 d. m 4 时,直线l:xy40,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习好资料欢迎下载(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d|aam|2|m2a|2,直线 l 是圆 C 的切线,dr,即|m2a|22 a. m2a 2 2a. 直线 l 在圆 C 的下方,m2a2 2a( 2a1)21. a(0,4,m 1,84 2. 若曲线x2y22x4y10 上的任意一点关于直线 2axby20(a, bR)的对称点仍在该曲线上,则1a1b的最小值是 _4【解析】由题意知,已知圆的圆心(1,2)在直线 2axby20(a,bR)上,所以解得ab1,所以1a1babaabb2baab4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页