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1、直线与方程知识点总结一、直线基本知识1、直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角关于倾斜角的概念要抓住三点:. 与 x 轴相交 ; .x 轴正向 ; . 直线向上方向 . 直线与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为00. 倾斜角的范围000180. 0,900k;0,18090k(2)直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为090的直线斜率不存在。经过两点),(),(222111yxPyxP(21xx)的直线的斜率公式是1212xxyyk(21xx)每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l,其斜
2、率分别为12,k k,则有1212/ /llkk。特别地,当直线12,l l的斜率都不存在时,12ll与的关系为平行。(2)两条直线垂直如果两条直线12,l l斜率存在,设为12,k k,则12121llk kg注:两条直线12,l l垂直的充要条件是斜率之积为-1 ,这句话不正确;由两直线的斜率之积为 -1,可以得出两直线垂直, 反过来,两直线垂直, 斜率之积不一定为 -1。如果12,ll中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 时,12ll与互相垂直。二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式)(11xxkyy),(11yx为直线上一定点,k 为斜率不包括
3、垂直于 x 轴的直线斜截式bkxyk 为斜率, b 是直线在y轴上的截距不包括垂直于 x 轴的直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页两点式121121xxxxyyyy),(2121yyxx其中),(),(2211yxyx是 直 线 上两定点不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线截距式1byaxa是直线在 x 轴上的非零截距, b是直线在 y 轴上的非零截距不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线一般式0CByAx)不同时为其中0,(BAA, B , C 为系数无限制,可表示任何位置的直线注:过两点),(),(222
4、111yxPyxP的直线是否一定可用两点式方程表示?(不一定。(1)若2121yyxx且,直线垂直于 x 轴,方程为1xx;(2)若2121yyxx且,直线垂直于 y 轴,方程为1yy;(3)(3)若2121yyxx且,直线方程可用两点式表示)2、线段的中点坐标公式若两点),(),(222111yxPyxP,且线段21,PP的中点 M 的坐标为),(yx,则222121yyyxxx 3. 过定点的直线系斜率为 k 且过定点),(00yx的直线系方程为)(00xxkyy; 过 两 条 直 线0:1111CyBxAl, 0:2222CyBxAl的 交 点 的 直 线 系 方 程 为0)(22211
5、1CyBxACyBxA(为参数) ,其中直线 l2不在直线系中 . 三、直线的交点坐标与距离公式1. 两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111CyBxAl, 0:2222CyBxAl两条直线的交点坐标就是方程组00222111CyBxACyBxA的解,若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立。2. 几种距离(1)两点间的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页平面上的两点),(),(222111yxPyxP间的距离公式21221221)
6、()(yyxxPP特别地,原点)0 ,0(O与任一点),(yxP的距离22yxOP(2)点到直线的距离点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离2200BACByAxd(3)两条平行线间的距离两条平行线0:11CByAxl, 0:22CByAxl间的距离2212BACCd(注意:求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式;求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算。)补充:1、直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角(2)已知斜率 k 的范围,求倾斜角的范围时,若 k 为正数,则的范围为(0,)2的子集,且 k=tan为增函数; 若 k 为负数,则的范围为
7、(,)2的子集,且 k=tan为增函数。若 k 的范围有正有负,则可所范围按大于等于0 或小于 0 分为两部分,针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。 2 、利用斜率证明三点共线的方法:已知112233(,),(,),(,),A xyB xyC xy若123ABACxxxkk或,则有 A、B、C三点共线。注:斜率变化分成两段,090是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。3. 两条直线位置关系的判定:已知0:11CByAxl, 0:22CByAxl,则:(1)0212121BBAAll(2);0,0-/1221122121CACABABAll(3);0,0-1221122121CACA
8、BABAll重合与(4)1l与2l相交01221BABA如果2220A B C时,则:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页(1)1221121?BABAll(2)21/ ll)不为0,(222212121CBACCBBAA;(3)1l与2l重合)不为 0,(222212121CBACCBBAA(4)1l与2l相交)不为 0,(222121BABBAA4. 有关对称问题常见的对称问题:(1)中心对称若点),(11yxM及),(22yxN关于),(baP对称,则由中点坐标公式得1122ybyxax直线关于点的对称,其主要方
9、法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用21/ ll,由点斜式得到所求直线方程。(2)轴对称点关于直线的对称若两点),(111yxP与),(222yxP关于直线0:CByAxl对称,则线段21PP的中点在对称轴 l 上,而且连接21PP的直线垂直于对称轴l 上,由方程组?1)(0)2()2(12122121BAxxyyCyyBxxA22yx可得到点1P关于 l 对称的点2P的坐标),(22yx(其中21,0xxA)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交
10、;二是已知直线与对称轴平行。注: 曲线、 直线关于一直线bxy对称的解法:y 换x,x换 y .例: 曲线0),(yxf关于直线2xy对称曲线方程是0)2,2(xyf曲线0),(:yxfC关于点),(ba的对称曲线方程是0)2,2(ybxaf5. 两条直线的交角直线1l到2l的角(方向角);直线1l到2l的角,是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页到与2l重合时所转动的角,它的范围是),0(,当90时21121tankkkk. 两条相交直线1l与2l的夹角:两条相交直线1l与2l的夹角,
11、是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角,又称为1l和2l所成的角,它的取值范围是2, 0,当90,则有21121tankkkk. 6. 直线 l 上一动点 P到两个定点 A、B的距离“最值问题”:(1) 在直线 l 上求一点 P,使PBPA取得最小值,若点BA、位于直线 l 的同侧时,作点A (或点 B )关于 l 的对称点/A 或/B , .)(/即为所求点,则点于交或连接PPlABBA若点BA、位于直线的异侧时,连接AB 交于 l 点 P,则 P为所求点。可简记为“同侧对称异侧连”. 即两点位于直线的同侧时,作其中一个点的对称点;两点位于直线的异侧时,直接连接两点即可. (2)在直线
12、 l 上求一点 P使PBPA取得最大值,方法与( 1)恰好相反,即“异侧对称同侧连”若点BA、位于直线 l 的同侧时,连接AB交于 l 点 P ,则 P 为所求点。若点BA、位于直线的异侧时,作点A (或点 B )关于 l 的对称点/A 或/B , .)(/即为所求点,则点于交或连接PPlABBA(3) 22PBPA的最值:函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴”。7. 直线过定点问题:含有一个未知参数,12)1(axay1)2(xxay(1)令202xx,将3)1(2yx式,得代入,从而该直线过定点)3,2(含有两个未知参数0)2()3(nynmxnm0)12()3(yxnyxm精选学习资料
13、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页令1203yxyx7371yx从而该直线必过定点)73,71(8. 点到几种特殊直线的距离(1)点00(,)P xy到 x 轴的距离0|dy。(2)点00(,)P xy到 y 轴的距离0|dx. (3)点00(,)P xy到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离0|dya。(4)点00(,)P xy到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离0|dxa. 9. 与已知直线平行的直线系有:(1)平行于直线)(00/CCCByAxCByAx的直线可表示为(2)平行于直线)(/bbbkxybkxy的所有直线为10. 易错辨析:(1) 讨论斜率的存在性:解题过程中用到斜率,一定要分类讨论:斜率不存在时,是否满足题意;斜率存在时,斜率会有怎样关系。(2)注意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解;(求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见。)(3) 直线到两定点距离相等,有两种情况:直线与两定点所在直线平行;直线过两定点的中点。(求解过某一定点的直线方程时,较为常见。)(4)过点),(00yxA,平行于x轴的直线方程为0yy过点),(00yxA,平行于 y 轴的直线方程为0xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页