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1、优秀学习资料欢迎下载第 23 章 等腰三角形一、选择题1. (2011 浙江省舟山,7,3 分)如图,边长为4 的等边 ABC 中, DE 为中位线,则四边形 BCED 的面积为()( A)32(B)33(C)34(D)36【答案】 B2. (2011 四川南充市, 10, 3 分)如图, ABC 和 CDE 均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M 是 AE 的中点,下列结论: tanAEC=CDBC;SABC+SCDESACE ;BM DM; BM=DM. 正确结论的个数是()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个MEDCBA【答案】 D3. (2011 浙江义乌, 1
2、0,3 分)如图,ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形,BAC=DAE=90,四边形 ACDE 是平行四边形,连结CE 交 AD 于点 F,连结 BD 交CE 于点 G,连结 BE. 下列结论中: CE=BD; ADC 是等腰直角三角形; ADB =AEB; CDAE=EFCG;一定正确的结论有(第 7 题)ABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载A 1 个B 2个C 3 个D 4个【答案】 D 4. (2011 台湾全区, 30)如图 (十三 ), ABC 中,以 B 为圆心,BC长为半
3、径画弧,分别交AC、AB于 D、E 两点,并连接BD、DE若 A=30 ,ABAC,则 BDE 的度数为何?A 45 B 525 C 675 D 75 【答案】 5. (2011 台湾全区, 34)如图 (十六 ),有两全等的正三角形ABC、DEF ,且 D、A 分别为ABC、 DEF 的重心固定D 点,将 DEF 逆时针旋转,使得A 落在DE上,如图(十七 )所示求图 (十六 )与图 (十七 )中,两个三角形重迭区域的面积比为何?A 2:1 B 3: 2 C 4:3 D 5:4 【答案】 6. (2011 山东济宁, 3,3 分)如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和 6cm,那么此三角
4、形的周长是A 15cm B16cm A B C D E F G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载C17cm D16cm 或 17cm 【答案】 D7. ( 2011 四川 凉山州 ,8,4 分)如图, 在ABC中,13ABAC,10BC,点D为BC的中点,DE DEAB,垂足为点E,则DE等于()A1013B1513C6013D7513【答案】 C 二、填空题1. (2011 山东滨州, 15,4 分)边长为 6cm 的等边三角形中, 其一边上高的长度为_. 【答案】3 3cm2. (2011
5、 山东烟台, 14,4 分)等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为. 【答案】 4 或 63. (2011 浙江杭州, 16,4)在等腰 RtABC 中, C=90 ,AC1,过点 C 作直线 lAB,F 是 l 上的一点,且ABAF,则点 F 到直线 BC 的距离为【答案】313122或4. (2011浙江台州, 14,5 分)已知等边ABC中,点 D,E 分别在边AB,BC上,把 BDE沿直线 DE翻折,使点B落在点 B处, DB,EB分别交边AC于点 F,G,若 ADF=80 o ,则 EGC 的度数为【答案】 80o精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
6、归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载5. (2011 浙江省嘉兴, 14,5 分)如图,在ABC 中, AB=AC,40A,则 ABC 的外角 BCD【答案】 1106. (2011 湖南邵阳, 11,3 分)如图(四)所示,在ABC 中, AB=AC , B=50,则A=_。【答案】 80。提示: A=180 -250=80。7. (2011 山东济宁, 15,3 分)如图,等边三角形ABC 中, D、E 分别为 AB、BC 边上的两个动点,且总使 AD=BE , AE 与 CD 交于点 F, AGCD 于点 G, 则FGAF【答案】128. (2
7、011 湖南怀化, 13,3 分)如图 6,在ABC 中, AB=AC ,BAC 的角平分线交BC 边于点 D,AB=5,BC=6,则 AD=_. GFECBA第 15 题D (第 14 题)ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载【答案】 49. (2011 四川乐山16, 3 分) 如图,已知 AOB=, 在射线 OA、 OB 上分别取点OA1=OB1,连结 A1B1,在 B1A1、B1B 上分别取点A2、B2,使 B1B2= B1A2,连结 A2B2按此规律上去,记A2B1B2=1,32
8、32A B B,n+11AnnnB B则1= ;n= 。【答案】2180nn21801210 (2011 湖南邵阳, 11,3 分)如图(四)所示,在ABC 中, AB=AC , B=50,则A=_ 。【答案】 80。11. (2011 贵州贵阳, 15,4 分)如图,已知等腰RtABC 的直角边长为1,以 RtABC的斜边 AC 为直角边,画第二个等腰RtACD ,再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边,画第三个等腰RtADE,依此类推直到第五个等腰RtAFG,则由这五个等腰直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页
9、优秀学习资料欢迎下载角三角形所构成的图形的面积为_(第 15 题图)【答案】31212. (2011 广东茂名, 14,3 分)如图,已知ABC 是等边三角形,点B、C、D、E 在同一直线上,且CG CD,DF DE,则 E度【答案】 15三、解答题1. (2011 广东东莞, 21,9 分)如图( 1) , ABC 与 EFD 为等腰直角三角形,AC 与 DE重合, AB=EF=9, BAC DEF 90 ,固定 ABC,将 EFD 绕点 A 顺时针旋转,当 DF 边与 AB 边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、
10、H 点,如图( 2). ( 1)问:始终与AGC 相似的三角形有及;( 2)设 CGx,BHy,求 y 关于 x 的函数关系式(只要求根据2 的情况说明理由) ;( 3)问:当x 为何值时, AGH 是等腰三角形?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载【解】 (1) HGA 及 HAB ;(2)由( 1)可知 AGC HAB CGACABBH,即99xy,所以,81yx(3)当 CG 12BC时, GAC= H HAC , AC CH AG AC , AG GH 又 AH AG , AH GH 此时
11、, AGH不可能是等腰三角形;当 CG=12BC时, G为 BC的中点, H与 C重合, AGH是等腰三角形;此时, GC=922,即 x=922当 CG 12BC时,由( 1)可知 AGC HGA 所以,若 AGH 必是等腰三角形,只可能存在AG=AH 若 AG=AH ,则 AC=CG ,此时 x=9 综上,当x=9 或922时, AGH 是等腰三角形2. (2011 山东德州19,8 分)如图AB=AC, CDAB 于 D, BEAC 于 E,BE 与 CD 相交于点 O(1)求证 AD=AE;(2) 连接 OA, BC,试判断直线OA,BC 的关系并说明理由【答案】(1)证明:在 ACD
12、 与 ABE 中, A=A, ADC=AEB=90, AB=AC,A B C E D O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载ACDABE 3 分 AD=AE 4 分(2) 互相垂直5 分在 RtADO 与AEO 中,OA=OA ,AD=AE ,ADO AEO6 分 DAO =EAO即 OA 是 BAC 的平分线7 分又 AB=AC, OABC8 分3. ( 2011 山东日照, 23, 10 分)如图,已知点 D 为等腰直角 ABC 内一点, CAD CBD15 ,E 为 AD 延长线上的一点,
13、且CECA( 1)求证: DE 平分 BDC;( 2)若点 M 在 DE 上,且 DC=DM ,求证:ME=BD 【答案】(1)在等腰直角 ABC 中,CAD =CBD=15o,BAD =ABD=45o-15o=30o,BD=AD , BDC ADC,DCA =DCB=45o由BDM = ABD+ BAD=30o+30o=60o,EDC= DAC+DCA=15o+45o=60o,BDM = EDC,DE 平分 BDC;(2)如图,连接MC,DC=DM ,且 MDC=60, MDC 是等边三角形,即CM=CD A B E C D O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
14、 - - - - - - -第 8 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载又 EMC =180-DMC=180-60 =120,ADC=180- MDC=180 -60=120,EMC =ADC 又 CE=CA ,DAC =CEM=15, ADC EMC, ME=AD=DB 4. (2011 湖北鄂州, 18, 7 分)如图,在等腰三角形ABC 中, ABC=90 , D 为 AC 边上中点,过D 点作 DEDF,交 AB 于 E,交 BC 于 F,若 AE=4 ,FC=3,求 EF 长【答案】连结BD ,证 BED CFD 和 AED BFD,求得 EF=55. ( 2011浙 江 衢 州 ,
15、 23,10分 )ABC是 一 张 等 腰 直 角 三 角 形 纸 板 ,Rt2CACBC,. 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1) ,比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大?请说明理由.第 18 题图B A E D F C (第 23 题)(第 23 题图 1)PNDFEBACCABQM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载图 1 中甲种剪法称为第1 次剪取,记所得的正方形面积为1S;按照甲种剪法,在余下的ADEBDF和中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方
16、形,称为第2 次剪取,并记这两个正方形面积和为2S(如图2),则2=S;再在余下的四个三角形中,用同样的方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第 3 次剪取, 并记这四个正方形的面积和为3S(如图 3);继续操作下去则第 10 次剪取时,10S. 求第 10 次剪取后,余下的所有小三角形的面积和. 【答案】 (1)解法 1: 如图甲, 由题意得,1,1CFDEAEDEECECS正方形即.如图乙,设MNx,则由题意,得,AMMQPNNBMNx22 232 2,32 28()39PNMQxxS正方形解得又819甲种剪法所得的正方形的面积更大说 明 : 图 甲 可 另 解 为 : 由 题 意
17、 得 点D 、 E 、 F 分 别 为ABACBC、的 中 点 ,112ABCCFDESS正方形解法 2:如图甲,由题意得AEDEEC,即 EC=1如图乙,设,MNxAMMQQPPNNBMNx则由题意得2 232 2,32 21,3xxECMN解得又即甲种剪法所得的正方形的面积更大(2)212S(3)10912S(3)解法 1:探索规律可知:112nnS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载剩余三角形的面积和为:12109911112212422SSS解法 2:由题意可知,第一次剪取后剩余三角形面
18、积和为112=1=SS第二次剪取后剩余三角形面积和为12211122SSS第三次剪取后剩余三角形面积和为233111244SSS第十次剪取后剩余三角形面积和为9101091=2SSS6. (2011 浙江绍兴, 23, 12 分) 数学课上,李老师出示了如下框中的题目. 在等边三角形 ABC中,点 E在AB上,点D在CB的延长线上,且 ED=EC,如图.试确定线段 AE与DB的大小关系,并说明理由.EABCD小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:( 1)特殊情况,探索结论当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AEDB(填“ ”,“ ”, “”或“ =”
19、). 理由如下:如图 2,过点E作/ /EFBC,交AC于点F. (请你完成以下解答过程)第 25 题图 1 第 25 题图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载( 3)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且EDEC. 若ABC的边长为 1,2AE,求CD的长(请你直接写出结果).【答案】(1)= . (2)=. 方法一:如图,等边三角形ABC中,EABCD60,ABCACBBACABBCAC,/ /,EFBC60,AEFAFEBACAEF是等边三角形
20、,,AEAFEF,ABAEACAFBECF即又60ABCEDBBED,60ACBECBFCE.,.EDECEDBECBBEDFCEDBEEFCDBEFAEBD方法二:在等边三角形ABC中,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载60120 ,/ /,60,180120,ABCACBABDABCEDBBEDACBECBACEEDECEDBECBBEDACEFEBCAEFAFEBACAEFEFCACBABDEFCDBEDBEF,是正三角形,而由AEF是正三角形可得.EFAE.AEDB(3)1 或 3.7
21、. (2011 浙江台州, 23,12 分)如图 1,过 ABC 的顶点 A 分别做对边BC 上的高 AD 和中线 AE,点 D 是垂足,点E 是 BC 中点,规定BEDEA。特别的,当点D 重合时,规定0A。另外。对B、c作类似的规定。(1)如图 2,已知在RtABC 中, A=30 o,求A、c;(2)在每个小正方形边长为1 的 44 方格纸上,画一个ABC ,使其顶点在格点 (格点即每个小正方形的顶点)上,且2A,面积也为2;(3)判断下列三个命题的真假。(真命题打,假命题打) 若 ABC 中,1A,则 ABC 为锐角三角形; () 若 ABC 中,1A,则 ABC 为直角三角形; ()
22、 若 ABC 中,1A,则 ABC 为钝角三角形; ()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载【答案】解 :(1)如图,作CDAB,垂足为 D,作中线CE、 AF。BFCFA=1 Rt ABC 中, CAB=30o, AE=CE=BE , CEB=60o, CEB 是正三角形, CDAB AE=2DE AEDEc=21;A=1,c=21;(2)如图所示:(3) ; ; 。8. (2011 浙江义乌, 23,10 分)如图 1,在等边 ABC 中,点 D 是边 AC 的中点,点P 是线段 DC 上的
23、动点 ( 点 P 与点 C 不重合 ),连结 BP. 将 ABP 绕点 P 按顺时针方向旋转 角( 0 180) ,得到 A1B1P, 连结 AA1,射线 AA1分别交射线PB、射线 B1B 于点 E、F.(1) 如图 1, 当 0 60时,在 角变化过程中, BEF与 AEP 始终存在关系(填“相似”或“全等”) ,并说明理由;(2)如图 2,设 ABP= . 当 60 180时,在角变化过程中,是否存在BEF与 AEP 全等?若存在,求出与 之间的数量关系;若不存在,请说明理由;(3)如图 3,当 =60时,点E、F 与点 B 重合 . 已知 AB=4,设 DP=x, A1BB1的面积为
24、S,求 S关于 x 的函数关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载【答案】(1) 相似由题意得:APA1=BPB1=AP= A1PBP=B1P则PAA1 = PBB1 =2902180 PBB1=EBF PAE=EBF又 BEF =AEP BEF AEP(2)存在,理由如下:易得: BEF AEP若要使得 BEF AEP,只需要满足BE=AE 即可 BAE=ABE BAC=60 BAE=30229060 ABE=BAE=ABE302即 =2 +60(3)连结 BD,交 A1B1于点 G,过点 A
25、1作 A1HAC 于点 H . P B1A DC B A1H G 图 1 图 2 图 3 P B1FM A DEC B A1P B1FM A DEC B A1P B1A DC B A1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载 B1 A1P= A1PA=60 A1B1AC 由题意得: AP= A1 PA=60 PAA1是等边三角形 A1H=)2(23x在 RtABD 中, BD=32BG=xx233)2(2332xxSBBA33223342111(0x2)9. (2011 广东株洲, 20,6 分)如
26、图,ABC中, AB=AC , A=36, AC的垂直平分线交AB于 E , D为垂足,连结EC ( 1)求 ECD的度数;( 2)若 CE=5 ,求 BC长【答案】(1)解法一: DE 垂直平分AC , CE=AE , ECD=A=36 . 解法二: DE 垂直平分 AC , AD=CD , ADE= CDE=90 ,又 DE =DE , ADE CDE, ECD=A=36 . (2)解法一: AB=AC , A=36, B= ACB=72 , ECD=36 , BCE= ACB- ECD=36,BEC=72=B, BC=EC=5. 解法二: AB=AC , A=36, B= ACB=72
27、, BEC= A+ ECD=72, BEC= B,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载BC=EC=5. 10 (2011 重庆綦江, 24,10 分)如图,等边 ABC 中, AO 是 BAC 的角平分线,D 为 AO上一点,以CD 为一边且在CD 下方作等边 CDE ,连结 BE. (1) 求证: ACD BCE;(2) 延长 BE 至 Q, P 为 BQ 上一点, 连结 CP、CQ 使 CPCQ5, 若 BC8 时,求 PQ的长 . 【答案】:(1)证明 ABC 和CDE 均为等边三角形,
28、ACBC , CDCE且ACBDCE 60ACDDCBDCBBCE60ACDBCEACDBCE(2)解:作CHBQ 交 BQ 于 H,则 PQ2HQ 在 RtBHC 中 ,由已知和( 1)得CBHCAO30 , CH 4 在 RtCHQ 中, HQ3452222CHCQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载PQ2HQ6 11. (2011 江苏扬州, 23,10 分)已知:如图,锐角ABC 的两条高BD、CE 相交于点O,且 OB=OC ,( 1)求证: ABC 是等腰三角形;( 2)判断点O 是
29、否在 BAC 的角平分线上,并说明理由。【答案】(1)证明: OB=OC OBC=OCB BD、 CE 是两条高 BDC= CEB=90 又 BC=CB BDC CEB(AAS ) DBC= ECB AB=AC ABC 是等腰三角形。(2)点 O 是在 BAC 的角平分线上。连结AO. BDC CEB DC=EB, OB=OC OD=OE 又 BDC= CEB=90 AO=AO ADO AEO (HL) DAO= EAO 点 O 是在 BAC 的角平分线上。12. (2011 广东省, 21,9 分)如图( 1) , ABC 与 EFD 为等腰直角三角形,AC 与 DE重合, AB=EF=9,
30、 BAC DEF 90 ,固定 ABC,将 EFD 绕点 A 顺时针旋转,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载当 DF 边与 AB 边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H 点,如图( 2). (1)问:始终与AGC 相似的三角形有及;(2)设 CGx,BHy,求 y 关于 x 的函数关系式(只要求根据2 的情况说明理由) ;(3)问:当x为何值时,AGH 是等腰三角形?【解】 (1) HGA 及 HAB ;(2)由(
31、 1)可知 AGC HAB CGACABBH,即99xy,所以,81yx(3)当 CG 12BC时, GAC= H HAC , AC CH AG AC , AG GH 又 AH AG , AH GH 此时, AGH不可能是等腰三角形;当 CG=12BC时, G为 BC的中点, H与 C重合, AGH是等腰三角形;此时, GC=922,即 x=922当 CG 12BC时,由( 1)可知 AGC HGA 所以,若 AGH 必是等腰三角形,只可能存在AG=AH 若 AG=AH ,则 AC=CG ,此时 x=9 综上,当 x=9 或922时, AGH 是等腰三角形13. (2011 湖北黄冈, 18,
32、7 分)如图,在等腰三角形ABC 中, ABC=90 , D 为 AC 边上中点,过D 点作 DEDF,交 AB 于 E,交 BC 于 F,若 AE=4 ,FC=3,求 EF 长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载【答案】连结BD ,证 BED CFD 和 AED BFD,求得 EF=514. (2011 湖北襄阳, 21,6 分)如图 6,点 D,E 在 ABC 的边 BC 上,连接AD,AE. ABAC; ADAE; BDCE. 以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成
33、三个命题:;.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答);(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).【答案】(1);. 3 分(2) (略)6 分15. (2011 山东泰安, 29 , 10 分)已知:在ABC 中, AC=BC, ACB=900,点 D 是 AB的中点,点E 是 AB 边上一点。( 1)直线 BF 垂直于 CE 于点 F,交 CD 于点 G(如图),求证: AE=CG;( 2)直线 AH 垂直于 CE 于,垂足为H,交 CD 的延长线于点M(如图),找出图中与BE 相等的线段,并说明。EDCBA图 6 第 18 题图B A E D F C 精选学习资料 -
34、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载【答案】(1)证明:点D 是 AB 中点, AC=BC, ACB=900CDAB, ACD=BCD =450CAD=CBD=450 CAE=BCG又 BFCE CBG+BCG=900又 ACE+BCF=900 ACE=CBGAEC CGBAE=CG(2)BE=CM证明: CHHM,CDED CMA +MCH =900BEC+MCH =900 CMA =BEC又, AC=BC, A CM= CBE=450BCE CAMBE=CM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 21 页