2022年中考数学讲解等腰三角形

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1、优秀学习资料欢迎下载第 23 章 等腰三角形一、选择题1. （2011 浙江省舟山，7，3 分）如图，边长为4 的等边 ABC 中， DE 为中位线，则四边形 BCED 的面积为（）（ A）32（B）33（C）34（D）36【答案】 B2. （2011 四川南充市， 10， 3 分）如图， ABC 和 CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M 是 AE 的中点，下列结论： tanAEC=CDBC;SABC+SCDESACE ;BM DM; BM=DM. 正确结论的个数是（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个MEDCBA【答案】 D3. （2011 浙江义乌， 1

2、0，3 分）如图，ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，四边形 ACDE 是平行四边形，连结CE 交 AD 于点 F，连结 BD 交CE 于点 G，连结 BE. 下列结论中： CE=BD； ADC 是等腰直角三角形； ADB =AEB； CDAE=EFCG；一定正确的结论有（第 7 题）ABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载A 1 个B 2个C 3 个D 4个【答案】 D 4. （2011 台湾全区， 30）如图 (十三 )， ABC 中，以 B 为圆心，BC长为半

3、径画弧，分别交AC、AB于 D、E 两点，并连接BD、DE若 A=30 ，ABAC，则 BDE 的度数为何？A 45 B 525 C 675 D 75 【答案】 5. （2011 台湾全区， 34）如图 (十六 )，有两全等的正三角形ABC、DEF ，且 D、A 分别为ABC、 DEF 的重心固定D 点，将 DEF 逆时针旋转，使得A 落在DE上，如图(十七 )所示求图 (十六 )与图 (十七 )中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A 2：1 B 3： 2 C 4：3 D 5：4 【答案】 6. （2011 山东济宁， 3，3 分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和 6cm，那么此三角

4、形的周长是A 15cm B16cm A B C D E F G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载C17cm D16cm 或 17cm 【答案】 D7. （ 2011 四川 凉山州 ，8，4 分）如图， 在ABC中，13ABAC，10BC，点D为BC的中点，DE DEAB，垂足为点E，则DE等于（）A1013B1513C6013D7513【答案】 C 二、填空题1. （2011 山东滨州， 15，4 分）边长为 6cm 的等边三角形中， 其一边上高的长度为_. 【答案】3 3cm2. （2011

5、 山东烟台， 14,4 分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为. 【答案】 4 或 63. （2011 浙江杭州， 16，4）在等腰 RtABC 中， C=90 ，AC1，过点 C 作直线 lAB，F 是 l 上的一点，且ABAF，则点 F 到直线 BC 的距离为【答案】313122或4. （2011浙江台州， 14,5 分）已知等边ABC中，点 D,E 分别在边AB,BC上，把 BDE沿直线 DE翻折，使点B落在点 B处， DB,EB分别交边AC于点 F，G，若 ADF=80 o ，则 EGC 的度数为【答案】 80o精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

6、归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载5. （2011 浙江省嘉兴， 14，5 分）如图，在ABC 中， AB=AC，40A，则 ABC 的外角 BCD【答案】 1106. （2011 湖南邵阳， 11，3 分）如图（四）所示，在ABC 中， AB=AC ， B=50，则A=_。【答案】 80。提示： A=180 -250=80。7. （2011 山东济宁， 15，3 分）如图，等边三角形ABC 中， D、E 分别为 AB、BC 边上的两个动点，且总使 AD=BE ， AE 与 CD 交于点 F， AGCD 于点 G， 则FGAF【答案】128. （2

7、011 湖南怀化， 13，3 分）如图 6，在ABC 中， AB=AC ，BAC 的角平分线交BC 边于点 D，AB=5，BC=6，则 AD=_. GFECBA第 15 题D （第 14 题）ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载【答案】 49. （2011 四川乐山16， 3 分） 如图，已知 AOB=， 在射线 OA、 OB 上分别取点OA1=OB1，连结 A1B1，在 B1A1、B1B 上分别取点A2、B2，使 B1B2= B1A2，连结 A2B2按此规律上去，记A2B1B2=1，32

8、32A B B，n+11AnnnB B则1= ；n= 。【答案】2180nn21801210 （2011 湖南邵阳， 11，3 分）如图（四）所示，在ABC 中， AB=AC ， B=50，则A=_ 。【答案】 80。11. （2011 贵州贵阳， 15，4 分）如图，已知等腰RtABC 的直角边长为1，以 RtABC的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰RtACD ，再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推直到第五个等腰RtAFG，则由这五个等腰直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页

9、优秀学习资料欢迎下载角三角形所构成的图形的面积为_（第 15 题图）【答案】31212. （2011 广东茂名， 14，3 分）如图，已知ABC 是等边三角形，点B、C、D、E 在同一直线上，且CG CD，DF DE，则 E度【答案】 15三、解答题1. （2011 广东东莞， 21，9 分）如图（ 1） ， ABC 与 EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE重合， AB=EF=9， BAC DEF 90 ，固定 ABC，将 EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、

10、H 点，如图（ 2）. （ 1）问：始终与AGC 相似的三角形有及；（ 2）设 CGx，BHy，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据2 的情况说明理由） ；（ 3）问：当x 为何值时， AGH 是等腰三角形？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载【解】 （1） HGA 及 HAB ；（2）由（ 1）可知 AGC HAB CGACABBH，即99xy，所以，81yx（3）当 CG 12BC时， GAC= H HAC ， AC CH AG AC ， AG GH 又 AH AG ， AH GH 此时

11、， AGH不可能是等腰三角形；当 CG=12BC时， G为 BC的中点， H与 C重合， AGH是等腰三角形；此时， GC=922，即 x=922当 CG 12BC时，由（ 1）可知 AGC HGA 所以，若 AGH 必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若 AG=AH ，则 AC=CG ，此时 x=9 综上，当x=9 或922时， AGH 是等腰三角形2. （2011 山东德州19,8 分）如图AB=AC， CDAB 于 D， BEAC 于 E，BE 与 CD 相交于点 O（1）求证 AD=AE；(2) 连接 OA， BC，试判断直线OA，BC 的关系并说明理由【答案】（1）证明：在 ACD

12、 与 ABE 中， A=A， ADC=AEB=90， AB=AC，A B C E D O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载ACDABE 3 分 AD=AE 4 分(2) 互相垂直5 分在 RtADO 与AEO 中，OA=OA ，AD=AE ，ADO AEO6 分 DAO =EAO即 OA 是 BAC 的平分线7 分又 AB=AC， OABC8 分3. （ 2011 山东日照， 23， 10 分）如图，已知点 D 为等腰直角 ABC 内一点， CAD CBD15 ，E 为 AD 延长线上的一点，

13、且CECA（ 1）求证： DE 平分 BDC；（ 2）若点 M 在 DE 上，且 DC=DM ，求证：ME=BD 【答案】（1）在等腰直角 ABC 中，CAD =CBD=15o，BAD =ABD=45o-15o=30o，BD=AD ， BDC ADC，DCA =DCB=45o由BDM = ABD+ BAD=30o+30o=60o，EDC= DAC+DCA=15o+45o=60o，BDM = EDC，DE 平分 BDC；（2）如图，连接MC，DC=DM ，且 MDC=60， MDC 是等边三角形，即CM=CD A B E C D O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

14、 - - - - - - -第 8 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载又 EMC =180-DMC=180-60 =120，ADC=180- MDC=180 -60=120，EMC =ADC 又 CE=CA ，DAC =CEM=15， ADC EMC， ME=AD=DB 4. （2011 湖北鄂州， 18， 7 分）如图，在等腰三角形ABC 中， ABC=90 ， D 为 AC 边上中点，过D 点作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4 ，FC=3，求 EF 长【答案】连结BD ，证 BED CFD 和 AED BFD，求得 EF=55. （ 2011浙 江 衢 州 ，

15、 23,10分 ）ABC是 一 张 等 腰 直 角 三 角 形 纸 板 ，Rt2CACBC，. 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1） ，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.第 18 题图B A E D F C （第 23 题）（第 23 题图 1）PNDFEBACCABQM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载图 1 中甲种剪法称为第1 次剪取，记所得的正方形面积为1S；按照甲种剪法，在余下的ADEBDF和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方

16、形，称为第2 次剪取，并记这两个正方形面积和为2S(如图2)，则2=S；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取， 并记这四个正方形的面积和为3S(如图 3)；继续操作下去则第 10 次剪取时，10S. 求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和. 【答案】 (1)解法 1： 如图甲， 由题意得,1,1CFDEAEDEECECS正方形即.如图乙，设MNx，则由题意，得,AMMQPNNBMNx22 232 2,32 28()39PNMQxxS正方形解得又819甲种剪法所得的正方形的面积更大说 明 ： 图 甲 可 另 解 为 ： 由 题 意

17、 得 点D 、 E 、 F 分 别 为ABACBC、的 中 点 ，112ABCCFDESS正方形解法 2：如图甲，由题意得AEDEEC，即 EC=1如图乙，设,MNxAMMQQPPNNBMNx则由题意得2 232 2,32 21,3xxECMN解得又即甲种剪法所得的正方形的面积更大(2)212S(3)10912S(3)解法 1：探索规律可知：112nnS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载剩余三角形的面积和为：12109911112212422SSS解法 2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面

18、积和为112=1=SS第二次剪取后剩余三角形面积和为12211122SSS第三次剪取后剩余三角形面积和为233111244SSS第十次剪取后剩余三角形面积和为9101091=2SSS6. (2011 浙江绍兴， 23， 12 分) 数学课上，李老师出示了如下框中的题目. 在等边三角形 ABC中，点 E在AB上，点D在CB的延长线上，且 ED=EC，如图.试确定线段 AE与DB的大小关系，并说明理由.EABCD小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（ 1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“ ”,“ ”, “”或“ =”

19、）. 理由如下：如图 2，过点E作/ /EFBC，交AC于点F. （请你完成以下解答过程）第 25 题图 1 第 25 题图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载（ 3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且EDEC. 若ABC的边长为 1，2AE，求CD的长（请你直接写出结果）.【答案】（1）= . （2）=. 方法一：如图，等边三角形ABC中，EABCD60,ABCACBBACABBCAC，/ /,EFBC60,AEFAFEBACAEF是等边三角形

20、，,AEAFEF,ABAEACAFBECF即又60ABCEDBBED，60ACBECBFCE.,.EDECEDBECBBEDFCEDBEEFCDBEFAEBD方法二：在等边三角形ABC中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载60120 ,/ /,60,180120,ABCACBABDABCEDBBEDACBECBACEEDECEDBECBBEDACEFEBCAEFAFEBACAEFEFCACBABDEFCDBEDBEF，是正三角形，而由AEF是正三角形可得.EFAE.AEDB(3)1 或 3.7

21、. （2011 浙江台州， 23,12 分）如图 1，过 ABC 的顶点 A 分别做对边BC 上的高 AD 和中线 AE，点 D 是垂足，点E 是 BC 中点，规定BEDEA。特别的，当点D 重合时，规定0A。另外。对B、c作类似的规定。（1）如图 2，已知在RtABC 中， A=30 o，求A、c；（2）在每个小正方形边长为1 的 44 方格纸上，画一个ABC ，使其顶点在格点 （格点即每个小正方形的顶点）上，且2A，面积也为2；（3）判断下列三个命题的真假。（真命题打，假命题打） 若 ABC 中，1A，则 ABC 为锐角三角形； （） 若 ABC 中，1A，则 ABC 为直角三角形； （）

22、 若 ABC 中，1A，则 ABC 为钝角三角形； （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载【答案】解 :（1）如图，作CDAB，垂足为 D，作中线CE、 AF。BFCFA=1 Rt ABC 中， CAB=30o， AE=CE=BE , CEB=60o， CEB 是正三角形， CDAB AE=2DE AEDEc=21；A=1，c=21；（2）如图所示：（3） ； ； 。8. （2011 浙江义乌， 23，10 分）如图 1，在等边 ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点P 是线段 DC 上的

23、动点 ( 点 P 与点 C 不重合 )，连结 BP. 将 ABP 绕点 P 按顺时针方向旋转 角（ 0 180） ，得到 A1B1P, 连结 AA1，射线 AA1分别交射线PB、射线 B1B 于点 E、F.（1） 如图 1， 当 0 60时，在 角变化过程中， BEF与 AEP 始终存在关系（填“相似”或“全等”） ，并说明理由；（2）如图 2，设 ABP= . 当 60 180时，在角变化过程中，是否存在BEF与 AEP 全等？若存在，求出与 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图 3，当 =60时，点E、F 与点 B 重合 . 已知 AB=4，设 DP=x， A1BB1的面积为

24、S，求 S关于 x 的函数关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载【答案】（1） 相似由题意得：APA1=BPB1=AP= A1PBP=B1P则PAA1 = PBB1 =2902180 PBB1=EBF PAE=EBF又 BEF =AEP BEF AEP（2）存在，理由如下：易得： BEF AEP若要使得 BEF AEP，只需要满足BE=AE 即可 BAE=ABE BAC=60 BAE=30229060 ABE=BAE=ABE302即 =2 +60（3）连结 BD，交 A1B1于点 G，过点 A

25、1作 A1HAC 于点 H . P B1A DC B A1H G 图 1 图 2 图 3 P B1FM A DEC B A1P B1FM A DEC B A1P B1A DC B A1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载 B1 A1P= A1PA=60 A1B1AC 由题意得： AP= A1 PA=60 PAA1是等边三角形 A1H=)2(23x在 RtABD 中， BD=32BG=xx233)2(2332xxSBBA33223342111（0x2）9. （2011 广东株洲， 20，6 分）如

26、图，ABC中， AB=AC ， A=36， AC的垂直平分线交AB于 E ， D为垂足，连结EC （ 1）求 ECD的度数；（ 2）若 CE=5 ，求 BC长【答案】（1）解法一： DE 垂直平分AC ， CE=AE ， ECD=A=36 . 解法二： DE 垂直平分 AC ， AD=CD ， ADE= CDE=90 ，又 DE =DE ， ADE CDE， ECD=A=36 . （2）解法一： AB=AC ， A=36， B= ACB=72 ， ECD=36 ， BCE= ACB- ECD=36，BEC=72=B， BC=EC=5. 解法二： AB=AC ， A=36， B= ACB=72

27、， BEC= A+ ECD=72， BEC= B，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载BC=EC=5. 10 (2011 重庆綦江， 24，10 分)如图，等边 ABC 中， AO 是 BAC 的角平分线，D 为 AO上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边 CDE ,连结 BE. (1) 求证： ACD BCE；(2) 延长 BE 至 Q, P 为 BQ 上一点， 连结 CP、CQ 使 CPCQ5, 若 BC8 时，求 PQ的长 . 【答案】：(1)证明 ABC 和CDE 均为等边三角形，

28、ACBC , CDCE且ACBDCE 60ACDDCBDCBBCE60ACDBCEACDBCE（2）解：作CHBQ 交 BQ 于 H,则 PQ2HQ 在 RtBHC 中 ，由已知和（ 1）得CBHCAO30 ， CH 4 在 RtCHQ 中， HQ3452222CHCQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载PQ2HQ6 11. （2011 江苏扬州， 23,10 分）已知：如图，锐角ABC 的两条高BD、CE 相交于点O，且 OB=OC ，（ 1）求证： ABC 是等腰三角形；（ 2）判断点O 是

29、否在 BAC 的角平分线上，并说明理由。【答案】（1）证明： OB=OC OBC=OCB BD、 CE 是两条高 BDC= CEB=90 又 BC=CB BDC CEB（AAS ） DBC= ECB AB=AC ABC 是等腰三角形。（2）点 O 是在 BAC 的角平分线上。连结AO. BDC CEB DC=EB, OB=OC OD=OE 又 BDC= CEB=90 AO=AO ADO AEO （HL） DAO= EAO 点 O 是在 BAC 的角平分线上。12. （2011 广东省， 21，9 分）如图（ 1） ， ABC 与 EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE重合， AB=EF=9，

30、 BAC DEF 90 ，固定 ABC，将 EFD 绕点 A 顺时针旋转，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H 点，如图（ 2）. （1）问：始终与AGC 相似的三角形有及；（2）设 CGx，BHy，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据2 的情况说明理由） ；（3）问：当x为何值时，AGH 是等腰三角形？【解】 （1） HGA 及 HAB ；（2）由（

31、 1）可知 AGC HAB CGACABBH，即99xy，所以，81yx（3）当 CG 12BC时， GAC= H HAC ， AC CH AG AC ， AG GH 又 AH AG ， AH GH 此时， AGH不可能是等腰三角形；当 CG=12BC时， G为 BC的中点， H与 C重合， AGH是等腰三角形；此时， GC=922，即 x=922当 CG 12BC时，由（ 1）可知 AGC HGA 所以，若 AGH 必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若 AG=AH ，则 AC=CG ，此时 x=9 综上，当 x=9 或922时， AGH 是等腰三角形13. （2011 湖北黄冈， 18，

32、7 分）如图，在等腰三角形ABC 中， ABC=90 ， D 为 AC 边上中点，过D 点作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4 ，FC=3，求 EF 长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载【答案】连结BD ，证 BED CFD 和 AED BFD，求得 EF=514. （2011 湖北襄阳， 21，6 分）如图 6，点 D，E 在 ABC 的边 BC 上，连接AD，AE. ABAC； ADAE； BDCE. 以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成

33、三个命题：；.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.【答案】（1）；. 3 分（2） （略）6 分15. （2011 山东泰安， 29 ， 10 分）已知：在ABC 中， AC=BC， ACB=900，点 D 是 AB的中点，点E 是 AB 边上一点。（ 1）直线 BF 垂直于 CE 于点 F，交 CD 于点 G（如图），求证： AE=CG；（ 2）直线 AH 垂直于 CE 于，垂足为H，交 CD 的延长线于点M（如图），找出图中与BE 相等的线段，并说明。EDCBA图 6 第 18 题图B A E D F C 精选学习资料 -

34、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载【答案】（1）证明：点D 是 AB 中点， AC=BC， ACB=900CDAB， ACD=BCD =450CAD=CBD=450 CAE=BCG又 BFCE CBG+BCG=900又 ACE+BCF=900 ACE=CBGAEC CGBAE=CG（2）BE=CM证明： CHHM，CDED CMA +MCH =900BEC+MCH =900 CMA =BEC又， AC=BC， A CM= CBE=450BCE CAMBE=CM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页