《绝对值三角不等式及其应用课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《绝对值三角不等式及其应用课件（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 绝对值不等式绝对值不等式关于绝对值还有什么性质呢关于绝对值还有什么性质呢? ?绝对值三角不等式实数实数a a的的绝对值绝对值|a|a|的几何意义是：表示数轴上坐的几何意义是：表示数轴上坐标为标为a a的点的点A A到原点的距离：到原点的距离：O Oa aA Ax x|a|a|x xA AB Ba ab b|a-b|a-b|任意两个实数任意两个实数a,ba,b在数轴上的对应点分别为在数轴上的对应点分别为A A、B B，那么那么|a-b|a-b|的几何意义是：的几何意义是：根据绝对值的定义，实数根据绝对值的定义，实数a a的的绝对值绝对值|a|a|有有明确的几何意义：明确的几何意义：A A、B
2、B两点间的距离即线段两点间的距离即线段ABAB的长度。的长度。 联系绝对值的几何意义，从联系绝对值的几何意义，从“运算运算”的角度研的角度研究究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：等之间的关系：分分ab0ab0和和ab0ab0ab0时，如下图可得时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|a+b|=|a|+|b|O Ox xa ab ba+ba+bO Ox xa ab ba+ba+b（2 2）当）当ab0ab0,b0,b0，如下图可得：如下图可得：|a+b|a|+|b|a+b|a|+|b|O Ob ba ax xa+ba+b如果如果a0a0，如下
3、图可得：，如下图可得：|a+b|a|+|b|a+b|a|+|b|a+ba+ba ab bx xO O（3 3）如果）如果ab=0ab=0，则，则a=0a=0或或b=0b=0，易得：，易得： |a+b|=|a|+|b|a+b|=|a|+|b| 定理定理1 1 如果如果a, ba, b是实数，则是实数，则 |a+b|a+b|a|+|b|a|+|b|当且仅当当且仅当ab0ab0时，等号成立。时，等号成立。探究探究 如果把定理如果把定理1 1中的实数中的实数a, ba, b分别换成向量分别换成向量a, b, a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？义吗？x
4、 x为了更好地理解定理为了更好地理解定理1 1，我们再，我们再从代数推理的角度给出证明从代数推理的角度给出证明由于定理由于定理1 1与三角形之间的这种关系，我们与三角形之间的这种关系，我们称称|a+b|a+b|a|+|b|a|+|b|这个不等式为这个不等式为绝对绝对值三角不等式。值三角不等式。证明证明: 1: 10 0. .当当ab0 0时时, , 2 20 0. . 当当ab00时时, , 综合综合1 10 0,2,20 0知定理成立知定理成立. .定理定理1 1的代数证明：的代数证明：探究探究 你能根据定理你能根据定理1 1的研究思路，探究一下的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|
5、,|a-b|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|a|-|b|与与|a+b|a+b|，|a|+|b|a|+|b|与与|a-b|a-b|，|a|-|b|a|-|b|与与|a-|a-b|b|等之间的关系。等之间的关系。 |a|-|b|a+b|, |a|-|b|a+b|, |a|+|b|a-b|, |a|+|b|a-b|, |a|-|b|a-b|. |a|-|b|a-b|. 如果如果a, ba, b是实数，那么是实数，那么 |a|-|b|a|a|-|b|ab|a|+|b|b|a|+|b|a|-|b|a|-|b|a+b|a+b|a|+|b
6、| |a|+|b| 以上讨论了关于两个实数的绝对值不等式，这以上讨论了关于两个实数的绝对值不等式，这是最基本、最重要的绝对值不等式。根据这样是最基本、最重要的绝对值不等式。根据这样的思想方法，我们可以讨论涉及多个实数的绝的思想方法，我们可以讨论涉及多个实数的绝对值不等式问题对值不等式问题定理定理2 2 如果如果a, b, ca, b, c是实数，那么是实数，那么 |a-c|a-b|+|b-c|a-c|a-b|+|b-c|当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)0(a-b)(b-c)0时，等号成立。时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b
7、-c)|a-b|+|b-c|a-c|=|(a-b)+(b-c)|a-b|+|b-c|当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)0(a-b)(b-c)0时，等号成立。时，等号成立。B B 绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式的应用证证: :证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5.所以所以 |2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|5. .例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？ 分析：分析：假设生活区建在公路路碑的第假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两处，两个施工队每天往返的路程之和为个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。的最小值，可用绝对值三角不等式求解。
