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1、精品资料欢迎下载二次函数零点问题【探究拓展】探 究1: 设21,xx分 别 是 实 系 数 一 元 二 次 方 程02cbxax和02cbxax的 一 个 根 , 且,0,2121xxxx求证:方程022cbxxa有且仅有一根介于21, xx之间 . 变式 1:已知函数f(x)ax24xb(a0,a、bR),设关于x 的方程 f(x)0 的两实根为x1、x2,方程 f(x)x 的两实根为 、 . (1)若 | |1,求 a、 b的关系式;(2)若 a、 b 均为负整数,且| |1,求 f(x)的解析式;(3)若 1 2,求证: (x11)(x2 1)2c2b,求证:(1) a0 且 3ba34
2、;(2)函数 f(x)在区间 (0,2)内至少有一个零点;(3)设 x1、x2是函数 f(x)的两个零点,则2|x1x2|574. 变式 4:设函数2( )(0)f xaxbxc a且(1)2af. (1)求证:函数( )f x有两个零点;(2)设12,x x是函数( )fx的两个零点,求12xx的取值范围;(3)求证:函数( )f x的零点12,x x至少有一个在区间0,2内. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精品资料欢迎下载探究 2:已知方程xbxabx212有两个不相等的实数根. (1)求ab的取值范围;(2
3、)求证:函数1)(2bxaxxf在区间1 , 1上是单调函数 . 变式:已知二次函数1)(2bxaxxf和bxabxxg21)(2(1)若)(xf为偶函数,试判断)(xg的奇偶性;(2)若方程xxg)(有两个不相等的实根,当0a时判断)(xf在1 , 1上的单调性;(3)若方程xxg)(的两个不相等的实根为21,xx,0)(xf的两实根为43,xx,求使得4213xxxx成立的a的取值范围 . 探究 3:二次函数2( )f xxaxa,方程( )0f xx的两根1x和2x满足1201xx(1)求实数a的取值范围; ( 2)试比较(0)(1)(0)fff与116的大小并说明理由变式:已知)()(
4、1)(babxaxxf,nm,是)(xf的零点,且nm,则nmba,从小到大的顺序为 _ 探究 4:已知a是实数,函数2( )223f xaxxa,如果函数( )yf x在区间 11,上有零点,求a的取值范围解析 1:函数( )yf x 在区间 -1,1上有零点,即方程2( )223f xaxxa =0 在-1,1 上有解 . a=0 时,不符合题意,所以a 0, 方程 f(x)=0 在 -1,1上有解 ( 1)(1)0ff或( 1)0(1)048 (3)01 1.1afafaaa15a或372a或5a372a或 a 1.所以实数a 的取值范围是372a或 a 1.精选学习资料 - - - -
5、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精品资料欢迎下载点评:通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题. 解析 2:a=0 时,不符合题意,所以a0, 又2( )223f xaxxa =0 在-1,1上有解,2(21)32xax在-1,1上有解212132xax在 -1,1上有解,问题转化为求函数22132xyx-1,1上的值域;设t=3-2x ,x-1,1 ,则 23xt , t1,5,21 (3)217(6)22tyttt,设2277( ). ( )tg ttg ttt,1, 7)t时,( )0g t,此函数g(t)单调递减,( 7,5t时,(
6、 )g t 0,此函数g(t) 单 调 递 增 , y 的 取值 范 围 是73,1, 2( )223fxaxxa =0 在 -1 , 1 上 有 解1a73,11a或372a. 点评 : 将原题中的方程化成212132xax的形式 , 问题转化为求函数22132xyx-1,1上的值域的问题,是解析2 的思路走向 . 变式 1:已知函数2( )243f xaxxa(1)求证:函数y = f(x) 的图象恒过两个定点(2)若 y = f(x)在( 1,3)内有零点,求a 的取值范围(1)设2243yaxxa,即2(4)23ya xx令 x2 = 4,得 x = 2 或 2则函数 y = f(x)
7、 的图象恒过定点(2,7) , (2, 1) (2) f( 2) = 7 0,f(2) = 1 0,抛物线开口向上,y = f(x)在( 1,3)内有零点,当且仅当f(1) 0,或 f(3) 0则(1)243310faaa, 或(3)9643530faaa0 13a,或35a2)若 a 0即(1)243310faaa13a,结合 a 0,得 a 03)若 a = 0, y = f(x)的零点为32,在( 1,3)内综合 1) , 2) ,3) ,得 a 的取值范围为( ,13)(35, ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共
8、 8 页精品资料欢迎下载变式 2:已知函数2( )1f xaxbx(1)若( )0f x的解集是)3 , 1(,求实数ba,的值;(2)若a为整数,2ba,且函数( )f x在( 2, 1)上恰有一个零点,求a的值探究 5:已知函数mxmxxf4)4(2)(2,mxxg)(,若对于任意的实数x,)(xf与)(xg的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是_. 变式 1:已知函数f (x)2mx22(4m)xl,g(x)mx,若对于任一实数x,f (x)与 g (x)的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是. 8 ,0分析:问题可转化为数学符号语言:“已知函数f (x)2mx22(4 m)x
9、l,g(x)mx,xR,0fx或0g x” ,求实数 m 的取值范围 . 不难发现, 若利用上述解法3,采用对立转化法,即可设命题:qxR ,0fx或0gx;则命题:qxR ,00fxg x. 若命题q成立时:首先,当0m时,810fxxg x,存在实数x,使得不等式组成立. 其次,当0m时,函数 f (x)为开口向下的二次函数,g (x)为R上的减函数且值域为R, 必存在0xR,使得函数00fx且00gx. 再者,当0m时, g(x)为R上的增函数且值域为R; 若存在实数x使0fx成立,即要有min0fx. 又2min2402mmfxm,解得8m或 02m;综上,若命题q 成立时:有2m或8
10、m;即可知当命题q成立时:2,8m.答案错了变式 2:设函数3)(2aaxxxf,函数aaxxg2)(,若存在Rx0,使得0)(0xf与0)(0xg同时成立,则实数a的取值范围是 _ 挖掘题中隐含条件:存在Rx0,使得0)(0xf,从而对参数的范围进行局部缩小;解析:由2( )3f xxaxa知03,14faf,又存在0Rx,使得0()0f x知2430aa即2a或6a,另( )2g xaxa 中恒过2,0,故由函数的图象知:若0a时,2( )3f xxaxa23x恒大于 0,显然不成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共
11、8 页精品资料欢迎下载若0a时,0720aaf若0a时,x对12a,另14f,显然不成立。解法 1(分离参数法)20xa当,时,或者当20xa,时,都有0g x. 当0fx时231xa x,则有:当1x时,231xax0;当1x时,231xax0 ;因此,若0xR,使得00fx与00gx同时成立,则由上分析可知:只有当012x时,不等式20031xax成立 . 设函数231xh xx,1,2x. 令1 01txt,24h ttt,易求7h t. 则7.a解法 2(数形结合法)由于0gx02ax当时,;02ax当时,. 若存在0xR,使得00fx,则2=4120aa,即62aa或;则:1当6a时
12、,由题意可知,02x,00fx. 二次函数对称轴32ax,yfx在,2上为减函数,则20f,即7a. 2当2a时,02x,00fx. 而二次函数对称轴02ax,yfx在0,上为增函数,又14f,因此2x,0fx,此情形下a. 综上,7a. 解法 3(对立转化法)命题 p:若0xR,使得00fx与00g x同时成立 . 则p:对xR,0fx或0g x成立 . 下研究若命题p 成立时,参数a的取值范围:1当0a时,xR,0g x恒成立,因此,0a适合题意 . 2当0a时,0g x2x;则(,2|0xfx,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
13、5 页,共 8 页精品资料欢迎下载2.12220af,即 47a;2.20220a,即 04a;因此有 07a. 3当0a时,0g x2x;则2,)|0xfx,有2220af,即0a;因此,0a. 综上,当7a时,p 成立;那么,命题p 成立时,7a. 变式 3: 设函数3)(2aaxxxf, 函数axxg)(, 若不存在Rx0, 使得0)(0xf与0)(0xg同时成立,则实数a的取值范围是_ 评注:(1)含参曲线的特征观察(定点?平行直线系?切线构成的包络线?)(2)充分挖掘题中的隐含条件,从而对参数的范围进行局部缩小;变式 4:函数)2)(2()(mnxmnxnxf,4121)(xxg,对
14、,Rx有0)(xf或0)(xg成立 .若annm32,则实数a的取值范围是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精品资料欢迎下载变式 5:已知)3)(2()(mxmxmxf,22)(xxg,若同时满足条件:Rx,0)(xf或0)(xg; x( -, -4), )(xf0)(xg,则 m 的取值范围是 _ 2-4- ,分析:对于条件,仍然采用对立转化法,分析命题:p “xR,0fx且0g x”. 又当1x时,函数0g x,则只要存在实数1,)x使0fx成立即可 . 首先,当0m时,0fx,则0m适合;其次,当0m时,
15、二次函数fx开口向上,则总存在实数x使0fx成立 . 再者,当0m时,二次函数fx开口向下,即要有max0fx;又此时二次函数对称轴方程为3302mx,则max11240fxfmmm,解得4m;因此,命题p 成立时,0m或4m;那么条件成立时,4,0m;对于条件,当4x时,0g x,则可知存在4x,0fx;并且4,0m.可分如下两种情形: (1)2434( 4)0mmf,解得4,2m;(2)2434( 4)0mmf,解得 m;综上可知,当条件都成立时,4, 2m. 探究 6: 设2( )(0)f xaxbxc a, 方程( )f xx 的两个根是1x 和2x , 且10x,211xxa. 又若
16、10tx ,试比较( )f t 与1x 的大小 . 【解】因为1x 、2x 是方程2axbxcx 的两个根,所以121bxxa,12cx xa,2111axbxcx . 因此22111( )()()f txatbtcaxbxc11111()()()()ba txtxb txa txtxa. 由122121110btxtxtxxxaaaa,及0a,10tx,得1( )0f tx. 所以,当10tx 时,有1( )f tx . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精品资料欢迎下载探究 7:实数, ,a b cR,函数cbx
17、axxg23)(2,0cba,且满足0)1 ()0(gg. (1)求ca的取值范围;(2)设 a为常数, 且 a 0,已知函数)(xg的两个零点为x1,x2 ,令cxbxaxxf23)(且11(,()A xf x,22(,()B xf x,求证:6,92)()(1212aaxxxfxf. 探究 8:设函数2|( ),2xf xaxaRx(1)当2a,求函数)(xf的零点;222,222,262,0(2)当0a时,求证:函数)(xf在,0内有且仅有一个零点;(3)若函数)(xf有四个不同的零点,求实数a的取值范围 . 1a变式 1:若关于x 的方程|x|x 1kx2有四个不同的实数根,则实数k 的取值范围是_4k变式 2:已知函数231xyaxx有三个零点,则实数a 的取值范围是(0,3)【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页