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1、名师总结优秀知识点直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角: (1)定义 :在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,如果把x轴绕着交点按 逆时针方向转到和 直线l重合 时所转的 最小正角 记为,那么就叫做直线的倾斜角。 当直线l与x轴重合或平行时, 规定倾斜角为0; (2)倾斜角的范围, 0。如( 1)直线023cosyx的倾斜角的范围是_(答:50)66,) ; ( 2)过点), 0(),1 ,3(mQP的直线的倾斜角的范围m那么,32,3值的范围是_(答:42mm或)2、直线的斜率 : (1)定义 :倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k,即ktan(90) ;倾斜角
2、为90的直线没有斜率; (2)斜率公式 :经过两点111(,)P xy、222(,)P xy的直线的斜率为212121xxxxyyk; ( 3) 直线的方向向量(1, )ak , 直线的方向向量与直线的斜率有何关系?(4) 应用 :证明三点共线:ABBCkk。如(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的_条件(答:既不充分也不必要) ;(2)实数,x y满足3250xy(31x), 则xy的最大值、 最小值分别为_ (答:2,13)3、直线的方程: ( 1) 点斜式:已知直线过点00(,)xy斜率为k,则直线方程为00()yyk xx,它不包括垂直于x轴的直线。 (2) 斜截式 :已知直线在y轴
3、上的截距为b和斜率k,则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。(3)两点式 :已知直线经过111(,)P xy、222(,)P xy两点,则直线方程为121121xxxxyyyy,它不包括垂直于坐标轴的直线。(4)截距式 :已知直线在x轴和y轴上的截距为,a b,则直线方程为1byax,它不 包 括 垂 直 于 坐 标 轴 的 直 线 和 过 原 点 的 直 线 。 ( 5) 一 般 式 : 任 何 直 线 均 可 写 成0AxByC(A,B 不同时为0)的形式。 如 (1)经过点(2,1)且方向向量为v=(1,3)的 直 线 的 点 斜 式 方 程 是 _ ( 答 :13 (2 )y
4、x);( 2 ) 直 线(2 )( 21 )( 34 )mxmym,不管m怎样变化恒过点_(答:( 1, 2)) ; (3)若曲线|ya x与(0)yxa a有两个公共点, 则a的取值范围是 _(答:1a)提醒 :(1) 直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢?) ;(2) 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为 -1 或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1 或直线过原点;直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点(1,4)A,且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条(答: 3)4. 设直线方程的一些常用技
5、巧: (1)知直线纵截距b,常设其方程为ykxb; (2)知直线横截距0x,常设其方程为0xmyx(它不适用于斜率为0 的直线 ); (3)知直线过点00(,)xy,当斜率k存在时,常设其方程为00()yk xxy,当斜率k不存在时,则其方程为0xx; (4)与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC; (5)与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC. 提醒 :求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页名师总结优秀知识点5、点到直线
6、的距离及两平行直线间的距离:(1)点00(,)P xy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB;(2)两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。6、直线1111:0lA xB yC与直线2222:0lA xB yC的位置关系 :(1)平行12210A BA B(斜率)且12210B CB C(在y轴上截距);(2)相交12210A BA B;(3)重合12210A BA B且12210B CB C。提醒 : (1)111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件!为什么?( 2)在解析几
7、何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线;( 3) 直线1111:0lA xB yC与直线2222:0lA xB yC垂直12120A AB B。如( 1) 设直线1:60lxmy和2:(2)320lmxym,当m _时1l2l;当m_时1l2l;当m_时1l与2l相交; 当m _时1l与2l重合(答: 1;12;31且mm;3) ; (2)已知直线l的方程为34120xy,则与l平行,且过点( 1,3)的直线方程是_(答:3490xy) ; (3)两条直线40axy与20xy相交于第一象限,则实数a的取值范围是_(答:12a)
8、; (4) 设, ,a b c分别是 ABC中 A 、 B、 C 所对边的边长,则直线sin0A xayc与sinsin0bxB yC的位置关系是_(答:垂直) ; (5) 已知点111(,)P x y是直线:( ,)0lfx y上一点,222(,)Pxy是直线l外一点,则方程1122( , )(,)(,)fx yf xyf xy0 所表示的直线与l的关系是 _(答:平行) ; (6)直线l过点(,) ,且被两平行直线360xy和330xy所截得的线段长为9,则直线l的方程是 _(答:43401xyx和)7、到角和夹角公式: ( 1)1l到2l的角是指直线1l绕着交点按逆时针方向转到和直线2l
9、重合所转的角,,0且 tan=21121kkkk(121k k); (2)1l与2l的夹角是指不大于直角的角,(0,2且 tan=21121kkkk(121k k)。提醒 :解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点 M 是直线240xy与x轴的交点,把直线l绕点 M逆时针方向旋转45,得到的直线方程是_(答:360xy)8、对称(中心对称和轴对称)问题代入法:如(1)已知点( , )M a b与点N关于x轴对称,点P 与点 N 关于y轴对称,点Q 与点 P 关于直线0xy对称,则点Q 的坐标为_(答:( , )b a) ; (2)已知直线1l与2l的夹角平分线为yx,若1l的方程
10、为0(0)axbycab,那么2l的方程是 _(答:0bxayc) ; (3)点(,)关于直线l的对称点为 (2,7),则l的方程是 _(答:3y=3x) ; (4)已知一束光线通过点(,) , 经直线l:3x4y+4=0 反射。如果反射光线通过点(,15) ,则反射光线所在直线的方程是_(答:18x510y) ; (5)已知 ABC顶点 A(3, ),边上的中线所在直线的方程为6x+10y 59=0, B 的平分线所在的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页名师总结优秀知识点方程为 x4y+10=0 ,求边所在的直线方
11、程(答:29650xy) ; (6)直线 2xy4=0 上有一点,它与两定点(4,1) 、( 3,4)的距离之差最大,则的坐标是_(答: (5,6) ) ; (7)已知Ax轴,:Blyx,C(2,1) ,ABC周长的最小值为_(答:10) 。提醒 :在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9、简单的线性规划:(1)二元一次不等式表示的平面区域:法一: 先把二元一次不等式改写成ykxb或ykxb的形式,前者表示直线的上方区域,后者表示直线的下方区域;法二:用特殊点判断;无等号时用虚线表示不包含直线l,有等号时用实线表示包含直线l;设点11(,)P x y,22(,)Q xy,若11A
12、xByC与22AxByC同号,则 P,Q 在直线l的同侧,异号则在直线l的异侧。 如 已知点 A( 2,4) ,B(4,2) ,且直线:2lykx与线段 AB恒相交,则k的取值范围是_(答:31,)(2)线性规划问题中的有关概念:满足关于, x y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量, x y的解析式叫目标函数,关于变量, x y一次式的目标函数叫线性目标函数;求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题;满足线性约束条件的解(, x y)叫可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解;(3)求解线性规划问题的步
13、骤是什么?根据实际问题的约束条件列出不等式;作出可行域,写出目标函数;确定目标函数的最优位置,从而获得最优解。如( 1)线性目标函数 z=2xy 在线性约束条件| 1| 1xy下,取最小值的最优解是_ (答: ( 1,1) ) ; ( 2)点(,t)在直线 2x3y+6=0 的上方,则t的取值范围是_(答:23t) ; (3)不等式2|1|1|yx表示的平面区域的面积是_ (答: 8) ; (4)如果实数yx,满足2040250xyxyxy,则|42|yxz的最大值 _(答: 21)(4)在求解线性规划问题时要注意:将目标函数改成斜截式方程;寻找最优解时注意作图规范。10、圆的方程 :圆的标准
14、方程:222xaybr。圆的一般方程:22220(DE4F0)xyDxEyF,特别提醒 :只有当22DE4F0时,方程220xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE,半径为22142DEF的圆(二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么?(0,AC且0B且2240DEAF) ) ;圆的参数方程:cossinxarybr(为参数),其中圆心为( , )a b,半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元:222cos ,sinxyrxryr;22xytcos ,sin(0)xryrrt。1122A,x yB xy为直径端点的圆方程12120xxxxyyyy如 (1) 圆 C
15、与圆22(1)1xy关于直线yx对称,则圆 C 的方程为 _ (答:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页名师总结优秀知识点22(1)1xy) ; (2)圆心在直线32yx上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_(答:9)3()3(22yx或1) 1()1(22yx) ; (3)已知( 1, 3)P是圆cossinxryr(为参数,02 )上的点,则圆的普通方程为_,P 点对应的值 为 _ , 过 P 点的 圆 的 切 线 方 程 是 _ ( 答 :224xy ;23;340xy) ; (4) 如果直线l将圆: x2+y
16、2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么l的斜率的取值范围是_(答: 0,2) ; (5)方程 x2+y x+y+k=0 表示一个圆,则实数k 的取值范围为 _(答:21k) ; (6)若3cos( , ) |3sinxMx yy(为参数,0),bxyyxN|),(,若NM,则 b 的取值范围是_(答:3,32)11、点与圆的位置关系:已知点00M,xy及圆222C0:x-aybrr, ( 1)点 M 在圆 C 外22200CMrxaybr; ( 2)点 M 在圆 C 内22200CMrxaybr; (3)点 M 在圆 C 上20CMrxa220ybr。 如点 P(5a+1,12a)在圆
17、(x )y2=1 的内部 ,则 a的取值范围是_ (答:131| a)12、直线与圆的位置关系:直线:0lAxByC和圆222C:xaybr0r有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断:(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):0相交;0相离;0相切;(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为d,则dr相交;dr相离;dr相切。 提醒 :判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 如 ( 1) 圆12222yx与直线sin10(,2xyRk,)kz的位置关系为_(答:相离) ; (2) 若直线30axby与圆22410xyx切于点( 1
18、,2)P, 则ab的值 _ (答:2) ;(3) 直线20xy被曲线2262xyxy150所截得的弦长等于(答:4 5) ; (4) 一束光线从点A( 1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1 上 的 最 短 路 程 是( 答 : 4 ) ; ( 5) 已 知( ,)(0)Ma bab是 圆222:Oxyr内一点,现有以M为中点的弦所在直线m和直线2:laxbyr,则A/ml,且l与圆相交Blm,且l与圆相交C/ml,且l与圆相离D lm,且l与圆相离(答:C) ; ( 6) 已知圆C:22(1)5xy,直线L :10mxym。求证:对mR,直线 L 与圆 C 总有两个不
19、同的交点;设L 与圆C 交于 A、B 两点,若17AB,求 L 的倾斜角;求直线L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. (答:60或120最长:1y,最短:1x)13、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断):已知两圆的圆心分别为12OO, 半径分别为12,r r, 则 (1) 当1 212| OOrr时, 两圆外离; ( 2) 当1 212| OOrr时,两圆外切; (3)当121212|OOrrrr时,两圆相交;(4)当1212|OO|rr时,两圆内切;(5)当12120|O O|rr时,两圆内含。如双曲线22221xyab的左焦点为F1,顶点为A1、 A2,P 是双曲
20、线右支上任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页名师总结优秀知识点关系为(答:内切)14、圆的切线与弦长:(1)切线: 过圆222xyR 上一点00(,)P xy圆的切线方程是:200xxyyR,过圆222()()xaybR上一点00(,)P xy圆的切线方程是:200()()()()xaxayayaR,一般地, 如何求圆的切线方程?(抓住圆心到直线的距离等于半径) ;从 圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法(抓住圆心到直线的距离
21、等于半径)来求;过两切点的直线(即“切点弦” )方程的求法:先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就 是 过 两 切 点 的 直 线 方 程 ; 切 线 长 : 过 圆220xyDxEyF(222()()xaybR)外一点00(,)P xy所引圆的切线的长为220000xyDxEyF(22200()()xaybR) ;如 设 A 为圆1) 1(22yx上动点, PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程为_(答:22(1)2xy) ;(2)弦长问题 :圆的弦长的计算: (垂径定理)常用弦心距d,半弦长12a及圆的半径r所构成的直角三角形来解:2221()2rda;过两圆1:( , )0Cf x y、2:( , )0Cg x y交点的圆 (公共弦 )系为( ,)( , )0f x yg x y,当1时,方程( , )( , )0f x yg x y为两圆公共弦所在直线方程.。15. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用( 如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页