2022年特殊的四边形

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1、第 1 页（共 27 页）特殊的四边形压轴题题一解答题（共30 小题）1已知，正方形 ABCD中，MAN=45 ，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M、N，AHMN 于点 H（1）如图，当 MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN时，请你直接写出AH与 AB的数量关系：；（2）如图，当 MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时， （1）中发现的 AH与 AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知 MAN=45 ，AHMN 于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH的长 （可利用（ 2）得到的结论）2如图，在 ?ABCD

2、中，BC=2AB=4 ，点 E 、F分别是 BC 、AD的中点（1）求证： ABE CDF ；（2）当四边形 AECF为菱形时，求出该菱形的面积3如图，在 ABC中，D 是 BC边上的一点， E是 AD的中点，过 A 点作 BC的平行线交 CE的延长线于 F，且 AF=BD ，连接 BF（1）求证： D是 BC的中点（2）如果 AB=AC ，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页第 2 页（共 27 页）4已知在 RtABC中， ACB=90 ，现按如下步骤作图：分别以 A，C

3、为圆心， a 为半径（ aAC ）作弧，两弧分别交于M，N 两点；过 M，N 两点作直线 MN 交 AB于点 D，交 AC于点 E；将 ADE绕点 E顺时针旋转 180 ，设点 D的像为点 F（1）请在图中直线标出点F并连接 CF ；（2）求证：四边形 BCFD是平行四边形；（3）当 B为多少度时，四边形BCFD是菱形5如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点 P 是 AB边上一点（不与A，B 重合） ，连接 CP ，过点 P作 PQCP交 AD边于点 Q，连接 CQ （1）当 CDQ CPQ时，求 AQ的长；（2）取 CQ的中点 M，连接 MD，MP，若 MDMP，求 AQ的长6正方形

4、 ABCD和正方形 AEFG有公共顶点 A，将正方形 AEFG绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG= ，其中 0 180 ，连结 DF，BF ，如图（1）若 =0，则 DF=BF ，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例） ，说明（ 1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（ 1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由7如图正方形 ABCD中，E为 AD 边上的中点，过 A 作 AF BE ，交 CD边于 F，M 是 AD 边上一点，且有 BM=DM+CD（1）求证：点 F是 CD边的中点；（2）求证： MBC=2 ABE

5、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页第 3 页（共 27 页）8如图，在正方形ABCD中，E、F分别为 BC 、AB上两点，且 BE=BF ，过点 B 作 AE的垂线交 AC于点 G，过点 G作 CF的垂线交 BC于点 H延长线段 AE 、GH交于点 M（1）求证： BFC= BEA ；（2）求证： AM=BG+GM9如图，已知矩形 ABCD ，AD=4，CD=10 ，P是 AB上一动点， M、N、E分别是 PD 、PC 、CD的中点（1）求证：四边形 PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当 AP为何值时，四边形

6、PMEN是菱形；（3）四边形 PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由10如图，已知正方形ABCD ，把边 DC绕 D点顺时针旋转 30 到 DC 处，连接 AC ，BC ，CC ，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程11如图，在正方形ABCD中，点 E、点 F 分别在边 BC 、DC上，BE=DF ，EAF=60 （1）若 AE=2，求 EC的长；（2）若点 G在 DC上，且 AGC=120 ，求证： AG=EG +FG 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页第 4 页（共 27 页）

7、12如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O点 E是线段 DO上一点，连接 CE 点 F是OCE的平分线上一点，且 BF CF与 CO相交于点 M点 G是线段 CE上一点，且 CO=CG （1）若 OF=4，求 FG的长；（2）求证： BF=OG +CF 13 （1）如图，两个正方形的边长均为3，求三角形 DBF的面积（2）如图，正方形ABCD的边长为 3，正方形 CEFG 的边长为 1，求三角形 DBF的面积（3）如图，正方形ABCD的边长为 a，正方形 CEFG 的边长为 b，求三角形 DBF的面积14如图，正方形 ABCD中，E是 BD上一点， AE的延长线交 CD于 F，交 BC的延

8、长线于 G，M 是 FG的中点（1）求证： 1=2；EC MC（2）试问当 1 等于多少度时， ECG为等腰三角形？请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页第 5 页（共 27 页）15如图，正方形 ABCD中，M 为 BC上除点 B、C 外的任意一点， AMN 是等腰直角三角形，斜边AN与 CD交于点 F，延长 AN 与 BC的延长线交于点 E，连接 MF、CN （1）求证： BM+DF=MF ；（2）求 NCE的度数16如图，在菱形 ABCD中，AB=2，DAB=60 ，点 E是 AD 边的中点，点 M 是

9、 AB边上的一个动点（不与点 A 重合） ，延长 ME 交 CD的延长线于点 N，连接 MD，AN（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形（2）当 AM 的值为何值时，四边形AMDN 是矩形？请说明理由17如图， ABC中，AB=AC ，AD是ABC外角的平分线，已知 BAC= ACD （1）求证： ABC CDA ；（2）若 B=60 ，求证：四边形 ABCD是菱形18如图，在 ABC中，AB=AC ，B=60 ，FAC 、ECA是ABC的两个外角， AD 平分 FAC ，CD平分 ECA 求证：四边形 ABCD是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

10、- - - - -第 5 页，共 27 页第 6 页（共 27 页）19如图，在四边形ABCD中，AB=AD ，CB=CD ，E是 CD上一点， BE交 AC于 F，连接 DF （1）证明： BAC= DAC ，AFD= CFE （2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD是菱形；（3）在（ 2）的条件下，试确定E点的位置，使得 EFD= BCD ，并说明理由20如图， ABC中，AB=AC ，AD 是BAC的角平分线，点O 为 AB的中点，连接 DO并延长到点 E，使 OE=OD ，连接 AE，BE （1）求证：四边形 AEBD是矩形；（2）当 ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说

11、明理由21如图， ABC中，点 O是边 AC上一个动点，过 O 作直线 MNBC 设 MN 交ACB的平分线于点 E，交 ACB的外角平分线于点F（1）求证： OE=OF ；（2）若 CE=12 ，CF=5 ，求 OC的长；（3）当点 O 在边 AC上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由22如图，过正方形ABCD的顶点 D 作 DE AC交 BC的延长线于点 E（1）判断四边形 ACED的形状，并说明理由；（2）若 BD=8cm，求线段 BE的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页第 7 页（共 27

12、 页）23如图，菱形 ABCD中，E是 AD中点， EF AC交 CB的延长线于点 F（1）DE和 BF相等吗？请说明理由（2）连接 AF、BE ，四边形 AFBE是平行四边形吗？说明理由24如图 1，菱形 ABCD中，点 E、F分别为 AB、AD的中点，连接 CE 、CF （1）求证： CE=CF ；（2）如图 2，若 H 为 AB上一点，连接 CH，使CHB=2 ECB ，求证： CH=AH +AB25如图，四边形 ABCD是菱形，E是 BD延长线上一点， F是 DB延长线上一点，且 DE=BF ，连接 AF、CF （1）请你猜想图中与点F有关的一个正确结论；（2）证明你的猜想26如图，菱

13、形 ABCD中，点 E、M 在 AD 上，且 CD=CM ，点 F为 AB上的点，且 ECF= B（1）若菱形 ABCD的周长为 8，且 D=67.5 ，求 MCD的面积；（2）求证： BF=EF EM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页第 8 页（共 27 页）27如图，在菱形 ABCD中， B=60 ，点 E、F分别在边 BC 、CD上（1）若 AB=4，试求菱形 ABCD的面积；（2）若 AEF=60 ，求证： AB=CE +CF 28 （1）人教版八年级数学下册92 页第 14 题是这样叙述的：如图1，?AB

14、CD中，过对角线 BD上一点 P作 EF BC，HGAB，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为和；（2）如图 2，点 P为?ABCD内一点，过点 P分别作 AD、AB的平行线分别交 ?ABCD的四边于点 E、F、G、H已知 S?BHPE=3，S?PFDG=5，则 SPAC=；（3）如图 3，若五个平行四边形拼成一个含30 内角的菱形 EFGH （不重复、无缝隙）已知四个平行四边形面积的和为14， 四边形 ABCD的面积为 11， 则菱形 EFGH 的周长为29将矩形纸片 ABCD折叠，使点 C与点 A 重合，然后展开，折痕为EF ，连接 A

15、E 、CF ，求证：四边形 AECF 是菱形30如图， ABC中， BAC=90 ，点 D 是 BC的中点， AEDC ，EC AD，连接 DE交 AC于点 O，（1）求证：四边形 ADCE是菱形；（2）若 AB=AO ，求 tanOCE的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页第 9 页（共 27 页）2017 年 11 月 04 日数学 1 的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题）1已知，正方形 ABCD中，MAN=45 ，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线

16、）于点M、N，AHMN 于点 H（1）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN时，请你直接写出 AH与 AB的数量关系：AH=AB；（2）如图，当 MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时， （1）中发现的 AH与 AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知 MAN=45 ，AHMN 于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH 的长 （可利用（2）得到的结论）【分析】 （1）由三角形全等可以证明AH=AB ，（2）延长 CB至 E，使 BE=DN ，证明 AEMANM，能得到 AH=AB ，（3）分别沿 AM、AN 翻折 AMH 和ANH，得到 ABM 和

17、AND，然后分别延长BM 和 DN 交于点C，得正方形 ABCE ，设 AH=x，则 MC=x 2，NC=x 3，在 RtMCN中，由勾股定理，解得x【解答】 解： （1）如图 AH=AB （2）数量关系成立如图，延长CB至 E，使 BE=DN ABCD是正方形， AB=AD ，D=ABE=90 ，在 RtAEB和 RtAND中，RtAEB RtAND，AE=AN ，EAB= NAD， EAM=NAM=45 ，在 AEM和ANM 中，AEMANM SAEM=SANM，EM=MN， AB、AH是AEM和ANM 对应边上的高， AB=AH （3）如图分别沿 AM、AN 翻折 AMH 和ANH，得到

18、 ABM 和AND，BM=2，DN=3，B=D=BAD=90 分别延长 BM 和 DN交于点 C， 得正方形 ABCD ， 由 （2） 可知， AH=AB=BC=CD=AD设 AH=x， 则 MC=x2， NC=x 3， 在 RtMCN中， 由勾股定理，得 MN2=MC2+NC252=（x2）2+（x3）2（6 分）解得 x1=6，x2=1 （不符合题意，舍去）AH=6 【点评】 主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等2如图，在 ?ABCD中，BC=2AB=4 ，点 E、F分别是 BC 、AD的中点（1）求证： ABE CDF ；（2）当四边形 AECF为菱形时，求出该菱形的面积精选

19、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页第 10 页（共 27 页）【分析】 第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等第（2）要求菱形的面积，在第（ 1）问的基础上很快知道 ABE为等边三角形这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得【解答】 （1）证明：在?ABCD中，AB=CD ，BC=AD ，ABC= CDA 又BE=EC= BC ，AF=DF= AD，BE=DF ABE CDF （2）解：四边形 AECF 为菱形， AE=EC 又点 E是边 BC的中点， BE=EC ，即 BE=AE 又 BC

20、=2AB=4 ，AB= BC=BE ，AB=BE=AE ，即 ABE为等边三角形，?ABCD的 BC边上的高为 2sin60 =，菱形 AECF 的面积为 2【点评】 考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力（1）用 SAS证全等； （2）若四边形 AECF 为菱形，则 AE=EC=BE=AB，所以 ABE为等边三角形3如图，在 ABC中，D 是 BC边上的一点， E是 AD的中点，过 A 点作 BC的平行线交 CE的延长线于 F，且 AF=BD ，连接 BF （1）求证： D是 BC的中点（2）如果 AB=AC ，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论【分析】 （1）因为 AFBC

21、 ，E为 AD的中点，即可根据AAS证明 AEF DEC ，故有 BD=DC ； （2）可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定【解答】 （1）证明： AF BC， AFE= DCE （1 分） E是 AD的中点， AE=DE （2 分）AEF= DEC ， AEF DEC （3 分） AF=DC ，AF=BD BD=CD ，D 是 BC的中点； （4 分）（2）四边形 AFBD是矩形， （5 分）证明： AB=AC ，D 是 BC的中点， ADBC ， ADB=90 ， （6分） AF=BD ，AFBC ，四边形 AFBD是平行四边形，（7 分）四边形 AFBD是矩形【点评】本题考查矩

22、形的判定和全等三角形的判定与性质要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系4已知在 RtABC中， ACB=90 ，现按如下步骤作图：分别以 A，C为圆心， a 为半径（ aAC ）作弧，两弧分别交于M，N 两点；过 M，N 两点作直线 MN 交 AB于点 D，交 AC于点 E；将 ADE绕点 E顺时针旋转 180 ，设点 D的像为点 F（1）请在图中直线标出点F并连接 CF ；（2）求证：四边形 BCFD是平行四边形；（3）当 B为多少度时，四边形BCFD是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27

23、 页第 11 页（共 27 页）【分析】 （1）根据题意作出图形即可；（2）首先根据作图得到 MN 是 AC的垂直平分线， 然后得到 DE等于 BC的一半，从而得到 DE=EF ，即DF=BC ，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；（3）得到 BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可【解答】 解： （1）如图所示：（2）根据作图可知： MN 垂直平分线段 AC ，D、E为线段 AB和 AC的中点， DE是ABC的中位线， DE= BC ，将 ADE绕点 E顺时针旋转 180 ，点 D的像为点 F，EF=ED ，DF=BC ，DEBC ，四边形 BCFD是平

24、行四边形；（3）当 B=60 时，四边形 BCFD是菱形； B=60 ，BC= AB，DB= AB，DB=CB ，四边形 BCFD是平行四边形，四边形BCFD是菱形【点评】本题考查了菱形的判定、 平行四边形的判定及基本作图的知识，解题的关键是能够了解各种特殊四边形的判定定理，难度不大5如图，在矩形 ABCD中，AB=5，AD=3，点 P是 AB边上一点（不与 A，B重合） ，连接 CP ，过点P作 PQCP交 AD边于点 Q，连接 CQ （1）当 CDQ CPQ时，求 AQ的长；（2）取 CQ的中点 M，连接 MD，MP，若 MDMP，求 AQ的长【分析】 （1）根据全等三角形的性质求得DQ=

25、PQ ，PC=DC=5 ，然后利用勾股定理即可求得；（2）方法 1、过 M 作 EF CD于 F，则 EF AB，先证得 MDFPME，求得 ME=DF= ，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得方法 2、利用三角形的外角和 DMP=90 ，得出 DCP=90 ，得出 BP=BC=3 ，再判断出 AQ=AP=2即可【解答】 解： （1） CDQ CPQ ，DQ=PQ ，PC=DC ，AB=DC=5 ，AD=BC=3 ，PC=5 ，在 RtPBC中，PB=4，PA=AB PB=54=1，设 AQ=x，则 DQ=PQ=3 x，在 RtPAQ中， （3x）2=x2+12，解得 x=，AQ= （2）方

26、法 1，如图 2，过 M 作 EF CD于 F，则 EF AB，MDMP，PMD=90 ， PME +DMF=90 ， FDM+DMF=90 ，MDF=PME，M 是 QC的中点， DM=QC ，PM= QC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页第 12 页（共 27 页）DM=PM，在 MDF和PME中， MDFPME （AAS ） ，ME=DF ，PE=MF ，EF CD ，ADCD ，EF AD，QM=MC，DF=CF= DC= ，ME= ，ME是梯形 ABCQ的中位线，2ME=AQ +BC，即 5=AQ+3

27、，AQ=2方法 2、点 M 是 RtCDQ的斜边 CQ中点， DM=CM，DMQ=2DCQ ，点 M 是 RtCPQ的斜边的中点， MP=CM， PMQ=2PCQ ，DMP=90 ，2DCQ +2PCQ=90 ，PCD=45 ， BCP=90 45 =45 ，BPC=45 =BCP ，BP=BC=3 ， CPQ=90 ， APQ=180 90 45 =45 ，AQP=90 45 =45 =APQ，AQ=AP=2 【点评】 本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等， （2）求得 MDFPME是本题的关键6正方形 ABCD和正方形

28、 AEFG有公共顶点 A，将正方形 AEFG绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG= ，其中 0 180 ，连结 DF，BF ，如图（1）若 =0，则 DF=BF ，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例） ，说明（ 1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由【分析】 （1）利用正方形的性质证明DGF BEF即可；（2）当 =180时，DF=BF （3）利用正方形的性质和DGF BEF的性质即可证得是真命题【解答】 （1）证明：如图 1，四边形 ABCD和四边形 AEFG为正方形，A

29、G=AE ，AD=AB ，GF=EF ，DGF= BEF=90 ，DG=BE ，在 DGF和BEF中， DGF BEF （SAS ） ，DF=BF ；（2）解：图形（即反例）如图2，（3）解：补充一个条件为：点F在正方形 ABCD内；即：若点 F在正方形 ABCD内，DF=BF ，则旋转角 =0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页第 13 页（共 27 页）【点评】 本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条

30、件7如图正方形 ABCD中，E为 AD 边上的中点，过 A 作 AF BE ，交 CD边于 F，M 是 AD 边上一点，且有 BM=DM+CD（1）求证：点 F是 CD边的中点；（2）求证： MBC=2 ABE 【分析】 （1）由正方形得到 AD=DC=AB=BC，C=D=BAD=90 ，ABCD，根据 AFBE ，求出 AEB=AFD ，推出 BAE ADF ，即可证出点 F是 CD边的中点；（2）延长 AD到 G使 BM=MG，得到 DG=BC=DC ，证FDG FCB ，求出 B，F，G 共线，再证 ABECBF ，得到 ABE= CBF ，根据三角形的外角性质即可求出结论（1）证明：正

31、方形ABCD ，AD=DC=AB=BC，C=D=BAD=90 ，ABCD ，AF BE， AOE=90 ， EAF +AEB=90 ，EAF +BAF=90 ，AEB= BAF ，ABCD ， BAF= AFD ， AEB= AFD ，BAD= D，AB=AD ， BAE ADF ，AE=DF ，E为 AD边上的中点，点F是 CD边的中点；（2）证明：延长 AD到 G使 MG=MB连接 FG ，FB，BM=DM+CD ，DG=DC=BC ， GDF= C=90 ，DF=CF ，FDG FCB （SAS ） ， DFG= CFB ，B，F，G 共线，E为 AD边上的中点，点F是 CD边的中点，

32、AD=CD AE=CF ，AB=BC ，C= BAD=90 ，AE=CF ， ABE CBF ， ABE= CBF ，AGBC ，AGB= CBF= ABE ， MBC= AMB=2AGB=2 GBC=2 ABE ， MBC=2ABE 【点评】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，正方形的性质等知识点，综合运用性质进行证明是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度8如图，在正方形ABCD中，E、F分别为 BC 、AB 上两点，且 BE=BF ，过点 B 作 AE的垂线交 AC于点 G，过点 G 作 CF的垂线交 BC于点 H延长线段 AE 、GH交于点 M（1）求证

33、： BFC= BEA ；（2）求证： AM=BG+GM【分析】 （1）根据正方形的四条边都相等，AB=BC ，又 BE=BF ，所以ABE和CBF全等，再根据全等三角形对应角相等即可证出；（2）连接 DG，根据正方形的性质， AB=AD ，DAC= BAC=45 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页第 14 页（共 27 页）AG是公共边，所以 ABG和ADG全等，根据全等三角形对应边相等， BG=DG ，对应角相等 2=3，因为 BG AE，所以 BAE +2=90 ，而 BAE +4=90 ，所以 2=4，因

34、此 3=4，根据 GMCF和（1）中全等三角形的对应角相等可以得到1=BFC= 2，在 ADG 中， DGC= 3+45 ，所以DGM三点共线，因此 ADM 是等腰三角形， AM=DM=DG+GM，所以 AM=BG+GM证明： （1）在正方形 ABCD中，AB=BC ，ABC=90 ，在 ABE和CBF中，ABE CBF （SAS ） ， BFC= BEA ； （2）连接 DG ，在 ABG和ADG中， ABG ADG （SAS ） ，BG=DG ，2=3，BGAE， BAE +2=90 ， BAD= BAE +4=90 ， 2=3=4，GMCF ， BCF +1=90 ，又 BCF +BFC

35、=90 ， 1=BFC= 2， 1=3，在ADG中， DGC= 3+45 ， DGC也是 CGH的外角， D、G、M 三点共线，3=4（已证） ，AM=DM，DM=DG+GM=BG+GM，AM=BG+GM【点评】 本题综合性较强，主要考查正方形的性质，三角形全等的判定，三角形全等的性质，第二问中，证明三点共线是解题的关键9如图，已知矩形 ABCD ，AD=4，CD=10 ，P是 AB上一动点， M、N、E分别是 PD 、PC 、CD的中点（1）求证：四边形 PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当 AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形 PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长

36、；若不可能，请说明理由【分析】 （1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明（2）当 DP=CP时，四边形 PMEN是菱形， P是 AB的中点，所以可求出AP的值（3）四边形 PMEN是矩形的话， DPC必需为 90 ，判断一下 DPC是不是直角三角形就行解： （1）M、N、E分别是 PD 、PC 、CD的中点，ME是 PC的中位线， NE是 PD的中位线， MEPC ，EN PD，四边形 PMEN是平行四边形；（2）当 AP=5时，在 RtPAD和 RtPBC中，PAD PBC ，PD=PC ，M、N、E分别是 PD、PC 、CD的中点，NE=PM= PD，ME=PN= PC

37、，PM=ME=EN=PN ，四边形 PMEN是菱形；（3）四边形 PMEN可能是矩形若四边形PMEN是矩形，则 DPC=90 设 PA=x ，PB=10 x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页第 15 页（共 27 页）DP=，CP= DP2+CP2=DC2 16+x2+16+（10x）2=102x210x+16=0 x=2或 x=8故当 AP=2或 AP=8时，四边形 PMEN是矩形【点评】 本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质10如图，已

38、知正方形ABCD ，把边 DC绕 D点顺时针旋转 30 到 DC 处，连接 AC ，BC ，CC ，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程【分析】利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出【解答】 解；图中的等腰三角形有：DCC ，DC A ，C AB，C BC，理由：四边形 ABCD是正方形， AB=AD=DC ，BAD= ADC=90 ，DC=DC=DA ， DCC ，DC A为等腰三角形， C DC=30 ，ADC=90 ， ADC =60，AC D为等边三角形， AC =AD=AB， C AB 为等腰三角形， C AB=90 60 =30

39、，CDC = C AB，在 DCC 和ABC 中， DCC ABC （SAS ） ，CC =C B， BCC 为等腰三角形【点评】 此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出AC D为等边三角形是解题关键11如图，在正方形ABCD中，点 E、点 F分别在边 BC 、DC上，BE=DF ，EAF=60 （1）若 AE=2，求 EC的长；（2）若点 G在 DC上，且 AGC=120 ，求证： AG=EG +FG 【分析】 （1）连接 EF ，根据正方形的性质求出AB=AD ，B=D，然后利用 “ 边角边 ” 证明ABE和ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF

40、，从而得到 AEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF ，再判断出 CEF是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可；（2）方法一：根据邻补角的定义求出AGF=60 ，然后判断出点 A、E、G、F四点共圆，从而得到AGE= AFE=60 ，再求出 CGE=60 ，延长 GE交 AB 的延长线于 H，根据两直线平行，内错角相等可得H=CGE=60 ，再求出 GAF= HAE ，然后利用 “ 角角边 ” 证明 AFG 和AEH 全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AH ，FG=EH ，从而得证；方法二：在 AG上截取 GH=FG ，可得 FGH是等边三角形

41、，根据等边三角形的性质可得FH=FG ，FHG=60 ，再求出 AFH= EFG ，然后利用 “ 边角边 ” 证明 AFH和EFG全等，根据全等三角形对应精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页第 16 页（共 27 页）边相等 AH=GE ，然后证明即可【解答】 （1）解：如图，连接EF ，在正方形 ABCD中，AB=AD ，B=D，在 ABE和ADF中，ABE ADF （SAS ） ，AE=AF ， EAF=60 ，AEF是等边三角形， EF=AE=2 ，BE=DF ，BC=CD ，BC BE=CD DF，即 CE

42、=CF ， CEF是等腰直角三角形， EC=EF=2=；（2）方法一：证明： AGC=120 ， AGF=180 AGC=180 120 =60 ，又 AEF是等边三角形，（已证） AEF=60 ，点 A、E、G、F四点共圆， AGE= AFE=60 ，CGE= AGC AGE=120 60 =60 ，如图（ 2）延长 GE交 AB的延长线于 H，ABCD ，H=CGE=60 ， H=AGF ，又 GAF +EAG= EAF=60 ， HAE +EAG= GAB=60 ，GAF= HAE ，在 AFG和AEH中，AFG AEH （AAS ） ，AG=AH ，FG=EH ， AGE=60 ，AG

43、H是等边三角形， AH=GH=EG +EH=EG +FG ，即 AG=EG +FG 方法二：如图（ 2）在 AG上截取 GH=FG ， AGC=120 ，AGF=60 ， FGH是等边三角形， FH=FG ，FHG=60 ，AEF是等边三角形， AFE=60 ， AFE= GFH=60 ，AFE EFH= GFH EFH ，即AFH= EFG ，在AFH和BFG中，AFH EFG （SAS ） ，AH=GE ，AG=AH +GH=EG +FG ，即 AG=EG +FG 【点评】本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，（2） 先求出四点共圆， 然后求出 AGE=AFE=60 ，然后作辅

44、助线构造出全等三角形是解题的关键12如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O点 E是线段 DO上一点，连接 CE 点 F是OCE的平分线上一点，且 BF CF与 CO相交于点 M点 G是线段 CE上一点，且 CO=CG （1）若 OF=4，求 FG的长；（2）求证： BF=OG +CF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页第 17 页（共 27 页）【分析】 （1）根据条件证明 OCF GCF ，由全等的性质就可以得出OF=GF而得出结论；（2）在 BF上截取 BH=CF ，连接 OH通过条件可以得出 OBH O

45、CF 可以得出 OH=OF ，从而得出OG FH，OHFG ，进而可以得出四边形OHFG是平行四边形，就可以得出结论【解答】 （1）解： CF平分 OCE ， OCF= ECF OC=CG ，CF=CF ，在 OCF和GCF中， OCF GCF （SAS ） FG=OF=4 ，即 FG的长为 4（2）证明：在 BF上截取 BH=CF ，连接 OH四边形 ABCD为正方形， ACBD，DBC=45 ， BOC=90 ，OCB=180 BOC DBC=45 OCB= DBC OB=OC BF CF ， BFC=90 OBH=180 BOC OMB=90OMB，OCF=180 BFC FMC=90

46、FMC ，且 OMB=FMC ， OBH= OCF 在 OBH和OCF中， OBH OCF （SAS ） OH=OF ，BOH= COF BOH +HOM=BOC=90 ， COF +HOM=90，即 HOF=90 OHF= OFH= （180 HOF ）=45 OFC= OFH +BFC=135 OCF GCF ，GFC= OFC=135 ， OFG=360 GFC OFC=90 FGO= FOG= （180 OFG ） =45 GOF= OFH ，HOF= OFG OGFH，OHFG ，四边形 OHFG是平行四边形 OG=FH BF=FH +BH，BF=OG +CF 【点评】本题考查了正方

47、形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键13 （1）如图，两个正方形的边长均为3，求三角形 DBF的面积（2）如图，正方形ABCD的边长为 3，正方形 CEFG 的边长为 1，求三角形 DBF的面积（3）如图，正方形ABCD的边长为 a，正方形 CEFG 的边长为 b，求三角形 DBF的面积【分析】 （1）三角形的面积为底高，可看出三角形DBF的底和高都是 3，可求出解（2）正方形 ABCD的面积加上以 CD为长 CE为宽的长方形的面积减去ABD ，BEF ，DGF的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

48、总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页第 18 页（共 27 页）即可求出解（3）两个正方形的面积减去ABD ，BEF ，GDF的面积可求出解【解答】 解： （1）三角形 DBF的面积：33= （2 分）（2）三角形 DBF的面积： 32+3133（3+1）121= （3）三角形 DBF的面积： a2+b2?a?a（a+b）?b（ba）?b= （2 分）结论是：三角形 DBF的面积的大小只与a 有关，与 b 无关【点评】 本题考查读图的能力，关键是从图中看出三角形DBF的面积由哪些图形相加减得到14如图，正方形 ABCD中，E是 BD上一点， AE的延长线交 CD于 F，交

49、 BC的延长线于 G，M 是 FG的中点（1）求证： 1=2；EC MC（2）试问当 1 等于多少度时， ECG为等腰三角形？请说明理由【分析】 （1） 根据正方形的对角线平分一组对角可得ADE= CDE ， 然后利用边角边定理证明ADE与CDE全等，再根据全等三角形对应角相等即可证明；根据两直线平行，内错角相等可得1=G，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=MG，然后据等边对等角的性质得到G=MCG，所以2=MCG，然后根据 FCG=90 即可证明MCE=90 ，从而得证；（2）根据（1）的结论，结合等腰三角形两底角相等G=GEC ，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可

50、求解（1）证明：四边形ABCD是正方形， ADE= CDE ，AD=CD ，在ADE与CDE ， ADE CDE （SAS ） ，1=2，ADBG（正方形的对边平行）， 1=G，M 是 FG的中点， MC=MG=MF ， G=MCG ，又 1=2， 2=MCG，FCG= MCG+FCM=90 ，ECM=2+FCM=90 ，EC MC；（2）解： 1=30 时， ECG为等腰三角形理由如下：ECG为等腰三角形， G=CEG ，又 1=2=G，在 ECG中， G+CEG +2+FCG=180 ，即 31+90 =180 ，解得 1=30 故答案为： 1=30 时， ECG为等腰三角形【点评】本题考

51、查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是综合题，但难度不大，细心分析即可找出解题思路精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页第 19 页（共 27 页）15如图，正方形 ABCD中，M 为 BC上除点 B、C 外的任意一点， AMN 是等腰直角三角形，斜边AN与 CD交于点 F，延长 AN 与 BC的延长线交于点 E，连接 MF、CN （1）求证： BM+DF=MF ；（2）求 NCE的度数【分析】 （1）截长补短类型题目，延长CD至 G使 DG=BM，证明 ADG

52、ABM，将 BM+DF转化到一条线段 GF上，再证明 MF=GF ；（2）过点 N 作 NHEB ，证 MHNABM，再根据线段间的关系得到NH=HC ，从而得到 CHN是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得NCE=45 【解答】 （1）证明：延长 CD至 G使 DG=BM，在ADG和ABM 中，ADG ABM （SAS ） ，AG=AM，又 AMN 为等腰直角三角形，MAN=45 ， FAD +MAB=45 ， DAG= BAM，GAF= FAD +DAG=45 ， GAF= MAN，在在 AFG和AFM 中， AFG AFM（SAS ） ，MF=GF ，又GF=GD +DF ，G

53、D=BM，BM+DF=MF ；（2）解：过点 N 作 NHEB于点 H，AMB=180 AMNNMH=90NMH=MNH，在ABMMHN 中，ABMMHN（AAS ） ，AB=MH，BM=NH，CH=MH MC=AB MC=BC MC=BM=NH ，CHN是等腰直角三角形， NCE= NCG=45 【点评】本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质， 熟记性质并作辅助线构造出全等三角形，然后确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点16如图，在菱形 ABCD中，AB=2，DAB=60 ，点 E是 AD 边的中点，点 M 是 AB边上的一个动点（不与点 A 重合） ，延长 ME 交

54、 CD的延长线于点 N，连接 MD，AN（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形（2）当 AM 的值为何值时，四边形AMDN 是矩形？请说明理由【分析】 （1）根据菱形的性质可得NDAM，再根据两直线平行，内错角相等可得NDE= MAE，DNE= AME，根据中点的定义求出DE=AE ，然后利用 “ 角角边 ” 证明 NDE和MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页第 20 页（共 27 页）（2）连接 BD，求出

55、 ABD是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得DMAB，然后根据矩形的定义证明（1）证明：四边形ABCD是菱形， NDAM， NDE= MAE，DNE= AME，点 E是 AD中点， DE=AE ，在 NDE和MAE中， NDE MAE（AAS ） ，ND=MA，四边形 AMDN 是平行四边形；（2）AM=1理由如下：如图，连接BD，四边形 ABCD是菱形， AD=AB=2 ，DAB=60 ， ABD是等边三角形， AM=1，AB=2，AM=MB=1，DMAB，即 DMA=90 ，又四边形 AMDN 是平行四边形，四边形 AMDN 是矩形【点评】 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判

56、定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口17如图， ABC中，AB=AC ，AD是ABC外角的平分线，已知 BAC= ACD （1）求证： ABC CDA ；（2）若 B=60 ，求证：四边形 ABCD是菱形【分析】 （1） 求出 B=ACB ， 根据三角形外角性质求出FAC=2 ACB=2 DAC ，推出 DAC= ACB ，根据 ASA证明 ABC和CDA全等；（2）推出 ADBC ，ABCD，得出平行四边形 ABCD ，根据 B=60 ，AB=AC ，得出等边 ABC ，推出 AB=BC即可【解答】 证明： （1）AB=AC ， B

57、=ACB ， FAC= B+ACB=2 ACB ，AD平分 FAC ，FAC=2 CAD ， CAD= ACB ，在 ABC和CDA中ABC CDA （ASA ） ；（2） FAC=2 ACB ，FAC=2 DAC ，DAC= ACB ，ADBC ， BAC= ACD ，ABCD ，四边形 ABCD是平行四边形， B=60 ，AB=AC ， ABC是等边三角形，AB=BC ，平行四边形ABCD是菱形【点评】 考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较好，综合性也比较强18如图，在 ABC中

58、，AB=AC ，B=60 ，FAC 、ECA是ABC的两个外角， AD 平分 FAC ，CD平分 ECA 求证：四边形 ABCD是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页第 21 页（共 27 页）【分析】 根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出【解答】证明：B=60 ， AB=AC ，ABC为等边三角形，AB=BC ，ACB=60 ，FAC= ACE=120 ， BAD= BCD=120 ，B=D=60 ，四边形 ABCD是平行四边形，AB=BC ，平行四边形 ABCD是菱形

59、【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键19如图，在四边形ABCD中，AB=AD ，CB=CD ，E是 CD上一点， BE交 AC于 F，连接 DF （1）证明： BAC= DAC ，AFD= CFE （2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD是菱形；（3）在（ 2）的条件下，试确定E点的位置，使得 EFD= BCD ，并说明理由【分析】 （1）首先利用 SSS 定理证明 ABC ADC可得 BAC= DAC ，再证明 ABF ADF，可得AFD= AFB ，进而得到 AFD= CFE ；（2）首先证

60、明CAD= ACD，再根据等角对等边可得AD=CD ，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形 ABCD是菱形；（3）首先证明 BCF DCF可得 CBF= CDF ，再根据 BECD可得BEC= DEF=90 ，进而得到 EFD= BCD （1）证明：在ABC和 ADC中，ABC ADC （SSS ） ，BAC= DAC ，在 ABF和ADF中， ABF ADF （SAS ） ， AFD= AFB ， AFB= CFE ， AFD= CFE ；（2）证明： ABCD ， BAC= ACD ，又 BAC= DAC ， CAD= ACD ，AD=CD ，AB=AD ，

61、CB=CD ，AB=CB=CD=AD，四边形 ABCD是菱形；（3）当 EBCD时，即 E为过 B 且和 CD垂直时垂线的垂足， EFD= BCD ，理由：四边形 ABCD为菱形， BC=CD ，BCF= DCF ，在 BCF和DCF中， BCF DCF （SAS ） ， CBF= CDF ，BE CD ，BEC= DEF=90 ， BCD +CBE= CDF +EFD ， EFD= BCD 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质， 全等三角形的判定是结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27

62、页第 22 页（共 27 页）合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具20如图， ABC中，AB=AC ，AD是BAC的角平分线，点 O为 AB的中点，连接 DO并延长到点 E，使 OE=OD ，连接 AE，BE （1）求证：四边形 AEBD是矩形；（2）当 ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由【分析】 （1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出 ADB=90 ，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD ，进而利用正方形的判定得出即可（1）证明：点 O 为 AB的中点，连接 DO并延长到点 E，使 OE

63、=OD ，四边形 AEBD是平行四边形， AB=AC ，AD是BAC的角平分线，ADBC ， ADB=90 ，平行四边形 AEBD是矩形；（2）当 BAC=90 时，理由： BAC=90 ，AB=AC ，AD是BAC的角平分线，AD=BD=CD ，由（ 1）得四边形 AEBD是矩形，矩形 AEBD是正方形【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键21如图， ABC中，点 O是边 AC上一个动点，过 O 作直线 MNBC设 MN 交ACB的平分线于点 E，交 ACB的外角平分线于点F（1）求证： OE=OF ；（2）若 CE

64、=12 ，CF=5 ，求 OC的长；（3）当点 O 在边 AC上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由【分析】 （1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出1=2，3=4，进而得出答案；（2）根据已知得出 2+4=5+6=90 ，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出 CO的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可【解答】 （1）证明： MN 交ACB的平分线于点 E，交 ACB的外角平分线于点F，2=5，4=6，MNBC ，1=5，3=6， 1=2，3=4，EO=CO ，FO=CO ，OE=OF ； （2）解： 2=5，4=6，2+4=5+6=90 ，CE=12 ，

65、CF=5 ，EF=13，OC= EF=6.5 ；（3）解：当点 O 在边 AC上运动到 AC中点时，四边形AECF 是矩形证明：当 O为 AC的中点时， AO=CO ，EO=FO ，四边形 AECF 是平行四边形， ECF=90 ，平行四边形 AECF 是矩形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页第 23 页（共 27 页）【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出ECF=90 是解题关键22如图，过正方形ABCD的顶点 D 作 DEAC交 BC的延长线于点 E（1）判断

66、四边形 ACED的形状，并说明理由；（2）若 BD=8cm，求线段 BE的长【分析】 （1）根据正方形的对边互相平行可得ADBC ，即为 ADCE ，然后根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形解答；（2）根据正方形的四条边都相等，平行四边形的对边相等可得BC=AD=CE ，再根据正方形的边长等于对角线的倍求出BC ，然后求出 BE即可【解答】 解： （1）四边形 ACED是平行四边形理由如下：四边形ABCD是正方形，ADBC ，即 ADCE ，DE AC ，四边形 ACED是平行四边形；（2）由（ 1）知， BC=AD=CE=CD，BD=8cm，BC=BD=8=4cm，BE=BC +CE=4

67、+4=8cm【点评】正方形的性质， 平行四边形的判定与性质， 比较简单，熟练掌握各图形的性质是解题的关键23如图，菱形 ABCD中，E是 AD中点， EF AC交 CB的延长线于点 F（1）DE和 BF相等吗？请说明理由（2）连接 AF、BE ，四边形 AFBE是平行四边形吗？说明理由【分析】 （1）设 AB、EF相交于 G，连接 BD，根据菱形的对角线互相垂直可得 BDAC，然后求出 EG BD，判断出 EG是ABD的中位线，从而求出 AG=BG ， 再根据两直线平行， 内错角相等求出 AEG= BFG ， 利用“ 角角边 ” 证明 AEG和BFG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF

68、 ，从而求出 DE=BF ；（2）根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形解答解： （1）DE=BF 理由如下：如图，设AB、EF相交于 G，连接 BD，在菱形 ABCD中，BDAC，EF AC ，EG BD，E是 AD中点， EG是ABD的中位线， AG=BG ，又 ADBC ，AEG= BFG ，在 AEG和BFG中， AEG BFG （AAS ） ，AE=BF ，E是 AD中点， AE=DE ，DE=BF ；（2）四边形 AFBE是平行四边形 理由如下：四边形 ABCD是菱形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 2

69、7 页第 24 页（共 27 页）ADBC ，AEBF，又 AE=BF ，四边形 AFBE是平行四边形【点评】 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直的性质，作辅助线构造出全等三角形的是解题的关键，也是本题的难点24如图 1，菱形 ABCD中，点 E、F分别为 AB、AD的中点，连接 CE 、CF （1）求证：CE=CF ； （2）如图 2，若 H为 AB上一点，连接 CH ，使CHB=2 ECB ，求证：CH=AH +AB【分析】 （1）由菱形 ABCD中，点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，易证得 BCE DCF （SAS ） ，

70、则可得 CE=CF ；（2）由平行线的性质，可得AG=AB ，G=FCD ，由全等三角形的对应角相等，可得BCE= DCF ，然后由 CHB=2 ECB ，易证得 G=HCG ，则可得 CH=GH ，则可证的结果（1）证明：四边形ABCD是菱形，B=D，AB=BC=CD=AD，点 E、F分别为 AB、AD的中点，BE= AB，DF= AD，BE=DF ，在BCE和DCF中，BCE DCF （SAS ） ，CE=CF ；（2）证明：延长 BA与 CF ，交于点 G，四边形 ABCD是菱形，B=D，AB=BC=CD=AD，AFBC ，ABCD， G=FCD ，点 F分别为 AD的中点，且 AGCD

71、 ，AG=AB ，BCE DCF ，ECB= DCF ， CHB=2 ECB ， CHB=2 G，CHB= G+HCG ， G=HCG ，GH=CH ，CH=AH +AG=AH +AB 【点评】 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用25如图，ABCD是菱形， E是 BD延长线上一点， F是 DB延长线上一点，且DE=BF ，连接 AF、CF （1）请你猜想图中与点F有关的一个正确结论； （2）证明你的猜想【分析】 （1）根据菱形的性质猜想： FA=FC ；（2）设 AC、BD交于点 O，根

72、据对角线互相垂直且平分，可得AO=CO ，F是DB延长线上一点，即可证明FA=FC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页第 25 页（共 27 页）解： （1）猜想： FA=FC ； （2）证明：设 AC、BD交于点 O，根据图形可知AC 、BD为菱形的对角线，可得： BD垂直平分 AC ，F是 DB延长线上一点， FO垂直平分 AC ，FA=FC 【点评】本题考了菱形的性质， 难度一般，解答本题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相平分的性质26如图，菱形 ABCD中，点 E、M 在 AD 上，且 CD=CM ，点 F

73、为 AB上的点，且 ECF= B（1）若菱形 ABCD的周长为 8，且 D=67.5 ，求 MCD的面积；（2）求证： BF=EF EM【分析】 （1）首先过点 D 作 DHMC 于点 H，由菱形 ABCD的周长为 8，且D=67.5，易求得 2=D=67.5，DCH=45 ，CM=2，然后由勾股定理求得DH的长，继而求得 MCD的面积；（2）首先延长 AB到 N，使 BN=EM，连接 CN，易证得 BNC MEC （SAS ） ，继而证得 NCF ECF （SAS ） ，则可证得 BF=EF EM解： （1）过点 D 作 DHMC于点 H，菱形 ABCD的周长为 8，CD=2 ，CD=CM

74、，且 D=67.5 ， 2=D=67.5 ，DCH=45 ，CM=2，在 RtCDH中，DH=DC sin45 =，SMCD=CM?DH= 2=；（2）延长 AB到 N，使 BN=EM ，连接 CN，CD=CM ，CD=CB ，且 ABC= D，BC=CM ，2=ABC ， 1+ABC= 2+5 1=5 在BNC和MEC中， BNC MEC （SAS ） ， 4=3，CE=NC ，ADBC ，2=BCM= ABC ， ECF= ABC ， 3+BCF= 4+BCF= ECF ，在 NCF和ECF中， NCF ECF （SAS ） ，FN=EF ， EF=FB +NB=FB +EM，FB=EF

75、EM【点评】 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用27如图，在菱形 ABCD中， B=60 ，点 E、F分别在边 BC 、CD上（1）若 AB=4，试求菱形 ABCD的面积；（2）若 AEF=60 ，求证： AB=CE +CF 【分析】 （1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC ，然后求出 ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出 BC边上的高，再根据菱形的面积等于底边乘以高列式计算即可得解；（2）将 AEC绕点 A 顺时针旋转 60 得到 AE B ，易得 AEE 为等边三角形，然后利用 “ 角边角 ” 证明

76、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页第 26 页（共 27 页）EE B 和FEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=CF ，从而得到 BC=CE +CF ，即可得证（1）解：在菱形 ABCD中，AB=BC ， B=60 ， ABC是等边三角形， AB=4，等边 ABC底边 BC上的高为 4=2，菱形 ABCD的面积 =42=8；（2）证明：如图，将AEC绕点 A 顺时针旋转 60 得到 AE B ，则AEE 为等边三角形，AE E=60 ，AEF=60 ， CEF= AEC AEF= AEC 60 ，又 BE

77、 E=AE B AE E=AE B 60 ，BE E=CEF ， B=60 ，菱形的对边 ABCD， ECF=180 60 =120 ，又 EBE=ABC +ABE = ABC +ACB=60 +60 =120 ， EBE=ECF ，在EE B 和FEC中， EE B FEC （ASA ） ，BE=CF ，BC=CE +BE=CE +CF ，AB=BC ，AB=CE +CF 方法二：作 EG AC交 AB于 G则 BEG是等边三角形AEC= AEF +FEC= B+EAG ，AEF= B=60 ，FEC= EAG ，AG=EC ，AGE= ECF=120 ， AGB ECF ，GE=CF=BG

78、，AB=AG +BG=EC +CF 【点评】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，（2）利用旋转的性质作辅助线构造出等边三角形与全等三角形是解题的关键，也是本题的难点28 （1）人教版八年级数学下册92 页第 14 题是这样叙述的：如图1，?ABCD中，过对角线 BD上一点 P作 EF BC，HGAB，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为?AEPH 和?PGCF ；（2）如图 2，点 P为?ABCD内一点，过点 P分别作 AD、AB的平行线分别交 ?ABCD的四边于点 E、F、G、H已知 S?BHPE=

79、3，S?PFDG=5，则 SPAC=1；（3）如图 3，若五个平行四边形拼成一个含30 内角的菱形 EFGH （不重复、无缝隙）已知四个平行四边形面积的和为14， 四边形 ABCD的面积为 11， 则菱形 EFGH的周长为24【分析】 （1）由?ABCD中，EF BC ，HG AB，根据平行四边形的性质， 可得 SABD=SBCD，SPBE=SPBG，SPDH=SPDF，继而可得 S?AEPH=S?PGCF，S?ABGH=S?EBCF，S?AEFD=S?HGCD；（2）由（ 1）可得： SABC=SADC，SPAE=SPAG，SPCH=SPCF，继而可得 SPAC=S?PFDG（S?BHPE+

80、S?PFDG） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页第 27 页（共 27 页）（3）由四个平行四边形面积的和为14，四边形 ABCD的面积为 11，即可求得菱形 EFGH的面积，继而求得答案解： （1）?ABCD中，EF BC，HG AB，SABD=SBCD，SPBE=SPBG，SPDH=SPDF，S?AEPH=S?PGCF，S?ABGH=S?EBCF，S?AEFD=S?HGCD，故答案为： ?AEPH 和?PGCF 或?ABGH 和?EBCF 或?AEFD 和?HGCD ；（2）根据（ 1）可得： SABC=

81、SADC，SPAE=SPAG，SPCH=SPCF，S?BHPE=3，S?PFDG=5，SPAC=SPAG+SPCF+S?PFDGSACD=SPAG+SPCF+S?PFDGS?ABCD=SPAG+SPCF+S?PFDG（2SPAG+2SPCF+S?BHPE+S?PFDG）=S?PFDG（S?BHPE+S?PFDG）=1；故答案为： 1；（3）四个平行四边形面积的和为14，S1+S2+S3+S4=14，四边形 ABCD的面积为 11，S5=1114=4，S菱形EFGH=S1+S2+S3+S4+S5=18，菱形 EFGH的一个内角为 30 ，设边长为 x，则 x?xsin30 =18，解得： x=6

82、，菱形 EFGH的周长为 24故答案为： 24【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用29将矩形纸片 ABCD折叠，使点 C与点 A 重合，然后展开，折痕为EF ，连接 AE 、CF ，求证：四边形 AECF 是菱形【分析】 根据已知条件判定 ABE CDF ，进而证明四边形AECFD 的四边相等问题得证证明：根据对折可知， AF=CF ，AE=CE ，EAF= ECF ，四边形 ABCD是矩形，B=D，AB=CD ABE CDF ，AE=CF ，AE=CE=CF=AF，四边形 AECF 是菱形【点评】本题主要考查菱形的判定方法： 四条

83、边都相等的四边形是菱形和全等三角形的判定方法以及图形的翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换30如图， ABC中， BAC=90 ，点 D 是 BC的中点， AEDC ，EC AD，连接 DE交 AC于点 O，（1）求证：四边形 ADCE是菱形； （2）若 AB=AO ，求 tanOCE的值（1）证明： AE DC ，EC AD，四边形 ADCE是平行四边形，BAC=90 ，点 D 是 BC的中点， AD=BD=CD ，平行四边形 ADCE是菱形； （2）解：四边形 ADCE是菱形，EOC=90 ，AO=CO ，ACE= ACD ，tanACB=，tanOCE= 【点评】 此题主要考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页