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1、高等数学高等数学（一）2.1 数列的极限数列的极限2.2 函数的极限函数的极限2.3 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量2.4 极限的运算法则极限的运算法则2.5 两个重要的极限两个重要的极限2.6 利用等价无穷小量代换求极限利用等价无穷小量代换求极限2.8 函数的连续性函数的连续性2.7 利用利用 Mathematica 求极限求极限三. 极限定义及定理小结四. 函数极限的基本性质2.2 函数的极限函数的极限考虑自变量变化过程的六种形式考虑自变量变化过程的六种形式: : 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到函数中, 并用极限理论研究函数的变化
2、情形.的图形可以看出: 如何描述它？如何描述它？ 将图形对称过去后将图形对称过去后, , 你有什么想法你有什么想法? ? 将图形对称将图形对称 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?定理定理定理定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式: 用定义证明：用定义证明：证证: :取取因而因而注注: :就有就有故故欲使欲使即即例例1 1 x x0 时函数的极限, 是描述当 x 无限接近 x0 时, 函数 f (x
3、)的变化趋势. f ( x ) 在点 x0= 1 处有定义. 函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义.例例1 1证证证证 这是证明吗？这是证明吗？非非常常非非常常严严格格！例例2 2证证例例3 3在极限定义中：在极限定义中：1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身可以 不取其极限值 a.y = a y = a y = axOyx0x0 x0 + 曲线只能从该矩形的左右两边穿
4、过考虑两个问题.y = a y = a y = axOyx0x0 + 函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下, 函数有极限吗 ? 如何描述这种情形？想想这种情形下, 函数有极限吗 ?y = a y = a y = axOyx0x0 函数在 x0 的右边可无定义 如何描述这种情形？3.3.函数的左、右极限函数的左、右极限定义定义定义定义右极限右极限定义定义定义定义左极限左极限(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：y = f (x)xOy11在 x =
5、 1 处的左、右极限.解例例4 4定理定理定理定理 利用 | x x0 | x x0 0 ,证证: 知知即即当当时时, 有有当当 A 0 时时, 取正数取正数则在对应的邻域则在对应的邻域上上( 0)则存在则存在( A 0 )(P48定理定理6)定理定理 2 . 若在若在的某去心邻域内的某去心邻域内, 且且 那么那么证证: 用反证法用反证法.则由定理则由定理 1,的某去心邻域的某去心邻域 , 使在该邻域内使在该邻域内与已知与已知所以假设不真所以假设不真, (同样可证同样可证的情形的情形)考虑考虑: 若定理若定理 2 中的条件改为中的条件改为是否必有是否必有不能不能! 存在存在如如 假设假设 A 0 , 条件矛盾条件矛盾,故故(P48定理定理5)思考与练习思考与练习1. 若极限若极限存在存在,2. 设函数设函数且且存在存在, 那那么么是否一定有是否一定有？作业作业 P80习题二习题二一、选择题不用交，课本后有答案，自一、选择题不用交，课本后有答案，自己对）己对） 3,4四、讨论题四、讨论题 1
