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1、学习好资料欢迎下载二次函数与三角形的面积问题 1.运用2铅垂高水平宽s; 2.运用y; 3.将不规则的图形分割成规则图形,从而便于求出图形的总面积。类型一:三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例 1. 已知:抛物线的顶点为D(1,-4 ) ,并经过点E(4,5) ,求 : (1)抛物线解析式;(2)抛物线与x 轴的交点 A、B,与 y 轴交点 C;(3)求下列图形的面积ABD 、 ABC 、 ABE 、 OCD、 OCE。解题思路:求出函数解析式_;写出下列点的坐标:A_;B_; C_;求出下列线段的长:AO_ ;BO_ ;AB_;OC_ 。求出下列图形的面积ABD 、ABC 、 ABE
2、、 OCD、 OCE。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习好资料欢迎下载一般地,这类题目的做题步骤:1. 求出二次函数的解析式;2. 求出相关点的坐标;3. 求出相关线段的长;4. 选择合适方法求出图形的面积。训练 1. 如图所示,已知抛物线02acbxaxy与x轴相交于两点A0,1x, B0,2x21xx,与y轴负半轴相交于点C,若抛物线顶点P的横坐标是1,A、 B 两点间的距离为4,且 ABC的面积为6。(1)求点 A和 B的坐标;(2)求此抛物线的解析式;(3)求四边形ACPB的面积。类型二: 三角形三边均不
3、与坐标轴轴平行,做三角形的铅垂高。(歪歪三角形拦腰来一刀)关于2铅垂高水平宽S的知识点:如图1,过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a) ,中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高 (h) ”. 我们可得出一种计算三角形面积的新方法:ahSABC21,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 想一想:在直角坐标系中,水平宽如何求?铅垂高如何求?例 2如图 2,抛物线顶点坐标为点C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ,交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式; (2)点 P 是抛物线 (在
4、第一象限内 )上的一个动点,连结PA,PB,当 P 点运动到顶点C时,求 CAB 的铅垂高CD 及CABS;(3)是否存在一点P,使 SP AB=89SCAB,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 解题思路:求出直线AB的解析式是为了求出D点的纵坐标Dy;铅垂高DCyyCD,注意线段的长度非负性;分析P 点在直线AB的上方还是下方? 训练 2. 如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为( 2,0) ,连结 OA,将线段 OA 绕原点 O 顺时针x A B O C y P B C 铅垂高水平宽h a 图 1 图-2 x C O y A B D 1 1 精选学习资料 - - - - - -
5、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习好资料欢迎下载(3)xyABCPEOxyABCQO(2)旋转 120,得到线段OB. (1)求点 B 的坐标;(2)求经过A、O、B 三点的抛物线的解析式;(3)在( 2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使 BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由. (4)如果点P 是( 2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么P AB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及 PAB 的最大面积;若没有,请说明理由. 训练 3. 如图,抛物线cbxxy2与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3
6、,0) 两点, (1)求该抛物线的解析式; (2)设( 1)中的抛物线交y 轴于 C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得 QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在( 1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使PBC的面积最大?,若存在,求出点P的坐标及PBC的面积最大值. 若没有,请说明理由 . 一般地,所谓的铅垂高度,实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值,数学表达式为C B A O y x D B A O y x P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习好资料
7、欢迎下载DCyyCD。为了保证这个差值是正数,同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.因此,求出点D的坐标,是求铅垂高度CD的关键;所谓的水平宽,实际上就是,两个点的横坐标差的绝对值,数学表达式为BAxxAB. 为了保证这个差值是正数,同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标. 因此,求出点A、B的坐标,是求水平宽的关键 . 在解这类存在性问题时,通常先假设所要的点是存在的,然后利用给出的条件,认真加以推理求解. 练习1已知如图,矩形OABC 的长 OA=3,宽 OC=1 ,将 AOC 沿 AC翻折得 APC 。(1)填空: PCB=_ 度, P点坐标为(, ) ;(
8、2)若 P,A两点在抛物线y=43x2+bx+c 上,求 b,c 的值,并说明点C在此抛物线上;(3)在(2)中的抛物线CP段(不包括C,P点)上,是否存在一点M ,使得四边形MCAP 的面积最大?若存在,求出这个最大值及此时M点的坐标;若不存在,请说明理由。2如图,已知抛物线32bxaxy(a0)与x轴交于点A(1,0)和点 B ( 3,0),与 y 轴交于点 C (1) 求抛物线的解析式;(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使 CMP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由 (3) 如图,若点E 为第二象限抛物线上一
9、动点,连接BE、CE,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标第 1 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习好资料欢迎下载图图3. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数cbxxy2的图象与x 轴交于 A、B两点,A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0) ,与 y 轴交于 C(0,-3)点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式(2)连结 PO、PC,并把 POC 沿 CO 翻折,得到四边形POP/C, 那么是否存在点P,使四边形POP/C 为菱形?若存在,请求出此时
10、点P的坐标;若不存在,请说明理由(3)当点 P 运动到什么位置时,四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积 .4如图,抛物线y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为A( 4,0) 、B(2,0) ,与 y 轴交于点C,顶点为 DE( 1,2)为线段BC 的中点, BC 的垂直平分线与x 轴、 y 轴分别交于F、G(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标;(2)在直线EF 上求一点H,使 CDH 的周长最小,并求出最小周长;(3)若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时,EFK 的面积最大?并求出最大面积K N C E D G A x y O B F C E D G A x y O B F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页