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1、学习好资料欢迎下载二次函数与三角形的面积问题 1.运用2铅垂高水平宽s； 2.运用y； 3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例 1. 已知：抛物线的顶点为D（1，-4 ） ，并经过点E（4，5） ，求 : （1）抛物线解析式；（2）抛物线与x 轴的交点 A、B，与 y 轴交点 C；（3）求下列图形的面积ABD 、 ABC 、 ABE 、 OCD、 OCE。解题思路：求出函数解析式_；写出下列点的坐标：A_；B_； C_；求出下列线段的长：AO_ ；BO_ ；AB_；OC_ 。求出下列图形的面积ABD 、ABC 、 ABE
2、、 OCD、 OCE。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习好资料欢迎下载一般地，这类题目的做题步骤：1. 求出二次函数的解析式；2. 求出相关点的坐标；3. 求出相关线段的长；4. 选择合适方法求出图形的面积。训练 1. 如图所示，已知抛物线02acbxaxy与x轴相交于两点A0,1x， B0,2x21xx，与y轴负半轴相交于点C，若抛物线顶点P的横坐标是1，A、 B 两点间的距离为4，且 ABC的面积为6。（1）求点 A和 B的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）求四边形ACPB的面积。类型二： 三角形三边均不
3、与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）关于2铅垂高水平宽S的知识点：如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a) ，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高 (h) ”. 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？例 2如图 2，抛物线顶点坐标为点C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式； (2)点 P 是抛物线 (在
4、第一象限内 )上的一个动点，连结PA，PB，当 P 点运动到顶点C时，求 CAB 的铅垂高CD 及CABS；(3)是否存在一点P，使 SP AB=89SCAB，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解题思路：求出直线AB的解析式是为了求出D点的纵坐标Dy；铅垂高DCyyCD，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB的上方还是下方? 训练 2. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（ 2，0） ，连结 OA，将线段 OA 绕原点 O 顺时针x A B O C y P B C 铅垂高水平宽h a 图 1 图-2 x C O y A B D 1 1 精选学习资料 - - - - - -
5、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习好资料欢迎下载(3)xyABCPEOxyABCQO(2)旋转 120，得到线段OB. （1）求点 B 的坐标；（2）求经过A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. 训练 3. 如图，抛物线cbxxy2与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3
6、，0) 两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（ 1）中的抛物线交y 轴于 C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值. 若没有，请说明理由 . 一般地，所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为C B A O y x D B A O y x P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习好资料
7、欢迎下载DCyyCD。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.因此，求出点D的坐标，是求铅垂高度CD的关键；所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为BAxxAB. 为了保证这个差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标. 因此，求出点A、B的坐标，是求水平宽的关键 . 在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解. 练习1已知如图，矩形OABC 的长 OA=3，宽 OC=1 ，将 AOC 沿 AC翻折得 APC 。（1）填空： PCB=_ 度， P点坐标为（， ） ；（
8、2）若 P，A两点在抛物线y=43x2+bx+c 上，求 b，c 的值，并说明点C在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。2如图，已知抛物线32bxaxy（a0）与x轴交于点A(1，0)和点 B ( 3，0)，与 y 轴交于点 C (1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 (3) 如图，若点E 为第二象限抛物线上一
9、动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标第 1 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习好资料欢迎下载图图3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy2的图象与x 轴交于 A、B两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结 PO、PC，并把 POC 沿 CO 翻折，得到四边形POP/C， 那么是否存在点P，使四边形POP/C 为菱形？若存在，请求出此时
10、点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积 .4如图，抛物线y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为A（ 4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点C，顶点为 DE（ 1，2）为线段BC 的中点， BC 的垂直平分线与x 轴、 y 轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H，使 CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，EFK 的面积最大？并求出最大面积K N C E D G A x y O B F C E D G A x y O B F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
