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1、名师总结优秀知识点知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2；(3) 是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。（ 4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时，应满足（a0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地， 任何一个关于x 的一元二次方程， 经过
2、整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0） 。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数；c 是常数项。4. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax是 b 的平方根，当0b时，bax，bax，当 b0 时，方程没有实数根。（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的 其 他 领 域 也 有 着 广 泛 的 应
3、 用 。 配 方 法 的 理 论 根 据 是 完 全 平 方 公 式222)(2bababa，把公式中的a 看做未知数x，并用x 代替，则有222)(2bxbbxx。配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q0，方程的根是x=-p q；如果 q0,方程无实根（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：)04(2422acbaacbbx（4）因式分解法因式分解
4、法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5. 一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42知识点 1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程。例题：1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“”，不是的打“”，并说明理由 . (1)2x2-x-3=0.(2)4y-y2=0.(3) t2=0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
5、页，共 5 页名师总结优秀知识点(4) x3-x2=1. (5) x2-2y-1=0.(6) 21x-3=0. (7)xx32 =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x2-x4+6=0. (10)3x2=4x-3. 1、若关于x 的方程 a(x1)2=2x22 是一元二次方程，则a 的值是（）（A）2 （B） 2 （C）0 （D）不等于2 2、 已知关于x的方程03122pxnxm， 当时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a。3、已知关于x的方程2220mmxxm：（1）m 为何值时方程为一元一次方程；（2）m 为何值时方程为一元二次方程。知识点二 .一元二次方程的一
6、般形式一元二次方程的一般形式是：200axbxca，其中2ax是二次项，a叫二次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项。特别警示：（1） “0a”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。例题：1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 2(2)5102.20xx2(3)2150x2(4)30xx(5)3) 2(2x2、 关 于x的 方 程06232xx中a是；b是；c是。知识点三 .一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程
7、的解。例题：1、已知方程2390xxm的一个根是1，则 m 的值是。2、设a是一元二次方程052xx的较大根，b是0232xx较小根，那么ba的值是（）（A）-4 （B）-3 （C）1 （D）2 3、已知关于x的一元二次方程220xkx的一个解与方程131xx的解相同。（1）求k的值；（2）求方程220xkx的另一个解。知识点四 .一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：如果20xk k，则xk（2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3）公 式 法 ： 一 元 二
8、 次 方 程200axbxca的 求 根 公 式 是242bbacxa240bac；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师总结优秀知识点（4）因式分解法：如果0xaxb则12,xa xb。温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。例题：解方程：1、方程220xx的解是：（）A.121xxB.121,3xxC.122,0xxD.122,0xx2、方程25115xx的较简便的解法应选用。解为3、解下列方程：（1）2331xx（2）2230xx（3）
9、2230xx（4）yy32322（5）1211312xx（6）2252)3(xx(7)2222263yyy知识点五 .一元二次方程根的判别式对于一元二次方程200axbxca的根的判别式是24bac：（1）当240bac时，方程有两个不相等的实数根；（2）当240bac时，方程有两个相等的实数根；（3）当240bac时，方程无实数根。温馨提示 ：若方程有实数根，则有240bac。例题：1、已知方程230xxk有两个不相等的实数根，则k= 。2、当 m 满足何条件时， 方程019122mxmmx有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？3、 关 于x的 方 程05222mxmmx无 实 根 ，
10、试 解 关 于x的 方 程02252mxmxm。4、已知关于x的一元二次方程241210xmxm，求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。知识点六 .一元二次方程根与系数的关系若 一 元 二 次 方 程200axbxca的 两 个 实 数 根 为12,x x， 则1212,bcxxx xaa。温馨提示： 利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。例题：1、关于x的一元二次方程22430xkxk的两个实数根分别是12,x x，且满足精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师总结优秀知识点1212xx
11、x x，则 k 的值为：（）（A）314或（B）1（C）34（D）不存在2、 已知,是关于x的一元二次方程22230xmxm的两个不相等的实数根，且满足111，则 m 的值是（）（A）3 或-1 （B）3 （C）1 （D）-3 或 1 3、方程2360xx与方程2630xx的所有根的乘积是4 、 两 个 不 相 等 的 实 数m,n满 足2264,64mmnn， 则mn的 值为。5、设12,x x是关于x的一元二次方程20xpxq的两个根，121,1xx是关于x的一元二次方程20xqxp的两个根，则,p q的值分别等于多少？知识点七 .一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1
12、）审题（ 2）设未知数（ 3）列方程（ 4）解方程（ 5）检验（ 6）写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。【考题 1】 （2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10 平方米提高到12.1 平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）A.9B.10C. 11D.12 【考题 2】 （2009、海口） 某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克，现该商场要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得
13、到实惠，那么每千克应涨价多少元？【考题 3】如图，在ABC 中， B=90 ，AB=5 ，BC=7 ，点 P从 A 点开始沿AB 边向点 B 点以 1cm/s 的速度移动， 点 Q 从B 点开始沿BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 . （1）如果点P、Q 分别从A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于4？（2）如果点P、Q 分别从A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于5？一元二次方程综合复习1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A.23121xxB.21120xxC.20axbx cD.2221xxx2、 方程 （ m21） x2mx50 是关于 x 的一
14、元二次方程， 则 m满足的条件是 （）（A）m1 （B）m0 （C）| m| 1 （D）m 1 3、若1x是一元二次方程220axbx的一个根，则ab。4、实数aacbb242是方程的根（）（A）02cbxax（B）02cbxax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师总结优秀知识点（C）02cbxax（D）02cbxax5、方程2250x的解是：（）A.125xxB.1225xxC.125,5xxD.1225,25xx6、关于x的一元二次方程2210kxx两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）（A）1k（B）1k
15、（C）0k（D）10kk且7、在下列方程中，有实数根的是（）A）2310xxB）411xC）2230xxD）111xxx8 、 关 于x的 一 元 二 次 方 程222310xxm有 两 个 实 数 根12,x x， 且12124x xxx，则 m 的取值范围是（）（A）53m（B）12m（C）53m（D）5132m9.若（ x+y ） （1xy）+6=0，则 x+y 的值是（）A2 B3 C 2 或 3 D2 或 3 10、若（ m+1）(2) 1m mx+2mx1=0 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是 _ _11、填上适当的数，使等式成立：xx52x(2)12、当x= 时，代数式23
16、xx比代数式221xx的值大 2 13、某商品原价每件25 元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16 元，则该玩具平均每次降价的百分率是。14.解下列方程：1. 02522）（x直接开平方法2. 0542xx（配方法）3 x2 -5x+6=0 （因式分解法）4. 03722xx（公式法）21. 已 知 ： ABC的 两 边AB 、 AC的 长 是 关 于x的 一 元 二 次 方 程2223320xkxkk的两个实数根，第三边BC 的长为 5，问： k 取何值时， ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
