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1、4.3 角4.3.1 角与角的大小比较1.1.掌握角的概念及角的表示方法掌握角的概念及角的表示方法.(.(重点重点) )2.2.会比较角的大小会比较角的大小.(.(重点重点) )3.3.认识角的平分线及相关表达式认识角的平分线及相关表达式.(.(重点、难点重点、难点) )1.1.角的有关概念的两种表述角的有关概念的两种表述(1)(1)角的定义：角是有公共端点的两条角的定义：角是有公共端点的两条_组成的图形组成的图形. .角的顶点：其中公共端点是角的角的顶点：其中公共端点是角的_._.角的边：角的边：_是角的边是角的边. .射线射线顶点顶点两条射线两条射线基础梳理基础梳理(2)(2)角的定义：角
2、是把一条角的定义：角是把一条_OA_OA绕着它的端点绕着它的端点O O从一个位置从一个位置旋转到另一个位置时所成的图形旋转到另一个位置时所成的图形. .角的顶点：射线的角的顶点：射线的_叫做角叫做角的顶点的顶点. .角的始边：射线角的始边：射线_所在的位置所在的位置OAOA叫做角的始边叫做角的始边. .角的终边角的终边:_:_的位置的位置OBOB叫做角的终边叫做角的终边. .角的边：角的角的边：角的_和和_统称为角的边统称为角的边. .角的内部：从始边旋转到终边所角的内部：从始边旋转到终边所_._.射线射线原来原来旋转后旋转后始边始边终边终边扫过的区域扫过的区域端点端点O O(3)(3)平角、
3、周角的形成平角、周角的形成平角平角: :当射线绕它的当射线绕它的_旋转到与原来的位置在旋转到与原来的位置在_但方向但方向_时，所成的角叫做时，所成的角叫做_；周角：当射线绕着端点旋转周角：当射线绕着端点旋转_，又重新回到原来的位置，又重新回到原来的位置时，所成的角叫做时，所成的角叫做_._.同一直线上同一直线上相反相反平角平角一周一周周角周角端点端点2.2.角的表示角的表示方法方法图形图形表示表示适用范围适用范围用三个大写字母用三个大写字母_所有角所有角用一个大写字母用一个大写字母_顶点处只顶点处只有一个角有一个角用数字或希腊字母用数字或希腊字母_所有角所有角AOBAOBO O1 13.3.角
4、的比较角的比较(1)(1)度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. .(2)(2)叠合法：把两个角叠合在一起比较大小叠合法：把两个角叠合在一起比较大小. .4.4.角的平分线角的平分线(1)(1)定义：以一个角的定义：以一个角的_为端点的一条射线，如果把这个角为端点的一条射线，如果把这个角分成两个分成两个_的角，那么这条射线叫做这个角的平分线的角，那么这条射线叫做这个角的平分线. .(2)(2)符号表示：符号表示：如图，如图，OCOC是是AOBAOB的平分线，的平分线，则则_=COB= _=COB= _，AOB=2AOC=2_.AOB=
5、2AOC=2_.顶点顶点相等相等AOCAOCAOBAOBCOBCOB ( (打打“”或或“”) )(1)(1)射线射线OAOA，OBOB组成的角可以记为组成的角可以记为AOB.( )AOB.( )(2)(2)角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关. . ( ( ) )(3)(3)角的两边是两条射线角的两边是两条射线.( .( ) )(4)(4)把一个角放到一个放大把一个角放到一个放大1010倍的放大镜下观看，角的度数也倍的放大镜下观看，角的度数也扩大扩大1010倍倍.( .( ) )(5)(5)直线就是平角，但射线不是周角直线就是平角，
6、但射线不是周角.( .( ) )知识点知识点 1 1 角的识别与表示角的识别与表示【例例1 1】如图，写出符合下列条件的角如图，写出符合下列条件的角( (小于平角的角小于平角的角).).(1)(1)能用一个大写字母表示的角能用一个大写字母表示的角. .(2)(2)能用一个数字表示的角，并用三个大写字母表示能用一个数字表示的角，并用三个大写字母表示. .(3)(3)以以D D为顶点的角为顶点的角. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)以某点为顶点的角只有一个时才能用一个大以某点为顶点的角只有一个时才能用一个大写字母表示写字母表示. .(2)(2)找出标有数字的角，并用三个大写字母表示找出标有数字的
7、角，并用三个大写字母表示. .(3)(3)找以找以D D为端点的射线为端点的射线( (或线段或线段) )形成的角，并用三个字母表示形成的角，并用三个字母表示. .【自主解答自主解答】(1)(1)顶点处只有一个角的为顶点处只有一个角的为B,B,所以能用一个大写字母表示的角为所以能用一个大写字母表示的角为B.B.(2)(2)能用一个数字表示的角有能用一个数字表示的角有1,21,2，3.13.1用三个大写字用三个大写字母表示为母表示为CAD, 2CAD, 2用三个大写字母表示为用三个大写字母表示为ACE, 3ACE, 3用三个用三个大写字母表示为大写字母表示为ABD.ABD.(3) ADC(3) A
8、DC，ADB.ADB.【总结提升总结提升】表示角时注意的三点表示角时注意的三点1.1.用三个字母表示角时，顶点字母必须写在中间用三个字母表示角时，顶点字母必须写在中间. .2.2.用一个字母表示角时，必须顶点处只有一个角用一个字母表示角时，必须顶点处只有一个角. .3.3.用数字或希腊字母表示角时，必须在相应角的内部加弧线及用数字或希腊字母表示角时，必须在相应角的内部加弧线及数字或希腊字母数字或希腊字母. .知识点知识点 2 2 角的平分线及应用角的平分线及应用【例例2 2】如图所示，已知如图所示，已知OCOC是是AOBAOB的的平分线，平分线，OEOE是是BODBOD的平分线，如果的平分线，
9、如果AOB=40AOB=40,BOD=90,BOD=90，那么，那么COECOE是多少度？是多少度？【解题探究解题探究】(1)(1)因为因为OCOC是是AOBAOB的平分线，所以的平分线，所以BOC=BOC=_= = _. .(2)(2)因为因为OEOE是是BODBOD的平分线，所以的平分线，所以BOE=BOE=_= = _. .(3)(3)因为因为AOB=40AOB=40，BOD=90BOD=90, ,所以所以COE=BOC+COE=BOC+_= + = = + = _+ + _= =_. .AOCAOCAOBAOBDOEDOEBODBODBOEBOE20204545 6565【总结提升总结
10、提升】角平分线的特点角平分线的特点利用角的平分线解题时应注意角的平分线的本质是它是角的内利用角的平分线解题时应注意角的平分线的本质是它是角的内部的一条射线，它必须满足以下两个条件：部的一条射线，它必须满足以下两个条件：(1)(1)从角的顶点引出的射线，且在角的内部从角的顶点引出的射线，且在角的内部.(2).(2)把已知角分成把已知角分成了两个角，且这两个角相等了两个角，且这两个角相等. .这两个条件缺一不可，做题时一这两个条件缺一不可，做题时一定要注意定要注意. .题组一：角的识别与表示题组一：角的识别与表示1.1.下列关于角的说法正确的是下列关于角的说法正确的是( )( )A.A.两条射线组
11、成的图形叫做角两条射线组成的图形叫做角B.B.延长一个角的两边延长一个角的两边C.C.角的两边是射线，所以角不可以度量角的两边是射线，所以角不可以度量D.D.角的大小与这个角的两边长短无关角的大小与这个角的两边长短无关【解析解析】选选D.D.形成角的两条射线应有公共端点，形成角的两条射线应有公共端点，A A不正确；角不正确；角的边是射线不能延长，的边是射线不能延长，B B不正确；角的大小是指两边张开的幅不正确；角的大小是指两边张开的幅度，可以度量度，可以度量, ,与边的长短无关，与边的长短无关，C C不正确不正确. .2.2.下列图形中表示下列图形中表示ABCABC的图形是的图形是( )( )
12、【解析解析】选选C.C.选项选项A A为为CABCAB，选项，选项B B不是角；选项不是角；选项D D为为ACD.ACD.3.3.如图，图中包含的小于如图，图中包含的小于180180的角共有的角共有( )( )A.4A.4个个 B.5B.5个个 C.6C.6个个 D.7D.7个个【解析解析】选选D.D.分别是分别是B B，C C，BADBAD，BACBAC，DACDAC，BDABDA，CDACDA，均为小于，均为小于180180的角的角. .共共7 7个个. .4.4.如图所示，能用如图所示，能用AOBAOB，O O，1 1三种方法表示同一个角的三种方法表示同一个角的图形是图形是( )( )【
13、解析解析】选选D.D.前三个选项以前三个选项以O O为顶点的角都不止一个，所以都为顶点的角都不止一个，所以都不能用一个大写字母来表示不能用一个大写字母来表示 . .5.5.图中，以图中，以B B为顶点的小于平角的角有几个？把它们表示出来为顶点的小于平角的角有几个？把它们表示出来. .以以D D为顶点的小于平角的角有几个？把它们表示出来为顶点的小于平角的角有几个？把它们表示出来. .【解析解析】以以B B为顶点的小于平角的角有为顶点的小于平角的角有3 3个，分别是个，分别是:ABD,ABC,DBC:ABD,ABC,DBC，以，以D D为顶点的小于平角的角有为顶点的小于平角的角有4 4个个, ,分
14、别分别是是ADE,EDC,ADB,BDC.ADE,EDC,ADB,BDC.题组二：角的和差、角平分线题组二：角的和差、角平分线1.1.如果如果1-2=3,1-2=3,且且4+2=1,4+2=1,那么那么3 3和和4 4间的关系是间的关系是( )( )A.34 B.3=4A.34 B.3=4C.34 C.34 D.D.不确定不确定【解析解析】选选B.B.因为因为4+2=14+2=1，所以，所以4=1-24=1-2，所以，所以3=4.3=4.2.2.如图，如图，1=151=15，AOC=90AOC=90，点，点B,O,DB,O,D在一条直线上，则在一条直线上，则2 2的度数为的度数为( )( )A
15、.75A.75 B.85 B.85 C.95 C.95 D.105 D.105【解析解析】选选D. D. 因为因为BOC=AOC-1=90BOC=AOC-1=90-15-15=75=75，所以，所以2=BOD-BOC=1802=BOD-BOC=180-75-75=105=105. .3.3.如图，已知直线如图，已知直线ABAB，CDCD相交于点相交于点O O，OEOE平分平分COB,COB,若若EOB=55EOB=55，则，则BODBOD的度数是的度数是( )( )A.35A.35 B.55 B.55 C.70 C.70 D.110 D.110【解析解析】选选C.C.由由OEOE平分平分COB
16、COB，EOBEOB5555，得，得COB=110COB=110, , 所以所以BOD= 180BOD= 180-110-110=70=70. .4.4.如图，如图，OCOC平分平分AOBAOB，ODOD平分平分AOCAOC，则图中相等的角有，则图中相等的角有_._.【解析解析】因为因为OCOC平分平分AOBAOB，所以所以AOC=BOCAOC=BOC；因为因为ODOD平分平分AOCAOC，所以所以AOD=COD.AOD=COD.答案：答案：AOC=BOC,AOD=CODAOC=BOC,AOD=COD5.5.已知已知AOBAOB BODBOD，OCOC平分平分BODBOD，AOCAOC7575, ,则则BOD=_.BOD=_.【解析解析】设设BODBODx x, ,则则AOBAOB x x，BOCBOC x x，所以所以 x+ x=75x+ x=75，解得，解得x=90x=90，故，故BOD=90BOD=90. .答案：答案：9090【想一想错在哪？想一想错在哪？】若若AOB=2BOC,AOB=2BOC,射线射线OCOC平分平分AOBAOB吗？吗？提示：提示：BOCBOC在在AOBAOB的内部与外部情况不一样的内部与外部情况不一样. .
