《2022年牡丹江市中考满分作文-勾股定理中数学思想的运用》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年牡丹江市中考满分作文-勾股定理中数学思想的运用(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载勾股定理中数学思想的运用一. 勾股定理中方程思想的运用方程思想 是指:在含有直角三角形的图形中,求线段的长往往要使用勾股定理,如果无法直接用勾股定理来计算,则需要列方程解决。例题 1如左图所示,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=5cm ,BC=10cm ,将ABC折叠,使点 B 与点 A重合,折痕为DE ,则 CD的长为()分析 :折叠问题是近几年来中考中的常见题型,解折叠问题关键抓住对称性,图中CD在tACD中,由于 AC已知,要求 CD ,只需求 AD ,由折叠的对称性,得AD=BD ,注意到 CD+BD=BC,利用勾股定理即可解之。解:如右图所示,要使A,B两点重合,则
2、折痕DE必为 AB的垂直平分线。连结AD ,则 AD BD。设 CD x,则 AD=BD=10 x在 RtACD中,由勾股定理,得故选 D。点拨 :勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式,求线段的长时,可由此列出方程,运用方程思想分析问题和解决问题,以便简化求解。二. 勾股定理中分类讨论思想的运用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载分类讨论思想 是指:在解题过程中,当条件或结论不确定或不惟一时,往往会产生几种可能的情况,这就需要依据一定的标准对问题进行分类,再针对各种不同的情况分别予以解决。最后综
3、合各类结果得到整个问题的结论。分类讨论实质上是一种“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学方法。例题 2已知 ABC中,AB=20 ,AC=15 ,BC边上的高为12,求ABC的面积。分析 :应分 ABC是锐角三角形或钝角三角形两种情况分别求之。解:AD是ABC的高,由勾股定理,得BD2 = AB2 AD2 = 202 122= 256, BD = 16CD2 = AC2 AD2 = 152 - 122= 81, CD = 9(1)若C 为锐角,如图( 1)所示,则 BC = BD + CD = 16 + 9 = 25 (2)若C 为钝角,如图( 2)所示,则 BC = BD CD = 16
4、9 = 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载即ABC的面积为 150 或 42 点拨 :在一些求值计算题中,有些题目没有给出图形,当画出符合题意的图形不惟一时,要注意分情况进行讨论,避免漏解。三. 勾股定理中类比思想的运用类比思想 是数学学习的重要发现式思维,它是一种学习方法,同时也是一种非常重要的创造性思维。它通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性,去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性。从而大胆猜想得到结论( 必要时要加以证明) 。例题 3如图,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作
5、三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,则不难证明 S1=S2+S3(1)如图,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么 S1、S2、S3之间有什么关系?( 不必证明 ) (2)如图,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定 S1、S2、S3之间的关系并加以证明分析 :从同学们熟悉的勾股定理入手,容易得证,中要求出等边三角形的面积。解:设直角三角形ABC的三边 BC 、CA 、AB的长分别为、b、c,则 c2 = 2 + b2(1)S1 = S2 + S3(2)S1 = S2 + S3证明
6、如下:显然,点拨 :本题从特殊到一般,从已知到未知,类比勾股定理的探究过程,其关键就在于理解勾股定理当然,学习了相似三角形的知识后,还可以继续探究:分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,上述结论是否还成立呢?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载四. 勾股定理中整体思想的运用整体思想 是指:对于某些数学问题,如果拘泥常规,从局部着手,则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考,就能开阔思路,较快解答题目。例题 4在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图)已知斜放置的三个正
7、方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则 S1S2S3S4=_分析 :本题不可能求出S1、S2、S3、S4,但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出S1S2、S2S3、S3S4解:易证 RtABC Rt CDE AB = CD又CD2 + DE2 = CE2, 而 AB2 = S3,CE2 = 3,DE2 = S4S3 S4 = 3 ,同理 S1 S2 = 1 ,S2 S3 = 2 S1 S2 S2 S3 S3 S4 = 1 2 3 = 6,即 S1 S2 S3 S4 4 点拨 :化零为整,化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法,利用整体思想,
8、不仅会使问题化繁为简,化难为易,而且有助于培养学生的创造性思维能力。五. 勾股定理中数型结合思想的运用所谓 数形结合思想 ,就是抓住数与形之间本质上的联系,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂问题简单化、抽象问题具体化,从而达到迅速解题的目的。例题 5在一棵树的10m高处有两只猴子,其中一只爬下树直奔离树20m的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高?分析 :根据题意画出图形,再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页
9、,共 5 页学习必备欢迎下载解:如右图所示,D为树顶, AB = 10m,C 为池塘, AC = 20m 设 BD的长是 xm,则树高( x + 10 )m AC + AB = BD + DC,DC = 20 + 10 x 在ACD中A = 90 ,AC2 + AD2 = DC2202 + (x + 10 )2 = (30 x)2,解得 x = 5 x + 10 = 15,即树高15 米点拨 :勾股定理本身就是数形结合的一个典范,它把直角三角形有一个直角的“形”的特点,转化为三边“数”的关系。 利用勾股定理解决实际问题,关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型,再利用方程来解决。数学思想方法是解决数学问题的灵魂。在运用勾股定理解题时,更应注重思想方法的运用,以提高独立分析问题和解决问题的能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页