《线性代数第07章线性空间与线性变换ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第07章线性空间与线性变换ppt课件（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第7章 线性空间与线性变换 本章引见线性空间的根本概念与根本运算，引见线性变换的根本概念以及线性变换的矩阵。经过本章的学习，应该掌握以下内容： 线性空间的概念、基、维数与坐标 基变换与坐标变换公式 线性变换的概念、简单性质与运算 线性变换的矩阵表示和线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 线性变换运算所对应的矩阵 线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件 维线性空间的概念7.1 维线性空间 7.1.1 定义定义1 设设 是一个非空集合， 是一个数域,在 中定义了两种代数运算： 1加法 对于 中恣意两个元素 按某一法那么,在 中都有独一的一个元素 与它们对应,称为 的和,记作 2数量乘法 对于 恣意元素和
2、数域 中的恣意数 按某一法那么,在 中都有独一的一个元素 对应,称为 与它们与的数量乘积，记作 普通称集合 对于加法和数量乘法这两种运算封锁 假设加法和数量乘法满足以下八条运算规律，那么称 是数域 上的一个线性空间其中： 3在 中有一个元素 ,对于 中任一元素 ,都有 .称元素 为 的零元素4对于 中每一个元素 ,都有 中的元素 使得 .称元素 为 的负元素,记作 ,即(5)对数域 中的数1和 中的任一元素 ,都有 是恣意实数) 注: 凡满足八条运算规律的加法及数量乘法，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为线性空间 线性空间具有以下性质：性质性质1 线性空间的零元素是独一的；线性空间
3、的零元素是独一的；性质性质2 线性空间线性空间 中每个向量的负向量是独一的；中每个向量的负向量是独一的；性质性质3 性质性质4 假设假设 ,那么 或 7.1.2基、维数与坐标定义定义2 在线性空间在线性空间 中,假设存在 个元素 满足: 中任一元素 总可以由 线性表示, 那么, 称为线性空间 的一组基, 称为线性空间 的维数 线性无关;定义定义3 设设 是维线性空间 的一组基是中任一元素，假设 这组有序数组就称为元素 在这组基下的坐标，并记作： 建立了坐标后，就把笼统的向量元素与详细的数组向量 联络起来了并且,还可把抽象的线性运算与数组向量的元素联络起来设为一组基于是 7.1.3基变换与坐标变
4、换公式 设与是线性空间 中的两个基 利用分块矩阵的乘法方式，可将上式记为 或其中称为由基 到过渡矩阵.中的每一列元素分别是基 在基下的坐标； 称为基变换公式 定理定理1设设 中的元素在基 下的坐标为 ,在基 下的坐标为 ,假设两个基满足 那么有坐标变换公式 或例例8 设设 是线性空间 的一组基 为一个二阶可逆矩阵，令 显然， 也线性无关，因此 的一组基,并且满足 也是是由基到的过渡矩阵.例例9 设由一切二阶矩阵组成的线性空间设由一切二阶矩阵组成的线性空间 的两个基为： 1求由基 到基 2分别求 的过渡矩阵；在上述两个基下的坐标； 3求一个非零矩阵 ,使在两个基下的坐标一样 解解 1由于由于 写
5、成矩阵方式，就有 于是矩阵 到基的过渡矩阵；即是由基2由 于是, 在基下的坐标为在基下的坐标为(3)设 在上述两个基下坐标一样,由(2)知,应有 ,故 为在给定的两组基下坐标一样的非零的二阶矩阵 7.2 线性变换 7.2.1线性变换的定义定义定义4 设有两个非空集合设有两个非空集合 假设对于 中的任一元素 ,按照一定的规那么,总有 中一个确定的元素 对应,那么,这个对应规那么就称为从集合 和它到集合的变换(或映射).我们常用字母来表示一个变换，譬如把上述变换记作 ,并记 或定义定义5 设设 分别是实数域上的 维和空间, 维线性是一个从 到的变换,假设变换满足: 1任给 ,有2任给 ,有那么 就
6、称为从 到的线性变换假设 ,那么,称 为中的线性变换. 7.2.2线性变换的简单性质线性变换有以下性质: 性质性质1 性质性质2 假设假设 ,那么 性质性质3 假设假设 ,那么 线性相关.线性相关性质性质4 线性变换线性变换 的像集 称为线性变换的像空间； 是一个线性空间,性质性质5 使使 的 的全体 也是一个线性空间, 称为线性变换 的核. 例例17 设有设有 阶矩阵阶矩阵 其中中的变换 为线性变换 的像空间为 的核 就是齐次线性方程组 的解空间 7.2.3线性变换的运算1.线性变换的加法定义定义6 设设 是线性空间 定义它们的和 的两个线性变换,为容易证明,线性变换的和还是线性变换. 线性
7、变换的加法满足结合律与交换律.即 2线性变换的数量乘法 定义定义7 设设 是线性空间 的线性变换, 定义它们的数量乘法 为实数，为 显然 ,依然是线性变换. 线性变换的数量乘法满足以下运算规律： 称为 的负变换 3.线性变换的乘法定义定义8 设设 是线性空间 定义它们的乘积 的两个线性变换,为容易证明,线性变换的乘积还是线性变换. 线性变换的乘法满足结合律.即 但不满足交换律,即普通地对于乘法,单位变换 有特殊的位置,对恣意变换 还可以证明线性变换的加法与乘法满足乘法对加法的左右分配律： 满足4线性变换的逆变换定义定义9 设设 是线性空间 的线性变换,假设有 的线性变换存在,使 ,那么称线性变
8、换 可逆，并称 是的逆变换. 可以证明可逆变换的逆变换是独一的 可逆变换的逆变换记做,即可以证明,线性变换 的逆变换也是线性变换 7.3 线性变换的矩阵表示7.3.1线性变换在一个基下的矩阵 定义定义10 设设 是维线性空间的线性变换， 在中取定一组基， ,假设这组基在线性变换 下的像用这个基线性表示为 记上式可以表示为 其中那么, 就称为线性变换在基下的矩阵 显然，矩阵由基的像独一确定特别地,在中取定一组基以后, 线性变换矩阵例例18 求求 中的线性变换 在如下基下的矩阵： 解解 1由于由于 所以,在基下线性变换 的矩阵为2由于所以，在基下线性变换的矩阵 例例20 设设 的线性变换为 求在基
9、 下的矩阵.解解 由于由于所以,线性变换 在基 下的矩阵为定理定理 2设设 是维线性空间的一组基， 的线性变换 在这组基下的矩阵为 ,向量 在基 下的坐标为 其中 那么即7.3.2线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 定理定理3 设设 与是线性空间的两组不同的基,由基 到的过渡矩阵为 中的线性变换 矩阵分别为 在这两组基下的和,那么 证明证明 按定理的假设，有按定理的假设，有可逆，从而 及于是由于 线性无关,所以 于是 例例21 设中的线性变换 在基 下的矩阵为 ,求 在基 下的矩阵.解解 即由 到的过渡矩阵,求得 在基 下的矩阵.可逆,那么矩阵7.3.3线性变换运算所对应的矩阵 定理定理4 设
10、设 是维线性空间的一组基, 在这组基下,线性变换 的矩阵分别为 ,那么在基 下 1线性变换 的和的矩阵为 2线性变换的数量乘法的矩阵为矩阵3线性变换 的乘积的矩阵为 4假设线性变换可逆，反之亦然有 个相异的特征值,那么 1线性变换所对应的矩阵 可以对角化的充要条件是矩阵 有 个线性无关的特征向量； 是 维线性空间 的一个线性变换，假设在 内存在一组基 使 在这组基下与对角阵对应，我们称 所对应的矩阵可以对角化.定理定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是类似的；线性变换在不同基下所对应的矩阵是类似的；反过来，假设两个矩阵类似，那么，它们可以看作同反过来，假设两个矩阵类似，那么，它们可以看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵一线性变换在两组基下所对应的矩阵 7.3.4线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件设 2假设 可以对角化.可以对角化的充要条件是(3)的每一个 重特征值都有 个线性无关的特征向量
