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1、学习好资料欢迎下载二次函数的图象和性质(培优教案)一、课前训练:1. 抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标 x ,纵坐标y的对应值如下表:x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知,下列说法中正确的是 (填写序号)抛物线与 x轴的一个交点为( 3,0 ) ; 函数2yaxbxc的最大值为 6;抛物线的对称轴是12x;在对称轴左侧,y随 x增大而增大2. 已知二次函数2yaxbxc(0a)的图象如图所示,有下列结论:240bac;0abc;80ac;930abc其中,正确结论的个数是二、知识结构:222124()24()()yaxbxcbacbya xaayxxxx定义一般式:二
2、次函数解析式顶点式:两根式:图象开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值性质(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 第 2 题y x O 1x12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页学习好资料欢迎下载22(0)40(0, )00ayabyyaxbxc abacxcyCccc开口方向同号对称轴在轴左侧、异号对称轴在轴右侧与 轴交点个数正半轴与 轴交于点原点负半轴三、题型讲练:例 1已知:二次函数为y=x2x+m, (1)写出它的图象的开口方向,对称轴及顶点坐标;(2)m为何值时,顶点在 x 轴上方, (3)若抛物线与
3、y 轴交于 A,过 A 作 ABx 轴交抛物线于另一点B,当 SAOB=4 时,求此二次函数的解析式【分析】 (1)用配方法可以达到目的; (2)顶点在 x 轴的上方, ?即顶点的纵坐标为正; (3)ABx 轴,A,B 两点的纵坐标是相等的,从而可求出m 的值【解】(1) 由已知 y=x2x+m 中,二次项系数 a=10,开口向上,又y=x2x+m=x2x+(12)214+m=(x12)2+414m对称轴是直线x=12,顶点坐标为(12,414m) (2)顶点在 x 轴上方, 顶点的纵坐标大于0,即414m0 m14m14时,顶点在 x 轴上方(3)令 x=0,则 y=m 即抛物线 y=x2x
4、+m 与 y 轴交点的坐标是 A(0,m) ABx 轴B 点的纵坐标为 m当 x2x+m=m 时,解得 x1=0,x2=1A(0,m) ,B(1,m)在 RtBAO 中, AB=1,OA= m SAOB =12OA AB=412m 1=4,m= 8 故所求二次函数的解析式为y=x2x+8 或 y=x2x8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页学习好资料欢迎下载练习:1. 如图是二次函数)0(2acbxaxy在平面直角坐标系中的图象,根据图形判断 c0;a +b+c0; 2 a -b0;b2+8a 4 a c其中正确的是
5、(填写序号)2. 抛物线242myxx与 x 轴的一个交点的坐标为 (l,0), 则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是. 3 如图,二次函数cxy221的图象经过点 D29,3,与 x 轴交于 A、B 两点求 c的值;如图,设点 C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点,直线 AC 将四边形 ABCD 的面积二等分,试证明线段BD 被直线 AC 平分,并求此时直线AC 的函数解析式;设点 P、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P、Q,使AQPABP?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由(图供选用)xyO精选学习资料 - - - - - -
6、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页学习好资料欢迎下载【解】 抛物线经过点 D(29,3) 29)3(212cc=6. 过点 D、B 点分别作 AC 的垂线,垂足分别为E、F,设 AC 与 BD 交点为 M,AC 将四边形 ABCD 的面积二等分,即: SABC=SADCDE=BF又 DME=BMF, DEM=BFEDEMBFMDM=BM 即 AC 平分 BDc=6. 抛物线为6212xyA(0,32) 、B(0,32)M 是 BD 的中点M(49,23)设 AC 的解析式为 y=kx+b,经过 A、M 点4923032bkbk解得591033bk直线
7、AC 的解析式为591033xy. 存在设抛物线顶点为N(0,6),在 RtAON 中,易得 AN=4 3,于是以 A 点为圆心, AB=4 3为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q,连接 AQ,再作 QAB 平分线 AP 交抛物线于 P,连接 BP、PQ,此时由 “ 边角边 ” 得AQPABP例 2.已知抛物线2(4)24yxmxm与x轴交于1(,0)A x、2(,0)B x,与y轴交于点 C,且1x、2x满精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页学习好资料欢迎下载足条件1212,20xxxx(1)求抛物线的解析式;
8、(2)能否找到直线ykxb与抛物线交于 P、Q 两点,使y轴恰好平分 CPQ 的面积?若能,求出k、b所满足的条件解: (1)22(4)4(24)320mmm,对一切实数m,抛物线与x轴恒有两个交点,由根与系数的关系得124xxm,12(24)x xm由已知有1220xx得2124,228.xm xxm代入得(28)(4)(24)mmm化简得29140mm解得121122,7.2,4,2mmmxx当时,满足12xx当27m时,126,3xx,不满足12xx,抛物线的解析式为228yxx(2)如图,设存在直线ykxb与抛物线交于点P、Q,使y轴平分 CPQ 的面积,设点 P 的横坐标为Qx,直线
9、与y轴交于点 E1122PCEQCEPQSSCExCEx,PQxx,由y轴平分 CPQ 的面积得点 P、Q 在y轴的两侧,即PQxx,0PQxx,由228ykxbyxx得2(2)80xkxb又Px、Qx是方程2(2)80xkxb的两根,(2)0PQxxk,2k又直线与抛物线有两个交点,当28kb且时,直线ykxb与抛物线的交点 P、Q,使y轴能平分 CPQ 的面积故2,8kb练习:_ Q_ C_ P_ E_ y_ O_ x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页学习好资料欢迎下载1. 已知二次函数11)(2k2xkxy与
10、 x 轴交点的横坐标为1x、2x(21xx ) ,则对于下列结论:当 x2 时,y1;当2xx时,y0;方程011)(22xkkx有两个不相等的实数根1x、2x;11x,12x;22114kxxk ,其中所有正确的结论是(只需填写序号)2. 已知 直线02bbxy与 x 轴 交于 点 A,与 y 轴交 于点 B; 一 抛 物 线 的解 析式 为cxbxy102. (1)若该抛物线过点B,且它的顶点 P在直线bxy2上,试确定这条抛物线的解析式;(2) 过点 B作直线 BC AB交 x 轴交于点 C, 若抛物线的对称轴恰好过C点, 试确定直线bxy2的解析式 . 例 3、如图,已知二次函数图象的
11、顶点坐标为C(1,0),直线mxy与该二次函数的图象交于A、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页学习好资料欢迎下载B 两点,其中 A 点的坐标为 (3,4),B 点在 y 轴上. (1)求m的值及这个二次函数的表达式;(2)P为线段 AB 上的一个动点(点P与 A、B 不重合) ,过 P 作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点,设线段 PE的长为h,点 P 的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB 上是否存在一点P,使
12、得四边形 DCEP 是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1) 点 A(3,4)在直线mxy上,4=3+m. m=1. 设所求二次函数的关系式为2(1)ya x 点 A(3,4)在二次函数2(1)ya x的图象上,24(31)a1a 所求二次函数的关系式为2(1)yx即221yxx(2) 设 P、E 两点的纵坐标分别为py 和Ey22(1)(21)3pEPEhyyxxxxx即h23(03)xxx(3) 存在. 要使四边形 DCEP 是平行四边形,必需有PE=DC. 点 D 在直线1yx上 点 D 的坐标为 (1,2), 232xx解之得122,1xx(不合
13、题意,舍去 ) 当 P 点的坐标为 (2,3)时,四边形 DCEP 是平行四边形练习:1.已知抛物线 yx2mxm2. (1)若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧,并且AB5,试求 m 的值;(2)设 C 为抛物线与y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且 MNC的面积等于 27,试求 m 的值.解: (1)(x1,0),B(x2,0) . 则 x1,x2是方程 x2mxm20 的两根 . x1 x2m , x1 x2 =m2 0 即 m2 ; E B A C P O x y D E B A C P O x y D 精选学习资料 - - - - - - -
14、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页学习好资料欢迎下载又 ABx1 x2121245xxx x2(+ ), m24m3=0 . 解得: m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . (2)M(a,b),则 N(a,b) . M、N 是抛物线上的两点 , 222,2.amambamamb得: 2a22m40 . a2m2 . 当 m2 时,才存在满足条件中的两点M、N. 2am. 这时 M、N 到 y 轴的距离均为2m, 又点 C 坐标为( 0,2m),而 SM N C = 27 , 212 (2m)2m=27 . 解得 m=7 . 2.已知在平面直角坐
15、标系内,O 为坐标原点, A、B 是 x 轴正半轴上的两点,点A 在点 B 的左侧,如图二次函数cbxaxy2(a0 )的图象经过点A、B,与 y 轴相交于点 C(1)a、c 的符号之间有何关系 ? (2)如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项,试证a、c 互为倒数;(3)在( 2)的条件下,如果b4,34AB,求 a、c 的值解: (1)a、c 同号 或当 a0 时,c0;当 a0 时,c0(2)证明:设点 A 的坐标为(1x,0) ,点 B 的坐标为(2x,0) ,则210xx1xOA,2xOB,cOC据题意,1x、2x是方程)0(02acbxax的两个根acxx21由题
16、意,得2OCOBOA,即22ccac所以当线段 OC 长是线段 OA、OB 长的比例中项时, a、c 互为倒数N M C x y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页学习好资料欢迎下载(3)当4b时,由( 2)知,0421aabxx,a0解法一: ABOBOA21221124)(xxxxxx,aaacacaAB32416)(4)4(2234AB, 3432a得21ac2.解法二:由求根公式,aaaacx322416424164,ax321,ax322aaaxxOAOBAB3232321234AB,3432a,得2
17、1ac2四、课堂小结:二次函数与几何的综合应用是广州历届中考的重点,所以必须认真地、深入地进行探究。五、作业布置:1 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 7 所示,那么下列判断不正确的是()Aac0 Cb= -4aD关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=1,x2=5 2. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 3 所示,则下列结论正确的是()Aa0,b0,b24ac0; Ba0,b0,b24ac0; Ca0,c0; Da0,c0,b24ac0; 3.已知抛物线2yaxbxc(a0)过 A(2,0) 、O(0,0) 、B(3,1y) 、C(3,2y)四点,则1y
18、与2y的大小关系是- 1 y x 5 x=2 2 O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页学习好资料欢迎下载A1y2yB1y2yC1y2y D不能确定4.已知二次函数2yaxbxc(a0 )的图象如图所示,则下列结论: ac 0; a b +c 0; 当 x 0 时,y 0;方程20axbxc(a0 )有两个大于 1 的实数根 其中错误的结论有(A) (B) (C) (D) 5.如图,二次函数2yxaxb的图象与 x轴交于1(,0)2A,(2,0)B两点,且与 y 轴交于点C. (1)求该抛物线的解析式,并判断ABC
19、的形状;(2)在 x轴上方的抛物线上有一点D ,且以 ACDB、 、四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出 D 点的坐标;(3)在此抛物线上是否存在点P,使得以 ACBP、 、四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出 P点的坐标;若不存在,说明理由. 解:根据题意,将A(12,0),B(2,0)代入 y=-x2+ax+b 中,得110,42420.abab1O1xyx =1 ? ?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页学习好资料欢迎下载解这个方程,得3,21.ab全品中考网所以抛物线的解析式为y=-x2+32x+
20、1. 当 x=0 时,y=1.所以点 C 的坐标为( 0,1) 。所以在 AOC 中,AC=22OAOC =52. 在BOC 中,BC=22OBOC=5. AB=OA+OB=15222. 因为 AC2+BC2=2125244AB. 所以ABC 是直角三角形。(2)点 D 的坐标是3,12. (3)存在。由(1)知, ACBC, 若以 BC 为底边,则 BCAP,如图( 1)所示,可求得直线 BC 的解析式为112yx. 直线 AP 可以看作是由直线AC 平移得到的, 所以设直线 AP的解析式为12yxb,将 A(12,0)代入直线 AP 的解析式求得b=14,所以直线AP 的解析式为1124y
21、x. 因为点 P 既在抛物线上,又在直线AP 上,所以点 P 的纵坐标相等,即 -x2+32x+1=1124x. 解得125122xx(不合题意,舍去) . 当 x=52时,y=32. 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页学习好资料欢迎下载所以点 P 的坐标为(52,32). 若以 AC 为底边,则 BPAC,如图( 2)所示,可求得直线 AC 的解析式为21yx. 直线 BP 可以看作是由直线AC 平移得到的,所以设直线 BP的解析式为2yxb,将 B (2,0)代入直线 BP 的解析式求得 b=-4,所以直线 BP 的解析式为 y=2x-4. 因为点 P 既在抛物线上,又在直线BP 上,所以点 P 的纵坐标相等,即 -x2+32x+1=2x-4 解得125,22xx(不合题意,舍去) . 当 x=-52时,y=-9. 所以点 P 的坐标为( -52,-9). 综上所述,满足题目的点P 的坐标为(52,32)或( -52,-9)图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页