《2022年二次函数的图象和性质 2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年二次函数的图象和性质 2（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习好资料欢迎下载二次函数的图象和性质（培优教案）一、课前训练：1. 抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标 x ，纵坐标y的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与 x轴的一个交点为（ 3,0 ） ； 函数2yaxbxc的最大值为 6；抛物线的对称轴是12x；在对称轴左侧，y随 x增大而增大2. 已知二次函数2yaxbxc(0a)的图象如图所示，有下列结论：240bac；0abc；80ac；930abc其中，正确结论的个数是二、知识结构：222124()24()()yaxbxcbacbya xaayxxxx定义一般式：二
2、次函数解析式顶点式：两根式：图象开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值性质（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 第 2 题y x O 1x12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习好资料欢迎下载22(0)40(0, )00ayabyyaxbxc abacxcyCccc开口方向同号对称轴在轴左侧、异号对称轴在轴右侧与 轴交点个数正半轴与 轴交于点原点负半轴三、题型讲练：例 1已知：二次函数为y=x2x+m， （1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在 x 轴上方， （3）若抛物线与
3、y 轴交于 A，过 A 作 ABx 轴交抛物线于另一点B，当 SAOB=4 时，求此二次函数的解析式【分析】 （1）用配方法可以达到目的； （2）顶点在 x 轴的上方， ?即顶点的纵坐标为正； （3）ABx 轴，A，B 两点的纵坐标是相等的，从而可求出m 的值【解】（1） 由已知 y=x2x+m 中，二次项系数 a=10，开口向上，又y=x2x+m=x2x+（12）214+m=（x12）2+414m对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，414m） （2）顶点在 x 轴上方， 顶点的纵坐标大于0，即414m0 m14m14时，顶点在 x 轴上方（3）令 x=0，则 y=m 即抛物线 y=x2x
4、+m 与 y 轴交点的坐标是 A（0，m） ABx 轴B 点的纵坐标为 m当 x2x+m=m 时，解得 x1=0，x2=1A（0，m） ，B（1，m）在 RtBAO 中， AB=1，OA= m SAOB =12OA AB=412m 1=4，m= 8 故所求二次函数的解析式为y=x2x+8 或 y=x2x8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习好资料欢迎下载练习：1. 如图是二次函数)0(2acbxaxy在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 c0；a +b+c0； 2 a -b0；b2+8a 4 a c其中正确的是
5、（填写序号）2. 抛物线242myxx与 x 轴的一个交点的坐标为 （l,0), 则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是. 3 如图，二次函数cxy221的图象经过点 D29,3，与 x 轴交于 A、B 两点求 c的值；如图，设点 C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线 AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线 AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；设点 P、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使AQPABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图供选用）xyO精选学习资料 - - - - - -
6、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习好资料欢迎下载【解】 抛物线经过点 D(29,3) 29)3(212cc=6. 过点 D、B 点分别作 AC 的垂线，垂足分别为E、F，设 AC 与 BD 交点为 M，AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，即： SABC=SADCDE=BF又 DME=BMF， DEM=BFEDEMBFMDM=BM 即 AC 平分 BDc=6. 抛物线为6212xyA（0,32） 、B（0,32）M 是 BD 的中点M（49,23）设 AC 的解析式为 y=kx+b，经过 A、M 点4923032bkbk解得591033bk直线
7、AC 的解析式为591033xy. 存在设抛物线顶点为N(0，6)，在 RtAON 中，易得 AN=4 3，于是以 A 点为圆心， AB=4 3为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q，连接 AQ，再作 QAB 平分线 AP 交抛物线于 P，连接 BP、PQ，此时由 “ 边角边 ” 得AQPABP例 2.已知抛物线2(4)24yxmxm与x轴交于1(,0)A x、2(,0)B x，与y轴交于点 C，且1x、2x满精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习好资料欢迎下载足条件1212,20xxxx（1）求抛物线的解析式；
8、（2）能否找到直线ykxb与抛物线交于 P、Q 两点，使y轴恰好平分 CPQ 的面积？若能，求出k、b所满足的条件解： （1）22(4)4(24)320mmm，对一切实数m，抛物线与x轴恒有两个交点，由根与系数的关系得124xxm，12(24)x xm由已知有1220xx得2124,228.xm xxm代入得(28)(4)(24)mmm化简得29140mm解得121122,7.2,4,2mmmxx当时，满足12xx当27m时，126,3xx，不满足12xx，抛物线的解析式为228yxx（2）如图，设存在直线ykxb与抛物线交于点P、Q，使y轴平分 CPQ 的面积，设点 P 的横坐标为Qx，直线
9、与y轴交于点 E1122PCEQCEPQSSCExCEx，PQxx，由y轴平分 CPQ 的面积得点 P、Q 在y轴的两侧，即PQxx，0PQxx，由228ykxbyxx得2(2)80xkxb又Px、Qx是方程2(2)80xkxb的两根，(2)0PQxxk，2k又直线与抛物线有两个交点，当28kb且时，直线ykxb与抛物线的交点 P、Q，使y轴能平分 CPQ 的面积故2,8kb练习：_ Q_ C_ P_ E_ y_ O_ x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习好资料欢迎下载1. 已知二次函数11)(2k2xkxy与
10、 x 轴交点的横坐标为1x、2x（21xx ） ，则对于下列结论：当 x2 时，y1；当2xx时，y0；方程011)(22xkkx有两个不相等的实数根1x、2x；11x，12x；22114kxxk ，其中所有正确的结论是（只需填写序号）2. 已知 直线02bbxy与 x 轴 交于 点 A，与 y 轴交 于点 B； 一 抛 物 线 的解 析式 为cxbxy102. （1）若该抛物线过点B，且它的顶点 P在直线bxy2上，试确定这条抛物线的解析式；（2） 过点 B作直线 BC AB交 x 轴交于点 C， 若抛物线的对称轴恰好过C点， 试确定直线bxy2的解析式 . 例 3、如图，已知二次函数图象的
11、顶点坐标为C(1,0)，直线mxy与该二次函数的图象交于A、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习好资料欢迎下载B 两点，其中 A 点的坐标为 (3,4)，B 点在 y 轴上. （1）求m的值及这个二次函数的表达式；（2）P为线段 AB 上的一个动点（点P与 A、B 不重合） ，过 P 作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点，设线段 PE的长为h，点 P 的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P，使
12、得四边形 DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 解： (1) 点 A(3,4)在直线mxy上，4=3+m. m=1. 设所求二次函数的关系式为2(1)ya x 点 A(3,4)在二次函数2(1)ya x的图象上，24(31)a1a 所求二次函数的关系式为2(1)yx即221yxx(2) 设 P、E 两点的纵坐标分别为py 和Ey22(1)(21)3pEPEhyyxxxxx即h23(03)xxx(3) 存在. 要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC. 点 D 在直线1yx上 点 D 的坐标为 (1,2), 232xx解之得122,1xx(不合
13、题意，舍去 ) 当 P 点的坐标为 (2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形练习：1.已知抛物线 yx2mxm2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且AB5，试求 m 的值；（2）设 C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于 27，试求 m 的值.解: (1)（x1，0）,B(x2，0) . 则 x1，x2是方程 x2mxm20 的两根 . x1 x2m , x1 x2 =m2 0 即 m2 ; E B A C P O x y D E B A C P O x y D 精选学习资料 - - - - - - -
14、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习好资料欢迎下载又 ABx1 x2121245xxx x2（+ ）, m24m3=0 . 解得： m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . （2）M(a，b)，则 N(a，b) . M、N 是抛物线上的两点 , 222,2.amambamamb得： 2a22m40 . a2m2 . 当 m2 时，才存在满足条件中的两点M、N. 2am. 这时 M、N 到 y 轴的距离均为2m, 又点 C 坐标为（ 0，2m）,而 SM N C = 27 , 212 （2m）2m=27 . 解得 m=7 . 2.已知在平面直角坐
15、标系内，O 为坐标原点， A、B 是 x 轴正半轴上的两点，点A 在点 B 的左侧，如图二次函数cbxaxy2（a0 ）的图象经过点A、B，与 y 轴相交于点 C（1）a、c 的符号之间有何关系 ? （2）如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项，试证a、c 互为倒数；（3）在（ 2）的条件下，如果b4，34AB，求 a、c 的值解: （1）a、c 同号 或当 a0 时，c0；当 a0 时，c0（2）证明：设点 A 的坐标为（1x，0） ，点 B 的坐标为（2x，0） ，则210xx1xOA，2xOB，cOC据题意，1x、2x是方程)0(02acbxax的两个根acxx21由题
16、意，得2OCOBOA，即22ccac所以当线段 OC 长是线段 OA、OB 长的比例中项时， a、c 互为倒数N M C x y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习好资料欢迎下载（3）当4b时，由（ 2）知，0421aabxx，a0解法一： ABOBOA21221124)(xxxxxx，aaacacaAB32416)(4)4(2234AB， 3432a得21ac2.解法二：由求根公式，aaaacx322416424164，ax321，ax322aaaxxOAOBAB3232321234AB，3432a，得2
17、1ac2四、课堂小结：二次函数与几何的综合应用是广州历届中考的重点，所以必须认真地、深入地进行探究。五、作业布置：1 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 7 所示，那么下列判断不正确的是（）Aac0 Cb= -4aD关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=1,x2=5 2. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 3 所示，则下列结论正确的是（）Aa0，b0，b24ac0; Ba0，b0，b24ac0; Ca0，c0; Da0，c0，b24ac0; 3.已知抛物线2yaxbxc（a0）过 A（2，0） 、O（0，0） 、B（3，1y） 、C（3，2y）四点，则1y
18、与2y的大小关系是- 1 y x 5 x=2 2 O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习好资料欢迎下载A1y2yB1y2yC1y2y D不能确定4.已知二次函数2yaxbxc（a0 ）的图象如图所示，则下列结论： ac 0； a b +c 0； 当 x 0 时，y 0；方程20axbxc（a0 ）有两个大于 1 的实数根 其中错误的结论有（A） （B） （C） （D） 5.如图，二次函数2yxaxb的图象与 x轴交于1(,0)2A,(2,0)B两点，且与 y 轴交于点C. （1）求该抛物线的解析式，并判断ABC
19、的形状；（2）在 x轴上方的抛物线上有一点D ,且以 ACDB、 、四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以 ACBP、 、四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由. 解：根据题意，将A（12,0）,B（2,0）代入 y=-x2+ax+b 中，得110,42420.abab1O1xyx =1 ? ?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习好资料欢迎下载解这个方程，得3,21.ab全品中考网所以抛物线的解析式为y=-x2+32x+
20、1. 当 x=0 时，y=1.所以点 C 的坐标为（ 0，1） 。所以在 AOC 中，AC=22OAOC =52. 在BOC 中，BC=22OBOC=5. AB=OA+OB=15222. 因为 AC2+BC2=2125244AB. 所以ABC 是直角三角形。（2）点 D 的坐标是3,12. （3）存在。由（1）知， ACBC, 若以 BC 为底边，则 BCAP,如图（ 1）所示，可求得直线 BC 的解析式为112yx. 直线 AP 可以看作是由直线AC 平移得到的， 所以设直线 AP的解析式为12yxb，将 A（12,0）代入直线 AP 的解析式求得b=14,所以直线AP 的解析式为1124y
21、x. 因为点 P 既在抛物线上，又在直线AP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即 -x2+32x+1=1124x. 解得125122xx（不合题意，舍去） . 当 x=52时，y=32. 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习好资料欢迎下载所以点 P 的坐标为（52，32）. 若以 AC 为底边，则 BPAC，如图（ 2）所示，可求得直线 AC 的解析式为21yx. 直线 BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设直线 BP的解析式为2yxb，将 B （2,0）代入直线 BP 的解析式求得 b=-4,所以直线 BP 的解析式为 y=2x-4. 因为点 P 既在抛物线上，又在直线BP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即 -x2+32x+1=2x-4 解得125,22xx（不合题意，舍去） . 当 x=-52时，y=-9. 所以点 P 的坐标为（ -52，-9）. 综上所述，满足题目的点P 的坐标为（52，32）或（ -52，-9）图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
