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1、学习好资料欢迎下载2019 中考数学复习隐形圆问题大全一定点 +定长1. 依据:到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。2. 应用:(1)如图,四边形ABCD中, AB=AC=AD=2 ,BC=1,ABCD ,求 BD的长。简析:因AB=AC=AD=2 ,知 B、C、D 在以 A 为圆 2 为半径的圆上,由ABCD得 DE=BC=1 ,易求 BD=15。(2)如图,在矩形ABCD中, AB=4,AD=6,E 是 AB边的中点, F 是线段 BC边上的动点,将EBF沿 EF所在直线折叠得到EBF,连接 BD,则 BD的最小值是. 精选学习资料 - - - - - - - -
2、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页学习好资料欢迎下载简析: E 为定点, EB为定长, B点路径为以E为圆心 EB 为半径的圆,作穿心线DE得最小值为2 10。(3)ABC中,AB=4,AC=2,以 BC为边在 ABC外作正方形BCDE ,BD 、CE交于点 O,则线段AO的最大值为. 简析:先确定A、B 点的位置,因AC=2,所以 C点在以 A为圆心, 2 为半径的圆上;因点O是点 C以点 B 为中心顺时针旋转45 度并 1:2 缩小 而得,所以把圆A 旋转 45 度再 1:2缩小 即得 O点路径。如下图,转化为求定点A到定圆 F 的最长路径,即AF+FO=
3、32。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页学习好资料欢迎下载二定线 +定角1. 依据:与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦,定角为圆周角的弧。2. 应用:(1)矩形 ABCD中, AB=10,AD=4,点 P 是 CD上的动点,当APB=90 时求 DP的长 . 简析: AB为定线, APB为定角( 90), P 点路径为以AB为弦(直径)的弧,如下图,易得DP为 2 或 8。(2)如图, XOY = 45 ,等边三角形ABC的两个顶点A、B 分别在 OX 、OY上移动, AB = 2 ,那么 OC的最大值
4、为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页学习好资料欢迎下载简析: AB为定线, XOY为定角, O点路径为以AB为弦所含圆周角为45的弧,如下图, 转化为求定点C到定圆 M的最长路径, 即 CM+MO=3+1+2。(3)已知 A(2,0), B(4,0)是 x 轴上的两点,点C是 y 轴上的动点,当 ACB最大时,则点C的坐标为 _简析:作 ABC的处接圆M ,当 ACB最大时,圆心角AMB最大,当圆M半径最小时AMB最大,即当圆M与 y 轴相切时 ACB最大。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
5、归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页学习好资料欢迎下载如下图,易得C点坐标为( 0,22)或( 0,-22)。(4) 如图 , 在平面直角坐标系中, 抛物线 y=ax2-3ax-4a的图象经过点C(0, 2), 交轴于点A、 B, (A 点在点左侧 ), 顶点为 D. 求抛物线的解析式及点A、B 的坐标 ; 将 ABC沿直线 BC对折 , 点 A 的对称点为A, 试求 A 的坐标 ; 抛物线的对称轴上是否存在点P, 使 BPC= BAC ?若存在 , 求出点 P 的坐标; 若不存在 , 请说明理由 . 简析:定线BC对定角 BPC= BAC ,则 P 点在以 BC为弦的
6、双弧上(关于BC对称),如下图所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页学习好资料欢迎下载三三点定圆1. 依据:不在同一直线上的三点确定一个圆。2. 应用:ABC中, A 45, AD BC于 D,BD=4 ,CD=6 ,求 AD的长。简析:作 ABC的外接圆,如下图,易得AD=7+5=12。四四点共圆1. 依据:对角互补的四边形四个顶点共圆(或一边所对两个角相等)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页学习好资料欢迎下载2. 应用:如图,在
7、矩形ABCD 中, AB=6,AD=8,P、E 分别是线段AC 、BC上的点,四边形 PEFD为矩形,若AP=2,求 CF的长。简析:因 PEF=PDF= DCE=90 ,知D、F、C、E、P 共圆,如下图,由1=2、 4=5,易得 APD DCF ,CF:AP CD :AD ,得 CF1.5 。五 旋转生圆1. 如图,圆 O的半径为5,A、B 是圆上任意两点,且AB=6,以为 AB边作正方形 ABCD (点 D、P在直线两侧),若AB边绕点 P 旋转一周,则CD边扫过的面积为 _ 。简析: CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定,一是最远点距离为PC ,二是最近点距离为P 到直线 CD的垂线段
8、, 从而确定两个圆,CD即为两圆之间的圆环,如下图。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页学习好资料欢迎下载2. 如图,在 ABC中, BAC=90,AB=5cm ,AC=2cm ,将 ABC绕顶点 C按顺时针方向旋转至ABC 的位置,则线段AB扫过区域的面积为_。简析:扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45 度的扇环。六动圆综合1. 动圆 +定弦:依据直径是圆中最长的弦,知此弦为直径时,圆最小。如图 , ABC中, ABC 90, AB 6, BC 8, O为 AC的中点 , 过 O 作OE OF, OE 、 OF
9、分别交射线AB、BC于 E、 F, 则 EF的最小值为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页学习好资料欢迎下载简析:图中显然O、E、F、B 共圆,圆是动的,但弦BO 5,当 BO为直径时最小,所以EF最小为 5. 2. 动圆 +定线:相切时为临界值。如图 , RtABC中, C90, ABC 30, AB6, 点 D在 AB边上 , 点E 是 BC 边上一点 ( 不与点B、C 重合 ), 且 DA DE, 则 AD 的取值范围是。简析:因DA=DE ,可以 D点为圆心以DA为半径作圆,则圆D与 BC相切时,半径 D
10、E最小。 E 向 B点移动半径增大直至D 到 B 处(不含B 点),得2AD3 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页学习好资料欢迎下载3. 动弦 +定角:圆中动弦所对的角一定,则当圆的直径最小时此弦长最小。已知: ABC中, B=45, C=60, D、E 分别为 AB 、AC边上的一个动点,过 D 分别作DFAC于 F,DG BC于 G,过 E 作 EH AB于 H,EI BC于 I ,连 FG 、HI,求证: FG与 HI 的最小值相等。简析:可以看HI 何时最小,因B、H、E、I 共圆,且弦HI 所对圆周角一
11、定,所以当此圆直径最小时弦HI 最小,即当BE最小时,此时BEAC,解 OHI可得 HI 的最小长度。同样可求FG的最小长度。此题可归纳一般结论:当ABC= , ACB= , BC=m时, FG和 HI 的最小值均为 m*sin *sin 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页学习好资料欢迎下载达 标 测 试 :1.BCAC 6, BCA 90, BDC 45, AD 2,求 BD. 2. 如图,将线段 AB绕点 A逆时针旋转60得到线段AC ,继续旋转 (0 120)得到线段AD ,连接 CD ,BD,则 BDC
12、的度数为. 3. 如图,在边长为23 的等边 ABC中,动点D、E分别在 BC 、 AC边上,且保持 AE=CD ,连接 BE、AD ,相交于点P,则 CP的最小值为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页学习好资料欢迎下载4. 如图, E 是正方形ABCD的边 AB上的一点,过点E 作 DE的垂线交 ABC的外角平分线于点F,求证: FEDE. 5. 当你站在博物馆的展厅中时,你知道站在何观赏最理想吗?如图,设墙壁上的展品最高点P 距离地面2.5 米,最低点Q距地面 2 米,观察者的眼睛 E距地面 1.6 米,当视角 PEQ最大时,站在此处观赏最理想,则此时E到墙壁的距离为米. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页学习好资料欢迎下载6. 如图直线y=x+2 分别与 x 轴, y 轴交于点M 、N,边长为1 的正方形OABC的一个顶点O在坐标系原点,直线AN与 MC交于点 P,若正方形OABC 绕点O旋转一周,则点P到点( 0, 1 )长度的最小值是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页