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1、学习必备欢迎下载二次函数综合(动点与三角形)问题一、抛物线上的点能否构成等腰三角形1如图,已知直线y=3x3 分别交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点,抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点,点 C 是抛物线与 x 轴的另一个交点(与A 点不重合)(1)求抛物线的解析式;(2)求ABC 的面积;(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使ABM 为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点 M 的坐标二、抛物线上的点能否构成直角三角形2如图,直线 y=0.5x+2与 x 轴交于点 A,与抛物线 y=ax2+bx+c交于 y 轴上的一点 B,抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴只有唯
2、一的交点C,且 OC=2(1)求抛物线 y=ax2+bx+c的解析式;(2)设直线 y=0.5x+2 与抛物线 y=ax2+bx+c的另一交点为 D,已知 P 为 x 轴上的一个动点,且PBD 为直角三角形,求点P 的坐标三、抛物线上的点能否构成相似三角形3如图所示,直线l:y=3x+3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B把AOB 沿 y 轴翻折,点 A 落到点 C,抛物线过点 B、C 和 D(3,0) (1)求直线 BD 和抛物线的解析式(2)若 BD 与抛物线的对称轴交于点M,点 N 在坐标轴上,以点 N、B、D 为顶点的三角形与 MCD 相似,求所有满足条件的点N 的坐标(3)在
3、抛物线上是否存在点P,使 SPBD=6?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载二次函数综合(动点与三角形)问题一、抛物线上的点能否构成等腰三角形1解: (1)直线 y=3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,可得 A(1,0) ,B(0,3) ,把 A、B 两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得:,解得:抛物线解析式为: y=x2+2x3(2)令 y=0 得:0=x2+2x3,解得: x1=1,x2=3,则 C 点坐标为:(3,0) , AC=4,故可得
4、 SABC= AC OB= 4 3=6(3)抛物线的对称轴为: x=1,假设存在 M (1,m)满足题意:讨论: 当 MA=AB 时,解得:,M1( 1,) ,M2(1,) ; 当 MB=BA 时,解得 M3=0,M4=6,M3( 1,0) ,M4( 1,6), 当 MB=MA 时,解得 m=1,M5( 1, 1) ,答:共存在五个点M1(1,) ,M2(1,) ,M3(1,0) ,M4( 1,6) ,M5(1, 1)使 ABM 为等腰三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载二、抛物线上的点能否构成直
5、角三角形2解: (1)y=0.5x+2 交 x 轴于点 A,0=0.5x+2,x=4,与 y 轴交于点 B,x=0,y=2 B 点坐标为:(0,2) ,A(4,0) ,B(0,2) ,二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴只有唯一的交点C,且 OC=2 可设二次函数 y=a(x2)2,把 B(0,2)代入得: a=0.5 二次函数的解析式: y=0.5x22x+2;(2) ()当 B 为直角顶点时,过B 作 BP1AD 交 x 轴于 P1 点由 RtAOBRtBOP1=, =,得: OP1=1,P1(1,0) ,()作 P2DBD,连接 BP2,将 y=0.5x+2 与 y=0.5x2
6、2x+2 联立求出两函数交点坐标:D 点坐标为:(5,4.5) ,则 AD=,当 D 为直角顶点时DAP2=BAO,BOA=ADP2,ABOAP2D,=,=,解得: AP2=11.25,则 OP2=11.254=7.25,故 P2点坐标为( 7.25,0) ;()当 P 为直角顶点时,过点D 作 DEx 轴于点 E,设 P3(a,0)则由 RtOBP3RtEP3D 得:, ,方程无解,点 P3 不存在,点 P 的坐标为: P1(1,0)和 P2(7.25,0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载三、抛
7、物线上的点能否构成相似三角形3解: (1)直线 l:y=3x+3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,A(1,0) ,B(0,3) ;把AOB 沿 y 轴翻折,点 A 落到点 C,C(1,0) 设直线 BD 的解析式为: y=kx+b,点 B(0,3) ,D(3,0)在直线 BD 上,解得 k=1,b=3,直线 BD 的解析式为: y=x+3设抛物线的解析式为: y=a(x1) (x3) ,点 B(0,3)在抛物线上, 3=a (1) (3) ,解得: a=1,抛物线的解析式为: y=(x1) (x3)=x24x+3(2)抛物线的解析式为: y=x24x+3=(x2)21,抛物线的对称
8、轴为直线x=2,顶点坐标为( 2,1) 直线 BD:y=x+3 与抛物线的对称轴交于点M,令 x=2,得 y=1,M(2,1) 设对称轴与 x 轴交点为点 F,则 CF=FD=MN=1 ,MCD 为等腰直角三角形以点 N、B、D 为顶点的三角形与 MCD 相似,BND 为等腰直角三角形如答图 1 所示:(I)若 BD 为斜边,则易知此时直角顶点为原点O,N1(0,0) ;(II)若 BD 为直角边, B 为直角顶点,则点N 在 x 轴负半轴上,OB=OD=ON2=3,N2(3,0) ;(III )若 BD 为直角边, D 为直角顶点,则点N 在 y 轴负半轴上,OB=OD=ON3=3,N3(0
9、,3) 满足条件的点 N 坐标为: (0,0) , (3,0)或( 0,3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载(3)假设存在点 P,使 SPBD=6,设点 P坐标为( m,n) (I)当点 P 位于直线 BD 上方时,如图 2:过点 P 作 PEx 轴于点 E,则 PE=n,DE=m3SPBD=S 梯形 PEOBSBODSPDE= (3+n)?m 3 3 (m3)?n=6,化简得: m+n=7 ,P(m,n)在抛物线上,n=m24m+3,代入 式整理得: m23m4=0,解得: m1=4,m2=1,
10、n1=3,n2=8,P1(4,3) ,P2(1,8) ;(II)当点 P 位于直线 BD 下方时,如图 3:过点 P 作 PEy 轴于点 E,则 PE=m,OE=n,BE=3nSPBD=S 梯形 PEOD+SBODSPBE= (3+m)?(n)+ 3 3 (3n)?m=6,化简得: m+n=1 ,P(m,n)在抛物线上,n=m24m+3,代入 式整理得: m23m+4=0,=70,此方程无解故此时点P 不存在综上所述,在抛物线上存在点P,使 SPBD=6,点 P的坐标为( 4,3)或( 1,8) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页