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1、学习好资料欢迎下载2012中考数学压轴题函数直角三角形问题(二) 例 3 在平面直角坐标系xOy中，抛物线22153244mmyxxmm与 x 轴的交点分别为原点O和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA上，从点 O出发向点 A 运动，过点P作 x 轴的垂线，与直线OB交于点 E，延长 PE到点 D，使得 EDPE，以 PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形 PCD（当点 P 运动时，点C、D 也随之运动）当等腰直角三角形PCD的顶点 C落在此抛物线上时，求OP的长；若点 P 从点 O出发向点 A 作匀速运动， 速度为每秒1 个单位， 同时
2、线段 OA上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O作匀速运动，速度为每秒2 个单位（当点Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q作 x 轴的垂线， 与直线 AB 交于点 F，延长 QF到点 M，使得 FMQF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形QMN（当点 Q 运动时，点 M、N 也随之运动）若点P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“10 北京 24”，拖动点 P 从 O 向 A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线思路点拨精选学习资料 - - - - -
3、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习好资料欢迎下载1这个题目最大的障碍，莫过于无图了2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长3点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了满分解答(1) 因为抛物线22153244mmyxxmm经过原点，所以2320mm 解得12m，21m（舍去）因此21542yxx所以点 B 的坐标为（ 2，4）(2) 如图 4，设 OP的长为 t，那么 PE2t，EC
4、2t，点 C的坐标为 (3t, 2t)当点C落在抛物线上时，2152(3 )342ttt解得229tOP如图 1，当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时， 点 P、Q重合此时 3t10 解得103t如图 2，当两条直角边PC与 MN 在同一条直线上，PQN是等腰直角三角形，PQPE此时1032tt解得2t如图 3，当两条直角边DC与 QN在同一条直线上，PQC是等腰直角三角形，PQPD此时1034tt解得107t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习好资料欢迎下载图 1 图 2 图 3 考点伸展在本题情境下，如
5、果以PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆F 相切，求 t 的值如图 5，当 P、Q重合时，两圆内切，103t如图 6，当两圆外切时，30202t图 4 图 5 图 6 例 4 如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点M， 以 B 为中心逆时针旋转点N，使 M、N 两点重合成一点C， 构成 ABC，设xAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习好资料欢迎下载（1）求 x 的取值范围；（2）若 ABC为直角三角形，求x 的值；（3）探究： ABC的最大面积？
6、图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 嘉兴 24”，拖动点B 在 AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；CAB和 ACB可以成为直角，CBA不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当 AB 等于 1.5 时，面积达到最大值思路点拨1根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得 x 的取值范围2分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性3把 ABC的面积 S的问题，转化为S2的问题 AB 边上的高 CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部
7、两种情况满分解答（1） 在ABC中，1AC，xAB，xBC3，所以.31,31xxxx解得21x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习好资料欢迎下载（2）若 AC为斜边，则22)3(1xx，即0432xx，此方程无实根若 AB 为斜边，则1)3(22xx，解得35x，满足21x若 BC为斜边，则221)3(xx，解得34x，满足21x因此当35x或34x时， ABC是直角三角形（3）在ABC中，作ABCD于 D，设hCD，ABC的面积为 S，则xhS21如图 2，若点 D 在线段 AB 上，则xhxh222)3(1移
8、项，得2221)3(hxhx两边平方，得22222112)3(hhxxhx整理，得4312xhx两边平方，得16249)1(222xxhx整理，得16248222xxhx所以462412222xxhxS21)23(22x（423x）当23x时（满足423x），2S取最大值21，从而 S取最大值22图 2 图 3 如图 3，若点 D 在线段 MA 上，则xhhx2221)3(同理可得，462412222xxhxS21)23(22x（413x）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习好资料欢迎下载易知此时22S综合得， ABC的最大面积为22考点伸展第（ 3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设aAD，例如在图 2 中，由2222BDBCADAC列方程222)()3(1axxa整理，得xxa43所以21a22216248431xxxxx因此462)1(412222xxaxS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
