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1、1 幂 级 数 一般项为幂函数 的函数项级数称为幂级数, 这是一类最简单的函数项级数. 幂级数在级数理论中有着特殊的地位, 在函数逼近和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具. 返回返回返回返回 三、幂级数的运算一、幂级数的收敛区间二、幂级数的性质 一、幂级数的收敛区间幂级数的一般形式为幂级数的一般形式为为方便起方便起见, , 下面将重点下面将重点讨论, , 即即换成成的情形的情形. .因因为只要把只要把(2)中的中的就得到就得到(1).首先讨论幂级数首先讨论幂级数(2)的收敛性问题的收敛性问题. . 显然形如显然形如(2)的任的任 意一个意一个幂级数在
2、数在 处总是收是收敛的的. . 除此之外除此之外, , 它它 还在哪些点收敛还在哪些点收敛? ? 我们有下面重要的定理我们有下面重要的定理. . 定理定理14.1 14.1 ( (阿阿贝耳定理耳定理) ) 若若幂级数数(2)在在 则对满足不等式足不等式 的任何的任何, ,幂级数数 (2)收收敛而且而且绝对收收敛; ;若若幂级数数(2)在在 时发散散, , 式式 的任何的任何 , ,幂级数数(2)发散散. . 且有界且有界, , 即存在某正数即存在某正数 M, 使得使得则有则有由于由于级数数收收敛, , 故由故由优级数判数判别法知法知幂级数数 证 (2)当当时绝对收收敛. 下面下面证明定理的第二
3、部分明定理的第二部分. 设幂级数数(2)在在 时 发散散, 如果存在一个如果存在一个 , 满足不等式足不等式 , 且使且使 级数数收收敛, 则由定理得第一部分知由定理得第一部分知, 幂级数数 (2)应该在在时绝对收收敛, 与假与假设矛盾矛盾. 所以所以对一一 切切满足不等式足不等式幂级数数(2)都都发散散. 注注 由定理由定理14.1知道知道: : 幂级数幂级数(2)的收敛域是以原点的收敛域是以原点 为中心的区间！这是非常好的性质为中心的区间！这是非常好的性质. .若以若以2R表示区表示区 间的长度间的长度, , 则称则称R为幂级数的为幂级数的收敛半径收敛半径. . 事实上事实上, , 收收
4、敛半径就是使得幂级数敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的收敛的所有点的绝对值的 上确界上确界. . 所以有所以有(i) 当当时, 幂级数数(2)仅在在 处收收敛;(ii) (iii)对 一切一切满足不等式足不等式 的的, 幂级数数(2)都都发散散; 至至 于于, (2)可能收可能收敛也可能也可能发散散. 因此称因此称 为幂级数为幂级数(2)的的收敛区间收敛区间. . 怎样求得幂级数怎样求得幂级数(2)的收敛的收敛 半径和收敛区间呢半径和收敛区间呢? ? 定理定理14.2 对于幂级数对于幂级数(2), 若若则当则当证 根据根据级数的根式判数的根式判别法法, 当当时, 级数数 收收敛.
5、 当当时, 级数数发散散. 于是于是(i) 当当时, 由由得得幂级数数(2)收收敛半半 径径(ii) 所以所以(iii) 注注 由定理由定理14.2可知可知, 一个幂级数的收敛域等于它的一个幂级数的收敛域等于它的 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点. .在第十二章在第十二章2第二段曾第二段曾经指出指出: 若若 则则有有 因此也可用比式判因此也可用比式判别法来得出法来得出幂幂级数级数(2)(2)的收敛半径的收敛半径. . 究竟用比式法还是根式法究竟用比式法还是根式法, ,可可以参考第十二章的相关说明以参考第十二章的相关说明. . 例例1 所以其收所以
6、其收敛半径半径, 即收即收敛区区间为 ; 而当而当 所所以以级数数 于是于是级数数的收的收敛域域为因此因此幂级数数(4)的收的收敛区区间是是. 但但级数数 (4) 当当 时发散散, 时收收敛, 从而得到从而得到级数数(4)的收的收 敛域是半开区域是半开区间. 照此方法照此方法, 容易容易验证级数数的收的收敛半径分半径分别为与与.例例2 设有级数设有级数由于由于例例3 求求幂级数数的收的收敛半径和收半径和收敛域域.解解 (i)先求收敛半径先求收敛半径. .方法方法1 设, 幂级数数的收的收敛半径半径为从而从而时原原级数收数收敛, 原原级数数发 散散, 所以所以的收的收敛半径半径为下面讨论幂级数下
7、面讨论幂级数(2)的一致收敛性问题的一致收敛性问题. .定理定理14. 3 若若幂级数数(2)的收的收敛半径半径为, 则在它在它 的收的收敛区区间内任一内任一闭区区间上上, 级数级数(2)都一致收敛都一致收敛. .证 任一点任一点x, 都有都有由于由于级数数(2)在点在点绝对收收敛, 由由优级数判数判别法得法得级 数数(2)在在上一致收上一致收敛. 定理定理14. 4 若若幂级数数 (2) 的收的收敛半径半径为, 且在且在 (或或)时收收敛, 则级数数(2)在在(或或 )上一致收上一致收敛.证 设级数数(2)在在时收收敛, 对于于有有递减且一致有界递减且一致有界, , 即即故由函数故由函数项级
8、数的数的阿阿贝耳判耳判别法法, 级数数(2)在在上一致收敛上一致收敛. .对于一般幂级数对于一般幂级数(1)的收敛性问题的收敛性问题, , 可仿照上述的办可仿照上述的办 法来确定它的收敛区间和收敛半径法来确定它的收敛区间和收敛半径. . 请看例子请看例子. . 例例4 级数级数由于由于 所以所以级数数(6)的收的收敛半径半径, 从而从而级数数(6)的收的收敛 区区间为即即当当 x = 3 时时, , 级数级数(6)为发散级数为发散级数于是于是级数数(6)的收的收敛域域为 当当时, 级数数(6)为 收敛级数收敛级数 二、幂级数的性质根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数根据一致收敛函数项级
9、数的性质即可以得到幂级数 的一系列性质的一系列性质. . 由定理由定理14.4、14.5和和13.12立刻可得立刻可得 定理定理14.5 (i) 幂级数数(2)的和函数是的和函数是内的内的连续 函数函数; ; (ii)若幂级数若幂级数(2)在收敛区间的左在收敛区间的左(右右)端点上收端点上收 敛敛, , 则其和函数也在这一端点上右则其和函数也在这一端点上右( (左左) )连续连续. .在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前, , 先来确先来确 定定幂级数数(2)在收在收敛区区间内逐内逐项求求导与逐与逐项 求积后得到的幂级数求积后得到的幂级数与与的收敛区间的收敛
10、区间. .定理定理14.6 幂级数幂级数(2)与幂级数与幂级数(7)、(8)具有相同的收具有相同的收 敛区间敛区间. .证证 这里只要证明这里只要证明(2)与与(7)具有相同的收敛区间就具有相同的收敛区间就可可以了以了, , 因为对因为对(8)逐项求导就得到逐项求导就得到(2).首先首先证明明幂级数数(7)在在幂级数数(2)收收敛区区间中中 每一点都收敛每一点都收敛. . 设, 由阿由阿贝耳定理耳定理(定理定理14.1)的的 证明知道证明知道, , 存在正数存在正数M与与 r(r 1), 对一切正整数对一切正整数 n, 都有都有 于是于是 由由级数的比数的比 较原原则及上述不等式及上述不等式,
11、 就推出就推出幂级数数(7)在点在点绝对 收收敛(当然也是收当然也是收敛的的!). 由于由于为中任一点中任一点, 这就就证明了明了幂级数数(7)在在上收上收敛.其次其次证明明幂级数数(7)对一切一切满足不等式足不等式的的x都都 不收敛不收敛. . 如若不然如若不然, 幂级数数(7)在点在点收收敛, 则存在存在 幂级数数(7)在在 根据比根据比较原原则得得幂级数数(2)在在处绝对收收敛. 这与与所所设幂级数数(2)的收的收敛区区间为相矛盾相矛盾. 于是于是幂幂级数数(7)的收的收敛区区间也是也是定理定理14. 7 设幂级数数(2)在收在收敛区区间上的和函上的和函 数数为 f, 若若 x 为内任意
12、一点内任意一点, 则(i) f 在在 x 可导可导, , 且且(ii) f在区在区间上可上可积, 且且证证 由定理由定理14.7, , 级数级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半具有相同的收敛半 使得使得|x| r R, 根据定理根据定理14.4, 级数级数(2), (7)在在-r, r上上 一致收敛一致收敛. .再由第十三章再由第十三章2的的逐项求导与逐项求积逐项求导与逐项求积 定理定理, , 就得到所要证明的结论就得到所要证明的结论(i)与与(ii).注注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积可以逐项求导和逐项求积
13、. (并没有要求在其收敛区并没有要求在其收敛区 间上一致收敛间上一致收敛!)径径R. 因此因此, ,对任意一个对任意一个 , 总存在正数总存在正数 r, 推推论1 设 f 为幂级数数(2) 在收在收敛区区间上的和函数上的和函数, 则在在上上 f 具有任意具有任意阶导数数, 且且 可任意次逐项求导可任意次逐项求导, 即即推推论2 设 f 为幂级数数(2)在在某某邻域内的和函数域内的和函数, 则级数数(2)的系数的系数与与f在在处的各的各 阶导数有如下关系阶导数有如下关系:注注 推推论2还表明表明, 若若级数数(2)在在上有和函数上有和函数 f ,则级数数(2)由由 f 在在处的各的各阶导数所惟一
14、确定数所惟一确定. 这是一个非常重要的结论这是一个非常重要的结论, 在后面讨论幂级数展开在后面讨论幂级数展开 时要用到时要用到. 例例5 几何级数在收敛域几何级数在收敛域内有内有对级数对级数(10)在在内逐项求导得内逐项求导得将级数将级数(10)在在上逐项求积得到上逐项求积得到所以所以上式对上式对 也成立也成立(参见本节习题参见本节习题3). 于是有于是有从这个例子可以看到从这个例子可以看到: 由已知级数由已知级数(10)的和函数的和函数, 通通 过逐项求导或逐项求积可间接地求得级数过逐项求导或逐项求积可间接地求得级数(11)、(12) 或或(13)的和函数的和函数.例例6 求幂级数求幂级数的和函数的和函数.解解 首先求出收首先求出收敛域域. 因因为, 且且级数数与与都发散都发散, 所以收敛域为所以收敛域为. 采用逐项求积法来求和函数采用逐项求积法来求和函数. 设设对对进行逐项积分进行逐项积分, 得得对对逐项积分逐项积分, 得得所以所以
