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1、 2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 图图2.6-1 2.6-1 单盘转子示意图单盘转子示意图 图图2.6-2 2.6-2 圆盘的瞬时位置及力圆盘的瞬时位置及力 设有一转子如图设有一转子如图2.6-12.6-1所示，其中所示，其中Oxyz是固定坐标系，无质量的弹是固定坐标系，无质量的弹性轴的弯曲刚度为性轴的弯曲刚度为EJ ，在跨中安装有质量为，在跨中安装有质量为m的刚性薄盘。的刚性薄盘。 由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为e e 。当。当转子以等角速度转子以等角速度自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，
2、产生自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生动挠度，并随之带动圆盘公转。动挠度，并随之带动圆盘公转。由材料力学可知，对于图由材料力学可知，对于图2.6-32.6-3所示的模型所示的模型图图2.6-32.6-3 2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 （2-1）（2-2）设圆盘在瞬时设圆盘在瞬时t 的状态如图的状态如图2.6-2所示，这时弹性轴因有动挠度所示，这时弹性轴因有动挠度 而对圆盘的作用力为而对圆盘的作用力为 ，它在坐标轴上的投影分别为，它在坐标轴上的投影分别为 根据质心运动定理，可得根据质心运动定理，可得 由图由图2.6-42.6-4的几何关系知的几何关系知 对
3、上式求两次导数，可得对上式求两次导数，可得 设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为 图图2.6-42.6-4 2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 （2-3）（2-4）（2-5）（2-6）把（把（2-62-6）代入（）代入（2-42-4），得到转子模型的运动微分方程），得到转子模型的运动微分方程 可改写为可改写为 式中式中 （2-82-8）把把（2-82-8）式式与与有有阻阻尼尼单单自自由由度度系系统统的的受受迫迫振振动动运运动动方方程程作作一一比比较较，显显然然两者在数学形式上是完全相同的。两者在数学形式上是
4、完全相同的。 2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 （2-7）把（把（2-92-9）代入（）代入（2-82-8）中，得到）中，得到 由此可见，由此可见， O点绕固定坐标系的点绕固定坐标系的Oz 轴在作圆周运动。轴在作圆周运动。因此引用其求稳态解的方法，设因此引用其求稳态解的方法，设 2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 （2-9）（2-10） 可见圆周运动的半径就是轴的动挠度可见圆周运动的半径就是轴的动挠度r ，角速度等于轴，角速度等于轴的自转角速度的自转角速度 ，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相位差位差 。即有
5、。即有 （2-122-12）对照几何关系对照几何关系 2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 （2-11）根据（根据（2-102-10）式可绘出在不同）式可绘出在不同 值时，值时，r和和 随随值变化的曲线，分值变化的曲线，分别如图别如图2.6-52.6-5与图与图2.6-62.6-6所示。所示。图图2.6-52.6-5 转子动挠度的幅值转子动挠度的幅值-转速曲线转速曲线(左左)图图2.6-62.6-6 转子动挠度的相位转子动挠度的相位-转速曲线转速曲线(右右) 2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 由由于于的的存存在在，在在一一般般情情况况下下，O 、
6、O和和 C三三点点并并不不在在一一条条直直线线上上，而而总总是是成成一一个个三三角角形形 OOC ，而而且且OOC 的的形形状状在在转转子以等角速度子以等角速度 旋转过程中保持不变。旋转过程中保持不变。 当当n时时，这这三三点点又又近近似似在在一一直直线线上上，但但点点C 位位于于 O和和 O之之间间，即即所所谓谓圆圆盘盘的的轻轻边边飞飞出出，这这种种现现象象称称为为自自动动定定心心，也也叫叫偏心转向偏心转向。 只只有有当当 n时时，0 ，这这三三点点才才近近似似在在一一直直线线上上， O 点点位位于于 O和和 C之间，即所谓圆盘的重边飞出。之间，即所谓圆盘的重边飞出。 2.62.6 转子系统
7、临界转速的概念转子系统临界转速的概念 根根据据国国际际标标准准，临临界界转转速速定定义义为为：系系统统共共振振时时发发生生主主响响应应的的特特征征转转速，在这里就是使动挠度速，在这里就是使动挠度 取得极值的转速，取得极值的转速，r于是可利用条件于是可利用条件（2-132-13）来确定临界转速，并以来确定临界转速，并以Cr 表示。由表示。由（2-132-13）式得式得由此解得由此解得 （2-142-14） 2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图2.6-72.6
8、-7中也可以看出，各曲线的峰值都偏在中也可以看出，各曲线的峰值都偏在= n 线的右边，这一点线的右边，这一点应特别注意。应特别注意。 图图2.6-72.6-7 转子动挠度的幅值转子动挠度的幅值-转速曲线转速曲线 2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 实实际际转转子子系系统统总总存存在在一一定定阻阻尼尼，动动挠挠度度不不会会无无限限大大，但但比比一一般般转转速速下下的的动动挠挠度度大大得得多多，足足以以造造成成转转子子破破坏坏，因因此此，工工程程上上要要严严格格避避免免转转子子在在临临界界转转速速附附近近工工作作。可可见见，正正确确的的临临界界转转速速分分析析计计算算，在转
9、子设计和处理实际问题中都很重要。在转子设计和处理实际问题中都很重要。 对于小阻尼对于小阻尼情况情况 : :（2-152-15） 对对于于无无阻阻尼尼的的理理想想情情况况，即即=0 ，在在临临界界转转速速时时，动动挠挠度度r 将将达达到到无无限限大大。而而相相位位角角在在临临界界转转速速之之前前为为零零，之之后后为为 ，即即在在临临界界转速前后有相位突变，转速前后有相位突变， O 、 O和和 C三点始终在一条直线上。三点始终在一条直线上。 2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 为为了了形形象象地地表表示示自自动动定定心心（偏偏心心转转向向）及及在在临临界界转转速速时时的的相
10、相位位差差 ，把，把 O、O及及 C三点在不同转速时的相对位置表示在图三点在不同转速时的相对位置表示在图2.6-8上。上。 图图2.6-8 2.6-8 在不同转速时的偏心位置在不同转速时的偏心位置 2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 2.72.72.72.7单位单位单位单位脉冲激励和单位阶跃激励脉冲激励和单位阶跃激励1.建模 2.单位脉冲函数 脉冲 定义： 性质：单位脉冲响应函数 ft0t12.7 2.7 2.7 2.7 单位单位单位单位脉冲激励和单位阶跃激励脉冲激励和单位阶跃激励 脉冲作用期间 脉冲作用结束 脉冲作用以后damped free vibration 由初
11、始条件可求得：将上式两边在区间将上式两边在区间 对时间积分，即对时间积分，即由动量定理有：由动量定理有： 得到：得到：于是：于是：可见在单位脉冲力的作用下。系统的速度发生了突变，但可见在单位脉冲力的作用下。系统的速度发生了突变，但在这一瞬间位移则来不及有改变。所以在这一瞬间位移则来不及有改变。所以 时，有时，有 脉冲作用以后damped free vibration 由初始条件可求得：2.7 2.7 2.7 2.7 单位单位单位单位脉冲激励和单位阶跃激励脉冲激励和单位阶跃激励脉冲响应函数：2.7 2.7 2.7 2.7 单位单位单位单位脉冲激励和单位阶跃激励脉冲激励和单位阶跃激励阶跃激励激励(
12、单位脉冲响应函数延拓） 1.建模 2 .单位阶跃函数 定义： 3.单位阶跃响应函数 时 无阻尼 Ut01m m将激励看成是连续作用的一系将激励看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。荷载引起的位移。2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励下的响应任意激励下的响应任意激励下的响应任意激励下的响应一一. .瞬时冲量的反应瞬时冲量的反应1.1.t=0 时作用瞬时冲量时作用瞬时冲量m m2.2. 时刻作用瞬时冲量时刻作用瞬时冲量2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励下的响应任意激励下的响应任意激励下的
13、响应任意激励下的响应二、无阻尼的位移响应二、无阻尼的位移响应m m-杜哈美积分杜哈美积分三、有阻尼情况三、有阻尼情况若若t=0 时体系有初位移、初速度时体系有初位移、初速度例例. .求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。m m解：解：动力放大系数为动力放大系数为 2 2哈工大高等结构动力学第四次哈工大高等结构动力学第四次2.9 2.9 2.9 2.9 响应普响应普响应普响应普系统响应响应普：表示某一响应量与激励函数的某一常数之间关系的曲线，称为响应普。1），得峰值时间 峰值 2），得 2.9 2.9 2.9 2.9 响应普响应普响应普响应普
14、最大响应值与脉冲宽度之间的关系-无量纲化变成动力放大系数与无量纲时间的关系它表示特定周期的结构对不同持续时间的矩形脉冲的最大响应。作业2-49 2-60 2.10 频域分析法 1.复矢量表示简谐振动 哈工大高等结构动力学第四次哈工大高等结构动力学第四次设正弦激振力： 其稳态响应： 写成复数 和 的虚部写成指数形式其中 2.频响函数 有阻尼弹簧质量系统受简谐激励写成：设系统的稳态响应为 代入 哈工大高等结构动力学第四次哈工大高等结构动力学第四次设频响函数： 频响函数的物理意义：它表示单位正弦力引起的复响应，因此输入为力、输出为位移时的频响函数 又称为动柔度，也称为机械导纳.为机械阻抗，也称之为刚
15、度。哈工大高等结构动力学第四次哈工大高等结构动力学第四次整理频响函数的模 为动力放大系数 为频率比 简谐振动的复指数描述简谐振动的复指数描述 有有阻阻尼尼系系统统的的简简谐谐激激振振力力和和在在激激振振力力作作用用下下的的响响应应的的复复指指数数描描述述，可以通过在复平面上的几何图形来说明，将式两边对求导得可以通过在复平面上的几何图形来说明，将式两边对求导得所以振动速度超前位移所以振动速度超前位移 /2/2相角，加速度超前位移相角，加速度超前位移相角，并且分相角，并且分别放大别放大和和2 2的因子。的因子。 我们知道我们知道,周期激励Fourier展开式写成复指数形式：整理得：代入哈工大高等结
16、构动力学第四次哈工大高等结构动力学第四次非周期振动与Fourier积分非周期振动用Fourier积分作谐波分析 先在区间（-T/2,T/2）上截出一段非周期振动，即令非周期振动可以看成时 的极限即T哈工大高等结构动力学第四次哈工大高等结构动力学第四次将 按周期性要求开拓到区间 ， 其中 ，而设其中哈工大高等结构动力学第四次哈工大高等结构动力学第四次当 时， 为连续变量比， 为 式的物理意义： 每单位带宽（以赫兹计）长度上的频谱密度，其简称为 的频谱。称为Fourier变换.哈工大高等结构动力学第四次哈工大高等结构动力学第四次2.10 阻尼与幅频曲线之间的关系 在共振区附近，阻尼对振幅影响大，阻
17、尼越小，振幅越大，曲线的峰形越尖锐，反之阻尼越大，振幅越小，曲线峰形越平衡。当共振时，可得到 在小阻尼的情况下，忽略高次项有：联立方程：， ， 为半功率点，为半功率点的带宽。几点结论与讨论 单自由度的固有频率平方等于单自由度的固有频率平方等于k/mk/m。阻尼比可由试验测得阻尼比可由试验测得，一般结构阻尼比小于，一般结构阻尼比小于0.050.05。由于阻尼的存在，自由振动若。由于阻尼的存在，自由振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将从瞬态转为稳态。干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将从瞬态转为稳态。 对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振区可对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振区
18、可忽略阻尼影响。忽略阻尼影响。 不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，且具不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，且具有相同的动力特征（有相同的动力特征（m m、k k、 ），），在相同初始条件和荷载下，在相同初始条件和荷载下，结构具有相同的动力反应。结构具有相同的动力反应。 动力系数取决于动力系数取决于 、频率比，当荷载作用在质量上时，、频率比，当荷载作用在质量上时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。对于线性体系，利用叠加原理可用对于线性体系，利用叠加原理可用DuhamelDuhamel积分来求任意荷积分来求任意荷载下的反应，这种基
19、于脉冲响应函数的分析方法称为时域分载下的反应，这种基于脉冲响应函数的分析方法称为时域分析法。析法。突加荷载的最大位移反应接近或等于突加荷载的最大位移反应接近或等于2 2倍静位移。倍静位移。周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应叠加得到。周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应叠加得到。 非线性问题叠加原理不适用，非线性问题叠加原理不适用，DuhamelDuhamel积分不能用，要进行积分不能用，要进行时程分析来求数值解。时程分析来求数值解。 利用三角函数和指数函数的关系，将荷载利用三角函数和指数函数的关系，将荷载FourierFourier级数化级数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，则运动方为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响应函数叠加得到。程的解答和时域分析法相对应，可由频率响应函数叠加得到。这种方法称频域法。这种方法称频域法。 几点结论与讨论作业
