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1、学习好资料欢迎下载1 2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析( 三 ) 例 5 如图 1,抛物线经过点A(4,0) 、B(1,0)、C(0, 2)三点(1)求此抛物线的解析式;(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得DCA的面积最大,求出点D的坐标,图 1 解析( 1)因为抛物线与x 轴交于A(4 , 0) 、B( 1, 0) 两点,设抛物线的解析式为)4)(1(xxay,代入点C的 坐标( 0, 2) ,解
2、得21a所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy(2)设点P的坐标为)4)(1(21,(xxx如图 2,当点P在x轴上方时, 1x4,)4)(1(21xxPM,xAM4如果2COAOPMAM,那么24) 4)(1(21xxx解得5x不合题意如果21COAOPMAM,那么214)4)(1(21xxx解得2x此时点P的坐标为( 2,1) 如图 3,当点P在点A的右侧时,x4,)4)(1(21xxPM,4xAM解方程24)4)(1(21xxx,得5x此时点P的坐标为)2, 5(解方程214)4)(1(21xxx,得2x不合题意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
3、纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习好资料欢迎下载2 如图 4,当点P在点B的左侧时,x1,)4)(1(21xxPM,xAM4解方程24)4)(1(21xxx,得3x此时点P的坐标为)14,3(解方程214)4)(1(21xxx,得0x此时点P与点O重合,不合题意综上所述,符合条件的点 P的坐标为( 2,1)或)14, 3(或)2,5(图 2 图 3 图 4 (3)如图 5,过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为221xy设点D的横坐标为m)41(m,那么点D的坐标为)22521,(2mmm,点 E的坐标为)221,(mm所以)221()22521(2mmmDE
4、mm2212因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m当2m时,DCA的面积最大,此时点D的坐标为( 2,1) 图 5 图 6 考点伸展第( 3)题也可以这样解:如图 6,过D点构造矩形OAMN,那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页学习好资料欢迎下载3 设点D的横坐标为(m,n))41 (m,那么42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS由于225212mmn,所以mmS42例 6 如图 1,ABC中,AB5,AC3,cosA31
5、0D为射线BA上的点(点D不与点B重合) ,作DE/BC交射线CA于点E. (1) 若CEx,BDy,求y与x的函数关系式,并写出函数的定义域;(2) 当分别以线段BD,CE为直径的两圆相切时,求DE的长度;(3) 当点D在 AB边上时,BC边上是否存在点F,使ABC与DEF相似?若存在, 请求出线段BF的长;若不存在,请说明理由图 1 备用图备用图解析(1)如图 2,作BHAC,垂足为点H在 RtABH中,AB5,cosA310AHAB,所以AH3212AC所以BH垂直平分AC,ABC 为等腰三角形,ABCB5因为DE/BC,所以ABACDBEC,即53yx于是得到53yx, (0x) (2
6、)如图 3,图 4,因为DE/BC,所以DEAEBCAC,MNANBCAC,即| 3|53DEx,1|3|253xMN因此5|3|3xDE,圆心距5|6|6xMN图 2 图 3 图 4 在M中,115226MrBDyx,在N中,1122NrCEx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页学习好资料欢迎下载4 当两圆外切时,5162xx5|6|6x解得3013x或者10x如图 5,符合题意的解为3013x,此时5(3)15313xDE当两圆内切时,5162xx5|6|6x当 x6 时,解得307x,如图 6,此时E在CA的延长
7、线上,5(3)1537xDE;当 x6 时,解得10x,如图 7,此时E在CA的延长线上,5(3)3533xDE图 5 图 6 图 7 (3)因为ABC是等腰三角形, 因此当ABC与DEF相似时, DEF也是等腰三角形如图 8,当D、E、F为ABC的三边的中点时,DE为等腰三角形DEF的腰,符合题意,此时BF2.5 根据对称性,当F在BC边上的高的垂足时,也符合题意,此时BF4.1 如图 9, 当DE为等腰三角形DEF的底边时,四边形DECF是平行四边形, 此时12534BF图 8 图 9 图 10 图 11 考点伸展第(3)题的情景是一道典型题,如图10,如图 11,AH是ABC的高,D、E
8、、F为ABC的三边的中点,那么四边形DEHF是等腰梯形例 7 如图 1,在直角坐标系xOy中,设点A(0,t) ,点 Q (t,b) 平移二次函数2txy的图象, 得到的抛物线F满足两个条件: 顶点为Q; 与x轴相交于B、C两点 (OBOC) ,连结A,B(1)是否存在这样的抛物线F,使得OCOBOA2?请你作出判断,并说明理由;(2)如果AQBC,且 tan ABO23,求抛物线F对应的二次函数的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页学习好资料欢迎下载5 图 1 解析(1)因为平移2txy的图象得到的抛物线F的顶
9、点为Q( t ,b) ,所以抛物线F对应的解析式为btxty2)(因为抛物线与x 轴有两个交点,因此0bt令0y,得tOBtb,tOCtb所 以tOCOB(|tb)( ttb)|2|t22|OAttb 即22bttt所以当32tb时,存在抛物线F使得|2OCOBOA( 2 ) 因 为AQ/BC, 所 以tb, 于 是 抛 物 线F为ttxty2)( 解 得1, 121txtx当0t时,由|OCOB,得)0, 1(tB如图 2,当01t时,由ABOtan23|OBOA1tt,解得3t此时二次函数的解析式为241832xxy如图3,当01t时,由ABOtan23|OBOA1tt,解得t53此时二次
10、函数的解析式为y532x2518x12548精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页学习好资料欢迎下载6 图 2 图 3 如图 4,如图 5,当0t时,由|OCOB,将t代t, 可得t53,3t此时二次函数的解析式为y532x2518x12548或241832xxy图 4 图 5 考点伸展第( 2)题还可以这样分类讨论:因为AQ/BC, 所以tb, 于是抛物线F为2()yt xtt 由3t a n2OAABOOB,得23OBOA把2(,0)3Bt代入2()yt xtt,得3t(如图 2,图 5) 把2(,0)3Bt代入2()yt xtt,得35t(如图 3,图 4) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页