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1、优秀学习资料欢迎下载数学教材习题变式训练（数列）一、有关通项问题1、利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项 （北师大版第20 页习题 5）数列na的前n项和21nSn （1）试写出数列的前5 项； （2）数列na是等差数列吗？（3）你能写出数列na的通项公式吗？变式题 1、设数列na的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列na的通项公式；解： （1） ：当; 2,111San时,24)1(22,2221nnnSSannnn时当故an 的通项公式为4,2,241daanann公差是即的等差数列 . 变式题 2、数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求
2、a2，a3，a4的值及数列 an的通项公式解： （I）由 a1=1，113nnaS，n=1，2， 3，得211111333aSa，3212114()339aSaa，431231116()3327aSaaa，由1111()33nnnnnaaSSa（n2） ，得143nnaa（n2） ，又 a2=31，所以 an=21 4()3 3n(n2), 数列 an 的通项公式为2111 4( )23 3nnnan变式题 3、已知数列na的首项15,a前n项和为nS，且*15()nnSSnnN，证明数列1na是等比数列解： 由已知*15()nnSSnnN可得12,24nnnSSn两式相减得1121nnnnS
3、SSS即121nnaa从而1121nnaa当1n时21215SS所以21126aaa又15a所以211a从而21121aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载故总有112(1)nnaa，*nN又115,10aa从而1121nnaa即数列1na是等比数列；2、解方程求通项： （北师大版第17 页习题 3）在等差 数列na中， （1）已知812148,168,SSad求和； （2）已知658810,5,aSaS求和；(3)已知3151740,aaS求. 变式题 1、na是首项11a，公差3d的等差数列，
4、如果2005na，则序号n等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 分析： 本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出. 解：1(1)13(1)2005naandn，解得669n，选 C 点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题. 3、待定系数求通项：写出下列数列na的前 5 项： （1）111,41(1).2nnaaan变式题 1、已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式；解：*121(),nnaanN112(1),nnaa1na是以112a为首项， 2 为公
5、比的等比数列12 .nna即*21().nnanN4、由前几项猜想通项：（北师大版第8 页习题 1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式. 变式题1、如下图，第（ 1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，如此类推. 设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为na，（1）（4）（7）（）（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载则6a；345991111aaaa . 解：由图可得：22(1)nann nnn，所以642a
6、；又211111(1 )1nannn nnn所以345991111aaaa=1111111197()()()3445991003100300变式题 2、 （北师大版第9 页习题 2）观察下列各图， 并阅读下面的文字，像这样， 10 条直线相交，交点的个数最多是（） ，其通项公式为. A40 个B45 个C50 个D55 个解： 由题意可得：设na为n条直线的交点个数，则21a，1(1),(3)nnaann，因为11nnaan，由累加法可求得：(1)12(1)2nn nan，所以10109452a，选 B. 二、有关等差、等比数列性质问题1、 （北师大版第31 页习题 3）一个等比数列前n项的和
7、为48，前 2n项的和为60，则前 3n项的和为（）A83 B108 C 75 D63 变 式 题1、 一 个 等 差 数 列 前n项 的 和 为 48 ， 前2n项 的 和 为60 ， 则 前3n项 的 和为。解： 若数列na为等差数列，则232,nnnnnSSSSS等差数列，可得：48，12，3nS-60成等差数列，所以3nS=36. 变式题 2、2条 直 线 相交，最多有1个交点3条 直 线 相交，最多有3个交点4条 直 线 相交，最多有6个交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载等比数列na
8、的各项为正数，且564718,a aa a3132310logloglogaaa则（）A12 B10 C8 D2+3log 5解： 因为564718,a aa a所以56471101102189a aa aa aa a，而3132loglogaa5310312103110loglog ()log ()10aa aaa a，所以选 B. 点评：高考试题的一个重要特点就是考查学生对问题敏锐的观察能力和迅速有效的思维能力，灵活运用数学知识和性质可提高我们的正确解题的速度. 因此， 对相关知识的性质要深刻地理解和掌握并能灵活运用.2、 （北师大版第19 页习题4）设数列na是单调递增的等差数列，前三项
9、的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（）A1 B.2 C.4 D.8 变式题 1、在各项都为正数的等比数列na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa（）（ A） 33 （ B）72（C）84（D）189 分析： 本题主要是考查等比数列的基本概念和性质，可利用方程思想将等比数列问题转化为1a和q处理，也可利用等比数列的定义进行求解. 解法一 ：设公比为q，由题知，12111321aaa qa q得2q或30q（舍去 ) ，34584aaa，故选 C. 解法二 ：由11233,21aaaa得，2q(30q舍去 ) ，2345123()84aaaqaaa.三、数列求和问题1、 （北师
10、大版第20 页习题 4）已知na是等差数列， 其中131a，公差8d。（1） 求数列na的通项公式， 并作出它的图像； （2）数列na从哪一项开始小于0？（ 3）求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值变式题 1、已知na是各项不为零的等差数列，其中10a，公差0d，若100S,求数列na前n项和的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载解：110105610()5()02aaSaa，所以560,0aa，即数列na前 5 项和为最大值变式题 2、在等差数列na中，125a，179SS，求nS的
11、最大值解法一 ：由179SS，得：17925 17(17 1)25 9(91)22dd，解得2d225(1)( 2)(13)1692nnSnnn由二次函数的性质，当13n时，nS有最大值169解法二： 先求出2d，1250a，由1113252(1)0225201122nnnanann，所以当13n时，nS有最大值169解法三： 由179SS，得1011170aaa，而101711161215aaaaaa1314aa，故1 314aa 01131420,0,0,0,daaa故当13n时，nS有最大值 169点评：解决等差数列前n项和最值问题的方法通常有：、利用二次函数求最值；、利用通项公式na求
12、n使得10nnaa；利用性质求出符号改变项2、求和：21123nnSxxnx变式题 1、已知数列42nan和124nnb，设nnnbac，求数列nc的前n项和nT解：1142(21)424nnnnnancnb，1211223113 45 4(21)4,41 43 454(23)4(21)4nnnnnnTcccnTnn两式相减得.54)56(9154)56(314)12()4444(2131321nnnnnnnTnnT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载变式题 2、设na是等差数列，nb是各项都为正数
13、的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（）求na，nb的通项公式； （）求数列nnab的前 n 项和nS解： （）设na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q且4212211413dqdq，解得2d，2q所以1(1)21nandn，112nnnbq（）1212nnnanb122135232112222nnnnnS，3252321223222nnnnnS，得22122221222222nnnnS，221111212212222nnn1111212221212nnn12362nn点评：错位相减法适用于通项公式形容nnba的数列，其中na是等差数列，nb是各项不为 0 的等比数列变
14、式题 2设等比数列na的公比为q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q 的值为. 分析： 本题主要考查等比数列的求和公式，等差数列的概念运用，可直接求得. 解：1(1)1nnaqSq，122nnnSSS，则有12111(1)(1)(1)2111nnnaqaqaqqqq，220qq，2q.，若1q，则1222(1)(2)23nnnSnSSnnn。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载3、利用等比数列的前n项和公式证明111221= (,0,0)nnnnnnnabaababa
15、bbnNabab变式题 、已知)0,0,(1221baNnbabbabaaunnnnnn.当ba时，求数列nu的前 n 项和nS解： （）当ba时，nnanu)1(这时数列nu的前n项和nnnannaaaaS)1(432132式两边同乘以a，得1432)1(432nnnannaaaaaS式减去式，得132)1(2)1(nnnanaaaaSa若1a，aanaaaSannn1)1(1)1()1 (，221212)1(2)2()1(1) 1()1()1(aaaananaanaaaaSnnnnn若1a，2)3()1(32nnnnSn点评：在使用等比数列的求和公式时，要注意对公比q 的讨论，即11(1)
16、(1)(1)1nnnaqSaqqq，这是学生平时容易忽略的问题，应引起足够的重视，另外要求学生有运算化简的能力. 4、 （1）已知数列na的通项公式为1(1)nan n，求前n项的和；（2）已知数列na的通项公式为11nann，求前n项的和变式题 1、 已知数列na的通项公式为na12n，设13242111nnnTaaaaaa， 求nT解：21nnaa4(1)(3)nn2（11n13n） 13242111nnnTaaaaaa2（1214）（1315）（1416）（1n12n）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习
17、资料欢迎下载（11n13n） 2（121312n13n）.变式题 2、数列 an 中， a18，a42，且满足： an+22an+1an0（ nN* ） ，（）求数列 an 的通项公式；（）设nnnnbbbSNnanb21*)()12(1，是否存在最大的整数m，使得任意的 n 均有32mSn总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由解： （） an+2 2an+1an0， an+2an+1an+1an（n N* ） ， an是等差数列，设公差为d，a18，a4a13d83d2， d 2，an8（ n1） （ 2） 102n（），11121) 1(21)21012(1)12(1nnnnnnanbnn11131212112121nnbbbSnn11121n假设存在整数m满足32mSn总成立，又0)2)(1(21)2111(21)111(21)211(211nnnnnnSSnn数列 nS 是单调递增的，411S为nS的最小值，故3241m，即 m8，又 mN* ，适当条件的m 的最大值为7点评：数列求和的裂项相消法：适用于通项公式形如1nnaac的数列，其中na是各项不为0的等差数列，c 为常数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
