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1、1 线性代数超强总结( )0Ar AnAAxAA不可逆有非零解是 的特征值的列（行）向量线性相关12()0,TsinAr AnAxAAAA AAAp pppAx可逆只有零解的特征值全不为零的列（行）向量线性无关是正定矩阵与同阶单位阵等价是初等阵总有唯一解R具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 关于12,ne ee：称为n?的标准基，n?中的自然基，单位坐标向量；12,ne ee线性无关；12,1ne ee；tr()=En；任意一个n维向量都可以用12,ne ee线性表示 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共
2、 14 页2 行列式的计算： 若AB与都是方阵（不必同阶） , 则( 1)mnAAAA BBBBAA BB上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. 关于副对角线：(1)211212112111( 1)n nnnnnnnnnnaaaaa aaaaKNN 逆矩阵的求法 : 1AAA1()()A EE AMM初等行变换11abdbcdcaadbcTTTTTABACCDBD12111121naanaaaaOO21111211naanaaaaNN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 11111221nnAAAAAAOO
3、11121211nnAAAAAANN 方阵的幂的性质：mnm nA AA()( )mnmnAA 设1110( )mmmmf xa xaxa xaL，对n阶矩阵 A规定：1110()mmmmfAa AaAa Aa EL为 A的一个多项式 . 设,m nn sABA的列向量为12,n,B的列向量为12,s，AB的列向量为12,sr rrL,1212121122,1,2, ,(,)(,),(,) ,.iissTnnniiiirAisAAAAA Bb bbAbbbABirAABirBLLLL则：即用中简若则单的一个提即：的第 个列向量是 的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度的第 个行向量
4、是 的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 用对角矩阵左乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似 , 即：11112222,kkkkABABABABOO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页4 11112222kkkkA BA BABA BO 矩阵方程的解法：设法化成AXBXAB(I)或 (II)当0A时, ,BA BE XMM初等行变换（当 为一
5、列时(I) 的解法：构造 ()()即为克莱姆法则）TTTTA XBXX(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I) 的方法求出，再转置得Ax和 Bx同解（,A B列向量个数相同） , 则： 它们的极大无关组相对应, 从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 判断12,sL是0Ax的基础解系的条件： 12,sL线性无关； 12,sL是0Ax的解； ()snr A每个解向量中自由变量的个数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5 零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量
6、正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关；整体无关 , 部分必无关 . 原向量组无关 , 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关 . 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组12,n中任一向量i(1i)n都是此向量组的线性组合 . 向量组12,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余1n个向量线性表示 . 向量组12,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余1n个向量线性表示 . m维列向量组12,n线性相关()r An；m维列向量组12,n线性无关()r An. ()0r AA. 若12,n线性无关，而12,n线性相
7、关 , 则可由12,n线性表示 , 且表示法惟一 . ?矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. ?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行向量间的线性关系. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页6 向量组等价12,n和12,n可以相互线性表示 . 记作：1212,nn%矩阵等价A经过有限次初等变换化为B . 记作： AB%?矩阵 A与 B等价()(),r Ar BA B作为向量组等价 , 即：秩相等的向量组不一定等
8、价. 矩阵 A与 B作为向量组等价1212(,)(,)nnrr1212(,)nnr矩阵 A与 B等价. ?向量组12,s可由向量组12,n线性表示1212(,)nsr12(,)nr12(,)sr12(,)nr. ?向量组12,s可由向量组12,n线性表示 , 且sn，则12,s线性相关 . 向量组12,s线性无关 , 且可由12,n线性表示 , 则sn. ?向量组12,s可由向量组12,n线性表示 , 且12(,)sr12(,)nr, 则两向量组等价；?任一向量组和它的极大无关组等价. ?向量组的任意两个极大无关组等价, 且这两个组所含向量的个数相等. ?若两个线性无关的向量组等价, 则它们包
9、含的向量个数相等. ?若 A是mn矩阵, 则 ()min,r Am n , 若( )r Am， A的行向量线性无关；若()r An， A的列向量线性无关 , 即：12,n线性无关 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 线性方程组的矩阵式Ax向量式1122nnxxxL1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxbLLMMMMML12,1,2,jjjmjjnLM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页8
10、1212120,0,( )(),AnAnnAxAxAnAxAxAAxr Ar AnLLML当 为方阵时当 为方阵时有无穷多解有非零解线性相关有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关12( )(),( )()()1()Anr Ar AAxr Ar Ar Ar AMLMM当 为方阵时克莱姆法则不可由线性表示无解矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABB A()TTkAkATAA()TTTABAB矩阵可逆的性质：11()AA111()ABBA111()kAkA11AA11()()TTAA11()()kkkAAA伴随矩阵的性质：2()nAAA()ABB A1()nkAkA1nAA11()()()(
11、)AATTAAAA()()kkAAAAA AA E()()1 ()10 ( )1 nr Anr Ar Anr An若若若ABA BnkAkAkkAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页9 线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,(3),0,(4),0,(5),0(6)kkkkAxAxk kAxkAxAxAxAxAxLL是的解也是它的解是的解 对任意也是它的解齐次方程组是的解 对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212,
12、0(7),100kkkkkkkAxAxAxAxAxL是的解 则也是它的解是其导出组的解是的解 则也是的解是的解 设 A为mn矩阵, 若()r Am, 则()()r Ar AM, 从而Ax一定有解 . 当mn时, 一定不是唯一解 .方程个数未知数的个数向量维数向量个数, 则该向量组线性相关 . m是( )()r Ar AM和的上限 . 矩阵的秩的性质： ()()()TTr Ar Ar A A ()r AB()( )r Ar B ()r ABmin( ), ( )r A r B ( )0()00r Akr kAk若若 ()( )Arr Ar BB0,()Ar A若则1 ,()0,()()m nn
13、sABr ABr Ar B若且则n ,()()()P Qr PAr AQr A若可逆 , 则 ,()( )Ar ABr B若 可逆 则,()()Br ABr A若 可逆 则 (),()( ),r Anr ABr B若则且 A在矩阵乘法中有左消去律: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 0ABBABACBC标准正交基n个n维线性无关的向量 , 两两正交 , 每个向量长度为 1. 与正交( ,)0. 是单位向量( ,)1. 内积的性质： 正定性：( ,)0,(,)0且 对称性：( ,)(,) 双线性：1212( ,
14、)( ,)( ,)1212(,)(,)(,)(,)(,)( ,)ccc施密特123,线性无关 , 112122111313233121122(,)()(,)(,)()()正交化单位化：111222333正交矩阵TAAE . A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成n? 的一组标准正交基 . 正交矩阵的性质： 1TAA ； TTAAA AE ； A是正交阵 , 则TA （或1A ）也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； 正交阵的行列式等于1 或-1. A的特征矩阵EA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页
15、11 A的特征多项式( )EAf. A的特征方程0EA. AxxAxx与 线性相关 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素 . 若0A, 则0为 A的特征值 , 且0Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量 . 12nAL1niAtr 若()1r A, 则 A一定可分解为 A=1212,nnaabbbaLM、21 122()nnAa ba ba bAL, 从而 A的特征值为：11 122nnAa ba ba bLtr, 230nL. 若 A的全部特征值12,nL，( )f x是多项式 , 则: ()f A的全部特征值为12(),(),()nfffL； 当 A可逆时 ,1
16、A 的全部特征值为12111,nL, A 的全部特征值为12,nAAAL. 1122,.mmAkkAabaAbEAAAAA是 的特征值 则:分别有特征值1122,mmAkkAabaAbEAxAxAAA是 关于的特征向量则 也是关于的特征向量 .A与 B相似1BP AP（ P为可逆阵）记为： AB:A相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量 . 这时, P 为 A的特征向量拼成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页12 的矩阵，1P AP为对角阵 , 主对角线上的元素为A的特征值 . A可对角化的充要条件：
17、()iinrEAkik为i的重数 . 若n阶矩阵 A有n个互异的特征值 , 则 A与对角阵相似 .A与 B正交相似1BP AP（ P为正交矩阵） 相似矩阵的性质：11AB:若,A B均可逆TTAB:kkAB:（ k 为整数）EAEB , 从而,A B有相同的特征值 , 但特征向量不一定相同.即:x是 A关于0的特征向量 ,1Px是 B 关于0的特征向量 . AB从而,A B同时可逆或不可逆()()r Ar B( )()ABtrtr 数量矩阵只与自己相似 . 对称矩阵的性质： 特征值全是实数 , 特征向量是实向量； 与对角矩阵合同； 不同特征值的特征向量必定正交； k 重特征值必定有 k 个线性
18、无关的特征向量； 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n个线性无关的特征向量 , A可能有重的特征值 , 重数=()nrEA）. A可以相似对角化A与对角阵相似. 记为： A :（称是 A的相似标准型） 若 A为可对角化矩阵 , 则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A. 设i为对应于i的线性无关的特征向量 , 则有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 121212112212(,)(,)(,),nnnnnnPAAAALLLLO1 44 2 4 4 31 4 44 2 4 4 4 3. 若 AB:, CD:
19、, 则：ABCD:. 若 AB:, 则( )( )f Af B:,( )()f Af B . 二次型12(,)Tnf x xxXAXLA为对称矩阵12(,)TnXx xxLA与 B合同TBC AC. 记作： AB;（,A BC为对称阵为可逆阵） 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是：AB: 两个矩阵合同的必要条件是：()( )r Ar B12(,)Tnf x xxX AXL经过正交变换合同变换可逆线性变换XCY 化为2121(,)nniif x xxd yL标准型 . 二次型的标准型不是惟一的, 与所作的正交变换有关 , 但系数不为零的个数是由(
20、)r A正惯性指数负惯性指数惟一确定的 . 当标准型中的系数id为 1，-1 或 0 时, 则为规范形 . 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. 任一实对称矩阵A与惟一对角阵111100OOO合同. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 用正交变换法化二次型为标准形: 求出 A的特征值、特征向量； 对n个特征向量单位化、正交化； 构造 C（正交矩阵） ,1CAC； 作变换 XCY , 新的二次型为2121(,)nniif x xxd yL,的主对角上的元素id即为 A的特征值 . 正定二次型12,nxxxL不全为零，12(,)0nfx xxL. 正定矩阵正定二次型对应的矩阵 . 合同变换不改变二次型的正定性. 成为正定矩阵的充要条件（之一成立） ： 正惯性指数为n；A的特征值全大于 0；A的所有顺序主子式全大于0；A合同于 E，即存在可逆矩阵Q使TQ AQE； 存在可逆矩阵 P，使TAP P（从而0A） ； 存在正交矩阵，使121TnC ACCACO（i大于 0）. 成为正定矩阵的必要条件：0iia；0A. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
