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1、第九章第九章 线性代数及其运用性代数及其运用9.1 行列式的概念与行列式的概念与计算算 9.2 矩矩阵及其初等及其初等变换 9.3 矩矩阵的秩与逆矩的秩与逆矩阵 9.4 线性性方方程程组的的概概念念与与克克莱莱姆姆法法那那么么9.5 线性方程性方程组的消元解法的消元解法 我们先从解二元线性方程组引入二阶行我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算思索二元线性方程组列式的概念及计算思索二元线性方程组 一、一、 二阶行列式二阶行列式9.1 行列式的概念与计算行列式的概念与计算假设假设 那么方程那么方程组的解的解为 假设对于方程组的系数假设对于方程组的系数,按其在方程组中出现的按其在方程组中
2、出现的位置相应地陈列成一个方形表位置相应地陈列成一个方形表 引入引入记号号| |那么就可以得到一个二那么就可以得到一个二阶行列式，并行列式，并规定定为 此式的右端称此式的右端称为二二阶行列式的展开式行列式的展开式 aij(i=1,2;j=1,2)称称为二二阶行列式的元素，横行列式的元素，横排的排的称称为行，行，竖排的称排的称为列列例例 计算以下各行列式计算以下各行列式 将一个二将一个二阶行列式行列式D的行与列依次互的行与列依次互换得到的得到的行列式称行列式称为行列式行列式D的的转置行列式，置行列式，记为D T，如，如二二阶行列式行列式 的的转置行列式置行列式为 二、二阶行列式的性质二、二阶行列
3、式的性质行列式行列式D与它的转置行列式与它的转置行列式DT的值相等的值相等性质性质1 1性性质2 假假设行列式的某一行列的每一个元素都行列式的某一行列的每一个元素都是二是二项式，那么此行列式等于把式，那么此行列式等于把这些二些二项式各取一式各取一项作成相作成相应的行列，其他的行列不的行列，其他的行列不变的两各的两各行列式的和行列式的和性性质3 假假设把行列式把行列式D的某一列行的每一个元素的某一列行的每一个元素同乘以一个常数同乘以一个常数k那么此行列式的那么此行列式的值等于等于kD也就是也就是说，行列式中某一列行一切元素的公因子可以提，行列式中某一列行一切元素的公因子可以提到行列式到行列式记号
4、的外面号的外面性性质4 假假设把行列式的某两列或两行把行列式的某两列或两行对调，那，那么么所得的行列式与原行列式的所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反相等，符号相反例例 利用行列式的性质计算以下式子利用行列式的性质计算以下式子类似地，三元似地，三元线性方程性方程组 的系数所构成的行列式规定为的系数所构成的行列式规定为 三、三、 三阶行列式三阶行列式此式的右端称此式的右端称为三三阶行列式按第一行的展开式行列式按第一行的展开式 三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线
5、上三个元素相乘所得到的项带负号这种展虚线上三个元素相乘所得到的项带负号这种展开法称为对角线展开法开法称为对角线展开法 下面引见三阶行列式的展开式：下面引见三阶行列式的展开式：其中其中A11、A12、A13分别称为分别称为a11、a12、a13的代数的代数余子式余子式例例 计算以下三阶行列式：计算以下三阶行列式：定定义 设n-1阶行列式曾行列式曾经定定义，规定定n阶行列式行列式 一个三一个三阶行列式可以用三个二行列式可以用三个二阶行列式来表示，所行列式来表示，所以可以用二以可以用二阶行列式来定行列式来定义三三阶行列式，可以用三行列式，可以用三阶行列行列式来定式来定义四四阶行列式，行列式，依此，依
6、此类推，普通地，可以用推，普通地，可以用n n个个n-1n-1阶行列式来定行列式来定义n n阶行列式，下面行列式，下面给出出n n阶行列式的行列式的定定义：四、四、n阶行列式阶行列式其中其中 A1j=(-1)1+jM1j A1j=(-1)1+jM1j ( j=1,2,n ( j=1,2,n ) ) 这里里M1j为元素元素a1j的余子式，即的余子式，即为划掉划掉A的的第第1行第行第j 列后所得的列后所得的n-1阶行列式，行列式，A1j称称为a1j的代的代数余子式数余子式 由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成的和式这种定义方法称不同
7、列的元素的乘积构成的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的第第1行展开行展开解解 由于由于a12=a13=0 所以由定义所以由定义例例 计算行列式计算行列式. .解解 由定义，将由定义，将Dn 按第一行展开，得按第一行展开，得 假假设行列式的某一行列的每一个元素都是二行列式的某一行列的每一个元素都是二项式，那么此行列式等于把式，那么此行列式等于把这些二些二项式各取一式各取一项作成相作成相应的的行列，其他的行列不行列，其他的行列不变的两各行列式的和的两各行列式的和行列式行列式D与它的转置行列式与它的转置行列式DT的值相等的值相等
8、性质性质1 1性性质2 2五、行列式的性质五、行列式的性质 假假设把行列式把行列式D的某一列行的每一个的某一列行的每一个元素同乘以一个常数元素同乘以一个常数k那么此行列式的那么此行列式的值等于等于kD也也就是就是说，行列式中某一列行一切元素的公因子可，行列式中某一列行一切元素的公因子可以提到行列式以提到行列式记号的外面号的外面 假假设把行列式的某两列或两行把行列式的某两列或两行对调，那么所得的行列式与原行列式的那么所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相相等，符号相反反 假假设行列式的某两列或两行的行列式的某两列或两行的对应元素一元素一样，那么此行列式的，那么此行列式的值等于零等于零 假假设
9、行列式的某两列或两行的行列式的某两列或两行的对应元素成比例，那么此行列式的元素成比例，那么此行列式的值等于零等于零 “行列式的两列行列式的两列对应元素成比例就是指存在元素成比例就是指存在一个常数一个常数k，使，使ali=kalj(l=1,2n) 性质性质3 3性性质4 4 推推论性性质5 5 性性质6 假假设把行列式的某一列行的每一个元把行列式的某一列行的每一个元素加上另一列行的素加上另一列行的对应元素的元素的k倍，那么所得行倍，那么所得行列式与原行列式的列式与原行列式的值相等相等 由于行列式的整个由于行列式的整个计算算过程方法灵敏，程方法灵敏，变化化较多，多，为了便于了便于书写和复写和复查，
10、在，在计算算过程中商定采用以下程中商定采用以下标志方法：志方法：1.以以r代表行，代表行，c代表列代表列2.把第把第i 行或第行或第i 列的每一个元素加上第列的每一个元素加上第j 行或行或第第j 列列对应元素的元素的k倍，倍，记作作ri+krj或或ci+kcj3.互互换i 行列和行列和j 行列，行列，记作作rirj或或cicj 性性质7 行列式行列式D等于它的任一行列的各元素等于它的任一行列的各元素与其与其对应的代数余子式乘的代数余子式乘积之和，即之和，即D= ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin i=1,2,n 推推论 行列式行列式D的一行元素分的一行元素分别与另一行与另一行对应的代的代
11、数余子式之乘数余子式之乘积的和等于零，即的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+ajnAin=0 i,j=1,2,n, ij例按第三行展开计算行列式 由由mn个数排成的个数排成的m行行n列数表列数表 称称为一个一个m行行n列矩列矩阵，简称称为mn矩矩阵其中其中aij表示第表示第i行第行第j列列处的元素，的元素，i称称为aij的行目的，的行目的，j称称为aij的列目的的列目的定定义1 19.2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换一、一、 矩阵的概念矩阵的概念 矩矩阵通常用通常用A，B，C大写字母表示，假大写字母表示，假设需指明矩需指明矩阵的行数和列数常写的行数和列数常写为或例如：或例如： 为一个
12、一个23矩矩阵 在以后的在以后的讨论中，中，还会会经常用到一些特殊的矩常用到一些特殊的矩阵，下面，下面分分别给出他出他们的称号的称号 ,元素全元素全为零的矩零的矩阵称称为零矩零矩阵，记作作O或或0，如：，如：当当m = n时，称时，称A为为n阶矩阵或阶矩阵或n阶方阵阶方阵 只需只需1行行1n或或1列列m1的矩的矩阵，分，分别称称为行矩行矩阵和列矩和列矩阵，如：，如： 假假设方方阵的元素的元素 aij=0ij，那么称，那么称A为对角角矩矩阵，aiii=1,2,n 称称为A的的对角元，如角元，如 为二二阶对角矩角矩阵 对角元全角元全为数数1的的对角矩角矩阵称称为单位矩位矩阵，n阶单位位矩矩阵记为I
13、n形如形如 的矩的矩阵分分别称称为上三角矩上三角矩阵和下三角矩和下三角矩阵 把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵即矩阵的转置矩阵即矩阵 的的转置矩置矩阵 一个一个m行行n列矩列矩阵A的的转置矩置矩阵是一个是一个n行行m列的矩列的矩阵那么就称那么就称这两个矩两个矩阵相等相等 .例例 知知 而且而且A=B，求，求a, b, c, d 解解 根据矩根据矩阵相等的定相等的定义， 可得方程可得方程组 解得解得a=5, b=2, c=2, d=-1，即当即当a=5, b=2, c=2, d=-1时时A=B 该当留意的是：矩当留意的是：矩阵与行列式
14、是两个不同与行列式是两个不同的概念，行列式是一个算式，的概念，行列式是一个算式，计算算结果是一个果是一个数，而矩数，而矩阵是有数构成的一个数表；是有数构成的一个数表；记法也不法也不同，行列式用的是两条同，行列式用的是两条竖线，而矩，而矩阵用的是一用的是一对圆括号或中括号括号或中括号 显然，两个然，两个m行行n列的矩列的矩阵相加减得到的相加减得到的和差仍是一个和差仍是一个m行行n列的矩列的矩阵应留意，只需当留意，只需当两个矩两个矩阵的行数与列数分的行数与列数分别一一样时，它，它们才干作加才干作加减运算减运算容易容易验证，矩，矩阵的加法运算的加法运算满足以下足以下规律：律：交交换律：律：A+B=B
15、+A；结合律：合律：(A+B)+C=A+(B+C)二二 、矩阵的加法和减法、矩阵的加法和减法例例 知知 求求A+AT和和A-AT 定定义 一个数一个数k k与一个与一个m m行行n n列矩列矩阵相乘，它相乘，它们的乘的乘积为kAkA，并且，并且规定定Ak=kAAk=kA例如，例如，设 三、三、 数与矩阵相乘数与矩阵相乘设甲、乙两家公司消甲、乙两家公司消费、三种型号的三种型号的计算算机，月机，月产量量单位：台位：台为 假假设消消费这三种型号的三种型号的计算机的每台的利算机的每台的利润单位：万元位：万元/台台为 四、四、 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘那么这两家公司的月利润单位：万元应为那么这两家公
16、司的月利润单位：万元应为 可可见，甲公司每月的利，甲公司每月的利润为291万元，乙公司的万元，乙公司的利利润为341万元万元矩矩阵与矩与矩阵乘法的普通定乘法的普通定义如下：如下：那么由元素那么由元素 构成的构成的mn矩矩阵 称称为矩矩阵A与与B的乘的乘积，记为C=AB 乘乘积C 中第中第i行第行第j列元素列元素Cij等于等于A的第的第i行元素与行元素与B 的第的第j列列 元素元素对应乘乘积之和，即之和，即A的列数必需等于的列数必需等于B的行数，的行数，A与与B才干相乘；才干相乘；乘乘积C的行数等于的行数等于A的行数，的行数，C的列数等于的列数等于B的列数的列数由定由定义可知：可知：AD无意无意
17、义 由上例可知，单位矩阵由上例可知，单位矩阵I在矩阵的乘法中与数在矩阵的乘法中与数1在在数中的乘法中所起的作用类似数中的乘法中所起的作用类似假假设两个矩两个矩阵A与与B满足足AB=BA，那么称，那么称A与与B是可交是可交换的的 由于矩由于矩阵乘法不乘法不满足交足交换律，所以在律，所以在进展运算展运算时，千万要留意，不能把左、右次序，千万要留意，不能把左、右次序颠倒倒矩矩阵乘法乘法满足如下运算足如下运算规律：律：结合律：合律：(AB)C=A(BC)；分配律：分配律： A (B+C) =AB+ AC，(B+C) A = BA + CA； k(AB)= (kA) B=A (kB)，k为恣意常数恣意常
18、数由于由于AB=BA，所以，所以A与与B可交可交换 .称称为矩矩阵A的的k次次幂矩矩阵A的运算的运算满足足 由于矩由于矩阵乘法普通不乘法普通不满足交足交换律，因此普通来律，因此普通来说 矩矩阵的秩是矩的秩是矩阵的重要特性之一，它在的重要特性之一，它在线性性方程方程组解的解的讨论中起着关中起着关键的作用的作用. . 定定义：矩：矩阵A A的的阶梯形矩梯形矩阵所含非零行的行数称所含非零行的行数称为矩矩阵A A的秩，的秩，记为r rA A根据根据这个定个定义，可以得出求矩，可以得出求矩阵A A的秩的普通步的秩的普通步骤：(1)(1)用矩用矩阵的初等行的初等行变换把把A A化化为阶梯形矩梯形矩阵；(2
19、)(2)数一下数一下阶梯形矩梯形矩阵中有多少个非零行中有多少个非零行 9.3 矩阵的秩与逆矩阵矩阵的秩与逆矩阵一、矩阵的秩一、矩阵的秩所以所以 r rA A=3=3 所以所以 r rB B=3=3 假假设n阶矩矩阵A可逆，矩可逆，矩阵A总可以可以经过一系列一系列的的初等行初等行变换化化为单位矩位矩阵，那么用同，那么用同样的初等行的初等行变换就就将将I化化为A-1这就就给我我们提供了一个提供了一个计算算A-1的有效的有效方方法：法：假假设对(A|I)施以初等行施以初等行变换将将A变为I，那么，那么I就就变为A-1，即即 二、用矩阵初等行变换求逆矩阵二、用矩阵初等行变换求逆矩阵例例 知矩阵知矩阵
20、求逆矩阵求逆矩阵A-1 值得留意的是，用初等行变换求逆矩阵时，必值得留意的是，用初等行变换求逆矩阵时，必须一直用初等行变换，其间不能作任何初等列变须一直用初等行变换，其间不能作任何初等列变换且在求一个矩阵的逆矩阵时，不用思索这个矩换且在求一个矩阵的逆矩阵时，不用思索这个矩阵能否可逆，只需在用初等行变换的过程中，发现阵能否可逆，只需在用初等行变换的过程中，发现这这个个矩矩阵阵不不能能化化成成单单位位矩矩阵阵，那那么么它它就就没没有有逆逆矩矩阵阵设n元元n个方程个方程组为 其系数行列式其系数行列式为 9.4 线性方程组的概念与克莱姆法那么线性方程组的概念与克莱姆法那么一、一、 克莱姆法那么克莱姆法
21、那么 在系数行列式在系数行列式D 中第中第 j 列的元素依次改列的元素依次改换为b1，b2，bn，得到的行列式，得到的行列式记作作Dj，即：，即： 关于线性方程组关于线性方程组1的解有下述法那么：的解有下述法那么： 当当线性方程性方程组1的系数行列式的系数行列式D0时，该方程方程组有且只需独一解：有且只需独一解： 例例 用克莱姆法那么解方程用克莱姆法那么解方程组 克莱姆法那克莱姆法那么么解解 由于由于经计算还可得到经计算还可得到方程组的解为方程组的解为 普通的普通的线性方程性方程组，它的未知数个数与方程的，它的未知数个数与方程的个数可以相等也可以不相等个数可以相等也可以不相等对于于n n个未知
22、数个未知数n n个方个方程的程的线性方程性方程组，当它的系数行列式不，当它的系数行列式不为零零时，可，可以有以下三种求解方法：以有以下三种求解方法：克莱姆法那么；克莱姆法那么；逆矩逆矩阵；矩矩阵法其中矩法其中矩阵法法还能用来求解未知数个数与方程个数不相等的能用来求解未知数个数与方程个数不相等的线性方程性方程组本本节将运用矩将运用矩阵法来法来讨论普通的普通的线性方性方程程组的解先的解先调查先面的两个例子先面的两个例子例例 讨论线性方程性方程组 二二 、普通线性方程组的解、普通线性方程组的解最后一个矩阵对应于方程组：最后一个矩阵对应于方程组： 因此有因此有 由于当由于当x3和和x4分分别恣意取定一
23、个恣意取定一个值时，都，都可可得到方程得到方程组的一的一组解，因此解，因此该方程方程组有无有无穷多多组解解最后一个矩最后一个矩阵对应于方程于方程组： 其中第三个方程其中第三个方程0=3是不能是不能够成立的因此方程成立的因此方程组无解无解 从以上两个例子最后得到的两个矩从以上两个例子最后得到的两个矩阵和和来来看，它看，它们的左上角都是一个的左上角都是一个单位矩位矩阵，以下各行中，以下各行中除去最后一列能除去最后一列能够有非零元素如矩有非零元素如矩阵外，其外，其他元素均他元素均为零零一个含有一个含有n个未知数的个未知数的m个方程的个方程的线性方程性方程组它的增广矩它的增广矩阵 普通普通经过适当的行
24、初等适当的行初等变换，它的左上角会出，它的左上角会出现一个一个r阶的的单位矩位矩阵rn，而在以下，而在以下m-r各各行，除去最后一列能行，除去最后一列能够有非零元素外，其他的元素有非零元素外，其他的元素均均为零即增广矩零即增广矩阵经过行初等行初等变换后可化成以下后可化成以下方式，其中方式，其中rn：为阐明方便起明方便起见，先引，先引见方程方程组的相容性的概念的相容性的概念 定定义 假假设方程方程组有解，那么称方程有解，那么称方程组是是相容相容的；假的；假设方程方程组无解，那么称方程无解，那么称方程组是不相容是不相容的的 下面分下面分别按矩按矩阵出出现的各种不同情形来的各种不同情形来讨论对应的的
25、线性方程性方程组的解的解1.假假设cr+1=0，那么，那么线性方程性方程组的系数矩的系数矩阵与增与增广矩广矩阵的秩相等，并且都等于的秩相等，并且都等于rrn，那么，那么线性方程性方程组是相容的当是相容的当rn时方程方程组有无有无穷多多组解，当解，当r=n时方程方程组只需独一解只需独一解2.假假设cr+10，这时线性方程性方程组的系数矩的系数矩阵的秩的秩为r，而增广矩，而增广矩阵的秩的秩为r+1所以所以这个个线性方程性方程组相相应地化地化为 由于由于cr+10，所以上述方程，所以上述方程组中最后一个方程不中最后一个方程不能成立，即方程能成立，即方程组是不相容的是不相容的归纳上述上述讨论，得到，得
26、到如下两个定理：如下两个定理： 定理定理1 1 线性方程性方程组相容的充分必要条件是它相容的充分必要条件是它的系数矩的系数矩阵的秩与增广矩的秩与增广矩阵的秩相等的秩相等 定理定理2 线性方程性方程组是相容的，那么当系数矩是相容的，那么当系数矩阵的秩的秩r n时，方程，方程组有无有无穷多多组解；当系数矩解；当系数矩阵的秩的秩r=n时，方程，方程组的解是独一的的解是独一的所以所以RA=RAB=3，即方程即方程组是相容的是相容的这时，对应的方程的方程组为 其中其中x3与与x4的值可以任取，令的值可以任取，令x3=c1，x4=c2，那么方程组的解为那么方程组的解为 其中其中c1与与 c2为恣意常数恣意
27、常数 在在线性方程性方程组中，假中，假设b1=b2=bm=0，那，那么方么方程程组称称为齐次次线性方程性方程组 在在齐次次线性方程性方程组 三三 、齐次线性方程组、齐次线性方程组中，显然它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是相中，显然它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是相等的因此根据定理等的因此根据定理1可知，齐次线性方程组总是可知，齐次线性方程组总是有解的根据定理有解的根据定理2，可以得到以下定理：，可以得到以下定理：定理定理3 3 设齐次次线性方程性方程组的系数矩的系数矩阵A A的秩的秩R RA A=r=r假假设r=n，那么方程，那么方程组只需零解；只需零解；假假设rn，那么方程，那么方程组有无有无
28、穷多多组非零解非零解对于于n个未知数，个未知数，n个方程的个方程的齐次次线性方程性方程组，还可可由定理由定理3推得以下的定理：推得以下的定理：定理定理4 齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式有非零解的充分必要条件是它的系数行列式|A|=0解 计算系数行列式： 所以方程所以方程组只需独一的一只需独一的一组零解，即零解，即x=y=z=0 解解 计算系数行列式：算系数行列式： 所以方程所以方程组有无有无穷多多组解解为此写出它的增广矩此写出它的增广矩阵，并作行初等，并作行初等变换如下：如下：这时，对应的方程组为这时，对应的方程组为 设z=c，那么方程，那么方程组的解的解
29、为 消元法是解二元、三元一次消元法是解二元、三元一次线性方程性方程组常用的常用的办法，将其运用到解法，将其运用到解n元元线性方程性方程组中也是有效的它中也是有效的它的根本思想是将方程的根本思想是将方程组中的一部分方程中的一部分方程变成未知量成未知量较少的少的方程，从而求出方程方程，从而求出方程组的解下面的解下面经过例子例子阐明明如何解系数行列式不等于零的如何解系数行列式不等于零的线性方程性方程组例例 用消元法解用消元法解线性方程性方程组 9.5 线性方程组的消元解法线性方程组的消元解法解解 把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的初等变换过程对照初等
30、变换过程对照 方程组的消元过程方程组的消元过程 增广矩阵的变换过程增广矩阵的变换过程 由此得到方程组的解为由此得到方程组的解为 由上表可以看出，方程由上表可以看出，方程组的消元的消元顺序与增广矩序与增广矩阵的初等的初等变换顺序完全一序完全一样. 普通地，普通地，对一个一个n元元线性方程性方程组，当它的系数行列，当它的系数行列式不等于零式不等于零时，只需，只需对方程方程组的增广矩的增广矩阵施以适当的施以适当的行初等行初等变换，使它成，使它成为以下的方式：以下的方式： 那么矩那么矩阵的最后一列元素就是方程的最后一列元素就是方程组的解，即的解，即x1=c1x1=c1，x2=c2x2=c2，xn=cnxn=cn这种消元法称种消元法称为矩矩阵法法例例 用矩用矩阵法解法解线性方程性方程组 因此方程因此方程组的解的解为 由此可见，用矩阵的初等行变换表示线性方程由此可见，用矩阵的初等行变换表示线性方程组求解过程，不仅简便而且明晰明了组求解过程，不仅简便而且明晰明了 归纳起来，用矩起来，用矩阵法求法求线性方程性方程组的解的的解的过程可以表述程可以表述为：首先用增广矩：首先用增广矩阵表示表示线性方程性方程组AX=B，然后将用初等行，然后将用初等行变换化化为行行简化化阶梯形矩梯形矩阵，最后写出，最后写出简化化阶梯形矩梯形矩阵所所对应的的线性方程性方程组，从中解出原方程，从中解出原方程组的解的解
