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1、精品资料欢迎下载二次函数压轴之面积重叠问题1(20XX 年四川资阳 ) 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为A(3,0) ,与 y 轴的交点为B(0,3) ,其顶点为C,对称轴为x=1(1)求抛物线的解析式;(2)已知点M为 y 轴上的一个动点,当ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;(3)将 AOB沿 x 轴向右平移m个单位长度(0m 3)得到另一个三角形,将所得的三角形与ABC重叠部分的面积记为S,用 m的代数式表示S解: (1)由题意可知,抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为( 1,0) ,则,解得故抛物线的解析式为y= x2+2x+3 (2)当 M
2、A=MB 时, M( 0,0) ;当 AB=AM 时, M(0, 3) ;当 AB=BM 时, M(0,3+3)或 M(0,3 3) 所以点 M 的坐标为:(0,0) 、 (0, 3) 、 (0,3+3) 、 (0,3 3) (3)平移后的三角形记为PEF 设直线 AB 的解析式为y=kx+b ,则,解得则直线 AB 的解析式为y=x+3 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度(0m3)得到PEF,易得直线 EF 的解析式为y= x+3+m 设直线AC 的解析式为y=k x+b ,则,解得则直线 AC 的解析式为y= 2x+6 连结 BE,直线 BE 交 AC 于 G,则 G(,3) 在AO
3、B 沿 x 轴向右平移的过程中当 0m 时,如图 1 所示设 PE 交 AB 于 K, EF 交 AC 于 M 则 BE=EK=m , PK=PA=3 m, 联立,解得,即点 M(3 m,2m ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精品资料欢迎下载故 S=S PEFS PAKS AFM=PE2PK2AF? h=(3 m)2m?2m= m2+3m 示设 PE 交 AB 于 K,交 AC 于 H因为 BE=m ,所当 m3 时,如图2 所以 PK=PA=3 m,又因为直线AC 的解析式为y=2x+6 ,所以当 x=m 时
4、,得 y=6 2m,所以点 H(m,6 2m) 故 S=S PAH S PAK=PA? PH PA2=(3m) ? ( 62m )(3m)2=m23m+综上所述,当0m 时, S=m2+3m ;当m3 时, S=m2 3m+2. (2014?湖北黄冈)已知:如图,在四边形OABC 中, AB OC ,BC x 轴于点 C,A(1, 1) ,B(3, 1) ,动点P从点 O出发,沿着x 轴正方向以每秒2 个单位长度的速度移动过点P作 PQ垂直于直线OA ,垂足为点Q ,设点 P移动的时间t 秒( 0t 2) , OPQ 与四边形OABC 重叠部分的面积为S(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析
5、式,并确定顶点M的坐标(2)用含 t 的代数式表示点P、点 Q的坐标;(3)如果将 OPQ 绕着点 P按逆时针方向旋转90,是否存在t ,使得 OPQ 的顶点 O或顶点 Q在抛物线上?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由;(4)求出 S与 t 的函数关系式解: (1)设抛物线解析式为y=ax2+bx( a 0) ,把点 A(1, 1) ,B(3, 1)代入得,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精品资料欢迎下载解得,抛物线解析式为y=x2x, y=x2 x=(x2)2,顶点 M 的坐标为( 2,);(2)点 P
6、 从点 O 出发速度是每秒2 个单位长度, OP=2t ,点P 的坐标为( 2t, 0) ,A(1, 1) , AOC=45 ,点Q 到 x 轴、 y 轴的距离都是OP= 2t=t ,点 Q 的坐标为( t, t) ;(3) OPQ 绕着点 P 按逆时针方向旋转90,旋转后点 O、Q 的对应点的坐标分别为(2t, 2t) , (3t, t) ,若顶点 O 在抛物线上,则( 2t)2(2t)=2t,解得 t=,若顶点 Q 在抛物线上,则( 3t)2(3t)=t,解得 t=1 ,综上所述,存在t=或 1,使得OPQ 的顶点 O 或顶点 Q 在抛物线上;(4)点 Q 与点 A 重合时, OP=1 2
7、=2 ,t=2 2=1 ,点 P 与点 C 重合时, OP=3 ,t=3 2=1.5 ,t=2 时, OP=2 2=4 ,PC=4 3=1 ,此时 PQ 经过点 B,所以,分三种情况讨论:0 t 1 时, S=( 2t)=t2,1 t 1.5 时, S=( 2t)( t)2=2t1;1.5t2 时, S= ( 2+3) 11( 2t3)2= 2(t2)2+;所以, S 与 t 的关系式为S=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精品资料欢迎下载3. (2014?攀枝花)如图,抛物线y=ax28ax+12a(a0)与 x
8、轴交于 A、B两点( A在 B的左侧),与 y 轴交于点C,点 D的坐标为( 6,0) ,且 ACD=90 (1)请直接写出A、B两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使得 PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标及周长的最小值;若不存在,说明理由;(4)平行于y 轴的直线m从点 D 出发沿 x 轴向右平行移动,到点A 停止设直线m与折线 DCA的交点为G ,与 x轴的交点为H(t ,0) 记 ACD在直线 m左侧部分的面积为s,求 s 关于 t 的函数关系式及自变量t 的取值范围解: (1)抛物线的解析式为:y=ax2 8ax+12a (a0) ,令 y=0
9、 ,即 ax2 8ax+12a=0 ,解得 x1=2 ,x2=6 , A(2,0) ,B(6, 0) (2)抛物线的解析式为:y=ax2 8ax+12a (a0) ,令 x=0 ,得 y=12a , C(0,12a ) ,OC=12a 在 Rt COD 中,由勾股定理得:CD2=OC2+OD2=(12a)2+62=144a2+36;在 Rt COD 中,由勾股定理得:AC2=OC2+OA2=(12a)2+22=144a2+4;在 Rt COD 中,由勾股定理得:DC2+AC2=AD2;即: (144a2+36 )+(144a2+4 )=82 ,解得: a=或 a=(舍去),精选学习资料 - -
10、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精品资料欢迎下载抛物线的解析式为:y=x2x+(3)存在对称轴为直线:x= =4由( 2)知 C(0,) ,则点 C 关于对称轴x=4 的对称点为C( 8,) ,连接 AC,与对称轴交于点P, 则点 P 为所求此时PAC 周长最小,最小值为 AC+AC 设直线 AC 的解析式为y=kx+b ,则有:,解得, y=x当 x=4 时, y=, P(4,) 过点 C作 CE x 轴于点 E,则 CE=,AE=6 ,在 Rt AC E 中,由勾股定理得:AC =4;在 Rt AOC 中,由勾股定理得:AC=4
11、AC+AC =4+4存在满足条件的点P,点 P 坐标为( 4,) ,PAC 周长的最小值为4+4(4)当 6 t 0 时,如答图41 所示直线 m 平行于 y 轴,即,解得: GH=( 6+t) S=S DGH=DH ?GH=( 6+t) ?(6+t )=t2+2t+6;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精品资料欢迎下载当 0t 2 时,如答图42 所示直线 m 平行于 y 轴,即,解得: GH= t+2 S=S COD+S 梯形 OCGH=OD ?OC+ (GH+OC ) ?OH = 6 2+(t+2+2) ?t =t2+2t+6 S=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页