《2022年点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆12222byax(ab 0)中,若直线l与椭圆相交于M、N 两点,点),(00yxP是弦 MN 的中点,弦MN 所在的直线l的斜率为MNk,则2200abxykMN. 证明:设M、N 两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx,则有)2(.1) 1(, 1222222221221byaxbyax)2()1(,得.02222122221byyaxx.2212121212abxxyyxxyy又.22,21211212xyxyxxyyxxyykMN.22abxykMN同理可证,在椭圆12222aybx(ab0) 中, 若直线l与椭圆相交于M 、
2、N 两点,点),(00yxP是弦 MN 的中点,弦MN 所在的直线l的斜率为MNk,则2200baxykMN. 典题妙解例 1 设椭圆方程为1422yx,过点)1 ,0(M的直线l交椭圆于点A、 B, O 为坐标原点,点P 满足1()2OPOAOB,点 N 的坐标为21,21.当l绕点M 旋转时,求:(1)动点 P 的轨迹方程;(2)|NP的最大值和最小值. 解: (1)设动点P的坐标为),(yx.由平行四边形法则可知:点P 是弦 AB 的中点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页2 焦点在 y 上,.1,422ba
3、假设直线l的斜率存在 . 由22baxykAB得:.41xyxy整理,得:.0422yyx当直线l的斜率不存在时,弦AB 的中点 P 为坐标原点)0,0(O,也满足方程。所求的轨迹方程为.0422yyx(2)配方,得:.141)21(16122yx.4141x127)61(341)21()21()21(|222222xxxyxNP当41x时,41|minNP;当61x时,.621|maxNP例 2 在直角坐标系xOy中,经过点)2,0(且斜率为k的直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点 P 和 Q. (1)求k的取值范围;(2) 设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、 B, 是否存在
4、常数k, 使得向量OQOP与AB共线?如果存在,求k的取值范围;如果不存在,请说明理由. 解: (1)直线l的方程为.2kxy由. 12,222yxkxy得:.0224)12(22kxxk直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页3 ) 12(83222kk0.解之得:k22或k22. k的取值范围是,2222,. ( 2) 在椭圆1222yx中,焦点在x轴上,1,2 ba,).1 ,2(),1 , 0(),0,2(ABBA设弦 PQ 的中点为),(00yxM,则).,(100yxO
5、M由平行四边形法则可知:.2OMOQOPOQOP与AB共线,OM与AB共线 . 1200yx,从而.2200xy由2200abxykPQ得:2122k,.22k由( 1)可知22k时,直线l与椭圆没有两个公共点,不存在符合题意的常数k. 例 3 已知椭圆12222byax(ab 0)的左、右焦点分别为1F、2F,离心率22e,右准线方程为2x. () 求椭圆的标准方程;() 过点1F的直线l与该椭圆相交于M 、N 两点, 且3262|22NFMF,求直线l的方程 . 解: ()根据题意,得.2,222caxace1, 1,2cba.所求的椭圆方程为1222yx. ()椭圆的焦点为)0, 1(1
6、F、)0, 1(2F. 设直线l被椭圆所截的弦MN 的中点为),(yxP. 由平行四边形法则知:PFNFMF2222. 由3262|22NFMF得:326|2PF.926)1(22yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页4 若直线l的斜率不存在,则xl轴,这时点P 与)0, 1(1F重合,4|2|1222FFNFMF,与题设相矛盾,故直线l的斜率存在 . 由22abxykMN得:.211 xyxy).(2122xxy代入,得.926)(21) 1(22xxx整理,得:0174592xx.解之得:317x,或32x. 由
7、可知,317x不合题意 .32x,从而31y.11xyk所求的直线l方程为1xy,或1xy. 例 4 已知椭圆1:2222byaxC(ab0)的离心率为33,过右焦点F 的直线l与 C 相交于A、B 两点 . 当l的斜率为1 时,坐标原点O 到l的距离为22. (1)求ba,的值;(2)C 上是否存在点P,使得当l绕 F 转到某一位置时,有OBOAOP成立?若存在,求出所有点P 的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.解:(1) 椭圆的右焦点为)0,(cF, 直线l的斜率为1 时, 则其方程为cxy, 即0cyx. 原点 O 到l的距离:22222|00|ccd,1c. 又33ace,3a. 从
8、而2b.3a,2b. ( 2)椭圆的方程为12322yx. 设弦AB 的中点为),(yxQ. 由OBOAOP可知,点Q是线段 OP 的中点,点P 的坐标为)2,2(yx.123422yx.若直线l的斜率不存在,则xl轴,这时点Q 与)0, 1 (F重合,)0, 2(OP,点 P不在椭圆上,故直线l的斜率存在 . 由22abxykAB得:.321 xyxy)(3222xxy.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页5 由和解得:42,43yx. 当42,43yx时,21xykAB,点P 的坐标为)22,23(,直线l的方程为
9、022yx;当42,43yx时,21xykAB, 点 P 的坐标为)22,23(,直线l的方程为022yx. 金指点睛1. 已知椭圆4222yx,则以)1 , 1 (为中点的弦的长度为()A. 23B. 32C. 330D. 2632.(06 江西)椭圆1:2222byaxQ(ab0)的右焦点为)0,(cF,过点 F 的一动直线m 绕点 F转动,并且交椭圆于A、B 两点, P 为线段 AB 的中点 . ( 1)求点 P 的轨迹 H 的方程;( 2)略 . 3 ( 05 上海)(1)求右焦点坐标是)0,2(且过点)2, 2(的椭圆的标准方程;( 2)已知椭圆C 的方程为12222byax(ab0
10、).设斜率为k的直线l,交椭圆C 于 A、B两点, AB 的中点为M. 证明:当直线l平行移动时,动点M 在一条过原点的定直线上;( 3)略 . 4. (05 湖北 )设 A、B 是椭圆223yx上的两点,点)3 , 1 (N是线段 AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点 . ( 1)确定的取值范围,并求直线AB 的方程;( 2)略 . 5. 椭圆 C 的中心在原点,并以双曲线12422xy的焦点为焦点,以抛物线yx662的准线为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页6 其中一条准线. (1)求椭圆
11、C 的方程;(2)设直线)0(2:kkxyl与椭圆 C 相交于 A、B 两点,使A、B 两点关于直线)0(1:mmxyl对称,求k的值 . 参考答案1. 解:由4222yx得12422yx,2,422ba. 弦 MN 的中点)1 , 1(,由22abxykMN得21MNk,直线 MN 的方程为)1(211xy. 即32yx. .21k由324222yxyx得:051262yy. 设),(),(2211yxNyxM,则65,22121yyyy. 330)3104(54)()11 (|212212yyyykMN故答案选C. 2. 解: (1)设点 P 的坐标为),(yx,由22abxykAB得:2
12、2abxycxy,整理,得:022222cxbyaxb. 点 P 的轨迹 H 的方程为022222cxbyaxb.3解: (1)右焦点坐标是)0,2(,左焦点坐标是)0,2(. 2c.由椭圆的第一定义知,24)2()22()2()22(22222a,22a. 4222cab. 所求椭圆的标准方程为14822yx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页7 ( 2)设点 M 的坐标为),(yx,由22abxykAB得:22abxyk,整理得:022kyaxb. a、b、k 为定值,当直线l平行移动时,动点M 在一条过原点的
13、定直线022kyaxb上. 4. 解: (1)点)3 , 1 (N在椭圆223yx内,22313,即12.的取值范围是),12(.由223yx得1322xy,3,22ba,焦点在y 轴上 . 若直线 AB 的斜率不存在,则直线ABx轴,根据椭圆的对称性,线段AB 的中点 N 在 x 轴上,不合题意,故直线AB 的斜率存在 . 由22baxykAB得:313ABk,1ABk. 所求直线 AB 的方程为)1(13xy,即04yx. 从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13xy,即02yx. 5. 解: ( 1)在双曲线12422xy中,6,2, 222bacba,焦点为)6(,),6,0
14、(21FF. 在抛物线yx622中,6p,准线为26y. 在椭圆中,262ca. 从而.3, 3 ba所求椭圆C 的方程为13922xy. ( 2) 设弦 AB 的中点为),(00yxP, 则点 P 是直线l与直线l的交点,且直线ll. km1.由2200baxykAB得:300xyk,003xky.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页8 由1100xky得:kxky00.由、得:23,200ykx. 又200kxy,2223kk,即12k.1k. 在2kxy中,当0x时,2y, 即直线l经过定点)2 ,0(M.而定点)2,0(M在椭圆的内部,故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点. k的值为1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页