2022年中考数学动点问题专题讲解

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1、学习必备欢迎下载中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、 射线或弧线上运动的一类开放性题目 .解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静 .数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“ 对称、 动点的运动 ” 等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力 图形在 动点的运动

2、过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解决数学 “ 动点” 探究题的基本思路 ,这也是 动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（ 2）方程思想；（ 3）数形结合思想；（ 4）分类思想；（ 5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题， 就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教

3、师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容. 动点问题反映的是一种函数思想 ,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系. 那么 ,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

4、 页，共 47 页学习必备欢迎下载一、应用勾股定理建立函数解析式例 1(2000 年上海) 如图 1, 在半径为 6, 圆心角为 90的扇形OAB的弧 AB上,有一个动点P,PHOA,垂足为 H,OPH 的重心为G. (1) 当点 P在弧 AB上运动时 , 线段 GO 、GP 、GH中, 有无长度保持不变的线段?如果有 ,请指出这样的线段 , 并求出相应的长度. (2) 设 PHx,GPy, 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域( 即自变量x的取值范围 ). (3) 如果 PGH 是等腰三角形, 试求出线段PH的长 . 解:(1) 当点 P 在弧 AB上运动时 ,OP 保持不变 , 于是

5、线段GO 、GP 、 GH中, 有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132OP=2. (2)在Rt POH 中 , 22236xPHOPOH, 2362121xOHMH. 在 RtMPH 中 , . y=GP=32MP=233631x (0x6). (3) PGH 是等腰三角形有三种可能情况: GP=PH 时,xx233631, 解得6x. 经检验 , 6x是原方程的根,且符合题意 . GP=GH 时, 2336312x,解得0x. 经检验 , 0x是原方程的根 , 但不符合题意. PH=GH 时,2x. 综上所述 , 如果 PGH 是等腰三角形, 那么线段PH的长为6或 2.

6、二、应用比例式建立函数解析式例 2（20XX年山东）如图2, 在 ABC中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC上运动 . 设 BD=,xCE=y. (1)如果 BAC=30 , DAE=105 , 试确定y与x之间的函数解析式； (2)如果 BAC的度数为, DAE的度数为, 当,满足怎样的关系式时,(1) 中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由 . 解:(1) 在 ABC中 ,AB=AC,BAC=30 , ABC= ACB=75 , ABD= ACE=105 . BAC=30 , DAE=105 , DAB+ CAE=75 , 又 DAB+ ADB= ABC=75 , CAE= A

7、DB, ADB EAC, ACBDCEAB, 11xy, xy1. 2222233621419xxxMHPHMPA E D C B 图 2 H M N G P O A B 图 1 xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 47 页学习必备欢迎下载(2) 由于 DAB+ CAE=, 又 DAB+ ADB= ABC=290, 且函数关系式成立, 290=, 整理得290. 当290时,函数解析式xy1成立 . 例 3(20XX 年 上海 )如图 3(1),在 ABC中, ABC=90 ,AB=4,BC=3. 点 O是边 AC上的一

8、个动点 , 以点 O为圆心作半圆 , 与边 AB相切于点D,交线段 OC于点 E.作 EP ED,交射线 AB于点 P, 交射线 CB于点 F. (1) 求证 : ADE AEP. (2) 设 OA=x,AP=y, 求y关于x的函数解析式, 并写出它的定义域 . (3) 当 BF=1时 , 求线段 AP的长 . 解:(1) 连结 OD. 根据题意 , 得 OD AB, ODA=90 , ODA= DEP. 又由OD=OE, 得 ODE= OED. ADE= AEP, ADE AEP. (2) ABC=90 ,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90 , OD BC, 53xOD,

9、54xAD, OD=x53,AD=x54. AE=xx53=x58. ADE AEP, AEADAPAE, xxyx585458. xy516 (8250x). (3) 当 BF=1时，若 EP交线段 CB的延长线于点F, 如图 3(1) ，则 CF=4. ADE= AEP, PDE= PEC. FBP= DEP=90 , FPB= DPE, F=PDE, F= FEC, CF=CE. 5-x58=4, 得85x. 可求得2y, 即 AP=2. 若 EP交线段 CB于点 F, 如图 3(2), 则 CF=2. 类似 , 可得 CF=CE. 5-x58=2, 得815x. 可求得6y, 即 AP

10、=6. 综上所述 , 当 BF=1时, 线段 AP的长为 2 或 6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例 4（20XX年上海）如图 , 在 ABC中, BAC=90 ,AB=AC=22, A的半径为1. 若点 O在 BC边上运动 (与点 B、 C不重合 ), 设 BO=x, AOC的面积为y. (1) 求y关于x的函数解析式, 并写出函数的定义域. P D E A C B 3(2) O F O F P D E A C B 3(1) A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 47 页学习必备欢迎下载FABCED(

11、2) 以点 O为圆心 ,BO 长为半径作圆O,求当 O与 A相切时 , AOC 的面积 . 解:(1) 过点 A作 AH BC,垂足为 H. BAC=90 ,AB=AC=22, BC=4,AH=21BC=2. OC=4-x. AHOCSAOC21, 4xy (40x). (2) 当 O与 A外切时 , 在 RtAOH 中 ,OA=1x,OH=x2, 222)2(2)1(xx. 解得67x. 此时 , AOC 的面积y=617674. 当 O与 A内切时 , 在 RtAOH 中 ,OA=1x,OH=2x, 222)2(2)1(xx. 解得27x. 此时 , AOC 的面积y=21274. 综上所

12、述 , 当 O与 A相切时 ,AOC的面积为617或21.专题二：动态几何型压轴题动态几何特点- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题1（09 年徐汇区） 如图，ABC中，10ACAB，12BC，点D在边BC上，且4BD，以点D为顶点作BED

13、F，分别交边AB于点E，交射线CA于点F（ 1）当6AE时，求AF的长；（ 2）当以点C为圆心CF长为半径的C和以点A为圆心AE长为半径的A相切时，求BE的长；（ 3）当以边AC为直径的O与线段DE相切时，求BE的长 题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形 24.5(4)例六 ,典型的一线三角 (三等角 )问题 ,试题在原题的基础上改编出第一小题,当 E 点在 AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题 )的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系 (相切问题 )的存在性的研究形成了第三小题区分度测精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

14、- - - - - -第 4 页，共 47 页学习必备欢迎下载A B C D E O l AA B C D E O l F 量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解 区分度性小题处理手法 1直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程2圆与圆的位置关系的存在性( 相切问题 ) 的处理方法：利用d=Rr(rR) 建立方程3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. 略解 解：（ 1） 证明CDFEBDBECDBDCF，代入数据得8CF， AF=2（2）设 BE=x,则,10ACd,10xAE利用（ 1）的方法xCF32，相切时分外切和内切两种情况考虑：外切，

15、xx321010，24x；内切，xx321010，17210x100x当C和A相切时，BE的长为24或17210（ 3）当以边AC为直径的O与线段DE相切时，320BE类题一个动点： 09 杨浦 25 题（四月、五月）、09 静安 25 题、两个动点：09 闸北 25 题、 09 松江 25 题、 09 卢湾 25 题、 09 青浦 25 题（二）线动问题在矩形 ABCD 中，AB3，点 O 在对角线 AC 上，直线 l 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直线 l 过点 B，把 ABE 沿直线 l 翻折，点A 与矩形 ABCD 的对称中心A重合，求BC 的长；(2)若直线

16、l 与 AB 相交于点F，且 AO 41AC ，设 AD 的长为x，五边形 BCDEF 的面积为S.求 S 关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；探索：是否存在这样的x，以 A 为圆心，以x43长为半径的圆与直线 l 相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由 题型背景和区分度测量点本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系 (相切问题 )的存在性的研究形成了区分度测量点二 区分度性小题处理手法 1找面积关系的函数解析式，规则图形套

17、用公式或用割补法，不规则图形用割补法2直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. 略解 (1) A 是矩形 ABCD 的对称中心 A BAA 21AC AB A B，AB 3AC 6 33BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 47 页学习必备欢迎下载 (2) 92xAC，9412xAO，)9(1212xAF，xxAE492AF21AESAEFxx96)9(22，xxxS96)9(322xxxS968127024 (333x)若圆 A 与直线 l 相切，则941432

18、xx，01x( 舍去) ，582x3582x不存在这样的x，使圆 A与直线 l 相切 类题 09 虹口 25 题（三）面动问题如图，在ABC中，6,5 BCACAB，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持BCDE，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG. （1）试求ABC的面积；（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设xAD，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长 题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形24.5(4)例七 ,典型的共角相似三角形问

19、题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当 D 点在 AB 边上运动时，正方形DEFG整体动起来，GF 边落在 BC 边上时， 恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二 区分度性小题处理手法 图3-5图3-4图3-3图3-2图3-1KFGEKFGEFGEUKFGEFGECAACACACACBDBDBDBDBD1找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1 、 3

20、-2 重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况2正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3 、3-4 、3-5 用方程思想解决3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. 略解 解：（ 1）12ABCS.FGECABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 47 页学习必备欢迎下载（2）令此时正方形的边长为a，则446aa，解得512a. （3）当20x时，22253656xxy，当52x时，2252452455456xxxxy. （4）720,1125,73125AD. 类题 改编自 09 奉贤 3 月考 25 题，将条

21、件（2）“ 当点 M、 N 分别在边BA、CA 上时” ,去掉，同时加到第（ 3）题中 .已知：在 ABC 中， AB=AC， B=30o，BC=6，点 D 在边 BC上，点 E 在线段 DC 上， DE=3，DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边 BA、 CA 分别相交于点M、N（1）求证： BDM CEN；（2）设 BD=x，ABC 与 DEF 重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（3）当点 M、N 分别在边BA、CA 上时 ,是否存在点D，使以 M 为圆心 , BM 为半径的圆与直线EF 相切 , 如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由例 1：已知 O 的

22、弦 AB 的长等于 O 的半径，点C 在 O 上变化（不与A、B）重合，求 ACB 的大小. 分析：点C 的变化是否影响ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下 ,如何变化呢？可能在优弧 AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C 在优弧 AB 上变化时， ACB 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半， 因此很自然地想到它的圆心角，连结 AO、BO，则由于 AB=OA=OB ，即三角形ABC 为等边三角形，则AOB=600 ，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=21AOB=300 ，当点 C 在劣弧 AB 上变化时，ACB 所对的弧

23、是优弧AB ， 它的大小为优弧AB 的一半，由 AOB=600得，优弧 AB 的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出： ACB=1500 ，因此，本题的答案有两个，分别为300 或 1500. 反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。变式 1：已知 ABC 是半径为2 的圆内接三角形，若32AB，求 C 的大小 . 本题与例1 的区别只是AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上A B F D E M N C OBACOBAC精选学习资料 - - -

24、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 47 页学习必备欢迎下载面一致 ,在三角形AOB 中,232121sinOBABAOB,则06021AOB,即0120AOB, 从而当点 C 在优弧 AB 上变化时，C 所对的弧是劣弧AB ， 它的大小为劣弧AB 的一半，即060C, 当点 C 在劣弧 AB 上变化时，C 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧 AB 的一半，由 AOB=1200 得，优弧 AB 的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：C=1200，因此060C或 C=1200. 变式 2: 如图 ,半经为 1

25、的半圆 O 上有两个动点A、B，若 AB=1 ，判断 AOB 的大小是否会随点A、B 的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。四边形 ABCD 的面积的最大值。解：（ 1）由于AB=OA=OB ，所以三角形AOB为等边三角形，则AOB=600 ，即 AOB 的大小不会随点A、 B 的变化而变化。（ 2）四边形ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB 的面积为43，而三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和为)(212121BGAFBGOCAFOD，又由梯形的中位线定理得三角形AOD 与三角形 BOC 的面积之和EHBGAF)(21，要四边形ABCD 的面积最大，

26、只需EH 最大，显然EHOE=23，当 ABCD 时， EH=OE，因此四边形 ABCD 的面积最大值为43+23=433. 对于本题同学们还可以继续思考:四边形 ABCD 的周长的变化范围. 变式 3:如图 ,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为 A、B，另一个顶点C 在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市2000 年考题）分析：要使三角形ABC 的面积最大，而三角形ABC 的底边 AB 为圆的直径为常量， 只需 AB 边上的高最大即可。过点 C 作 CD AB 于点D，连结 CO，由于 CDCO，当 O 与 D 重合， CD=C

27、O ，因此，当CO 与 AB 垂直时，即 C 为半圆弧的中点时，其三角形ABC 的面积最大。本题也可以先猜想，点C 为半圆弧的中点时，三角形ABC 的面积最大，故只需另选一个位置C1（不与 C 重合），证明三角形ABC 的面积大于HGFEODCBAABCDOOCBADABCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 47 页学习必备欢迎下载三角形 ABC1 的面积即可。如图显然三角形ABC1 的面积 =21AB C1D，而 C1D C1O=CO, 则三角形ABC1 的面积 =21AB C1D21AB C1O=三角形ABC 的面积

28、,因此 ,对于除点 C外的任意点C1,都有三角形ABC1 的面积小于三角形三角形ABC 的面积 ,故点 C 为半圆中点时 ,三角形 ABC 面积最大 . 本题还可研究三角形ABC 的周长何时最大的问题。提示： 利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC 的周长最大， AB 为常数，只需 AC+BC 最大，而（ AC+BC ）2=AC2+CB2+2AC BC=AB2+4 ABC 的面积，因此 ABC 的面积最大时，AC+BC 最大，从而 ABC 的周长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见方法有 : 一、特殊探路，一般推证例 2：（ 20XX 年广州市中考题第11

29、 题）如图， O1 和 O2 内切于 A，O1 的半径为3， O2 的半径为 2，点 P 为 O1 上的任一点 （与点 A 不重合） ，直线 PA 交 O2 于点 C，PB 切 O2 于点 B，则PCBP的值为（A）2（B）3（C）23（D）26分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P 满足PB AB 时，可以通过计算得出PB=221322BCAP=BP AB，因此BC=62462288162822BPABBPAB，在三角形BPC 中， PC=36222BCBP，所以，PCBP=3选（ B）当然，本题还可以根据三角形相似得BPAPPCBP

30、，即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进一步证明对一般情况也成立。例 3：如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边 BC=4，OABC 于 O,点 E 和点 F 分别在边AB、AC 上滑动并保持AE=CF, 但点 F 不与 A、C 重合，点E 不与 B、A 重合。判断OEF 的形状，并加以证明。CDABC1OCO1O2PBACO1O2PBAFEOCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 47 页学习必备欢迎下载判断四边形AEOF 的面积是否随点E、F 的变化而变

31、化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值. AEF 的面积是否随着点E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E、F 分别为 AB、AC 中点，显然有 EOF为等腰直角三角形。还可发现当点E 与 A 无限接近时，点F 与点 C 无限接近，此时 EOF 无限接近 AOC ，而 AOC 为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得出EOF 为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE 与 OF相等吗？ EOF 为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形OFC 与三角形OEA 全等，一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目

32、的条件可得：OA=OC ， OCF=OAE ，而 AE=CF ，则 OEA OFC，则 OE=OF，且 FOC=EOA ，所以 EOF=EOA+ AOF= FOC+FOA=900 ，则 EOF 为直角，故 EOF 为等腰直角三角形。二、动手实践，操作确认例 4（20XX 年广州市中考试题）在O 中， C 为弧 AB 的中点， D 为弧 AC 上任一点（与A、C 不重合），则（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB与 AD+DB 的大小关系不确定分析 :本题可以通过动手操作一下,度量AC、CB、AD 、DB 的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（ C）

33、例 5：如图， 过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD，延长 CA 和CD 与大圆分别交于点B、E，则下列结论中正确的是（* ）（A）ABDE（B）ABDE（C）ABDE（D）ABDE,的大小不确定分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）本题也可以可以证明得出结论，连结 DO、EO，则在三角形OED 中，由于两边之差小于第三边，则OEODDE, 即 OBOA3). 动点 M，N 同时从 B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1 厘米 /秒.过 M 作直线垂直于AB，分别交AN ，CD 于 P，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

34、- - - - -第 13 页，共 47 页学习必备欢迎下载Q. 当点 N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒. (1)若 a=4 厘米， t=1 秒，则 PM= 厘米；(2)若 a=5 厘米，求时间t，使 PNB PAD ，并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形 PQDA ，梯形 PQCN 的面积都相等 ?若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由. 评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、

35、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t 的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t 与 a 的函数关系式，再利用t 的范围确定的a 取值范围 . 第(4)小题是题 (3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体，探求函数最值问题例 4 (20XX 年吉林省 )如图 9， 在边长为82cm 的正方形ABCD 中，E、 F 是对角线AC 上的两个动点，它们分别从点A、C 同时出发，沿对角线以1cm/s 的相同速度运动，过E 作 EH

36、 垂直 AC 交 Rt ACD 的直角边于H；过 F 作 FG 垂直 AC 交 RtACD 的直角边于G，连结 HG 、EB.设 HE 、EF、FG 、GH 围成的图形面积为，AE、EB、BA 围成的图形面积为这里规定：线段的面积为0).E 到达 C，F 到达 A 停止 .若 E 的运动时间为x(s) ，解答下列问题：(1)当 0X (2)若 y 是与的和，求 y 与 x 之间的函数关系式；(图 10 为备用图 ) 求 y 的最大值 . 解 (1) 以 E、F、G、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD 的边长为82，所以 AC=16 ，过 B作 BO AC 于 O， 则 OB=89 ，

37、 因为 AE=x ， 所以， 因为 HE=AE=x ， EF=16-2x ， 所以-2x) ，当时，4x=x(16-2x) ，解得 x1=0(舍去 )，x2=6，所以当x=6 时，(2)当 0x8时， y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，当 8x16 时， AE=x ，CE=HE=16-x ，EF=16-2(16-x)=2x-16，所以-x)(2x-16) ， 所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 当 0x8时， y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当 x=5 时， y 的最大值为50. 当 8x16 时， y=-2x2+52x-256

38、=-2(x-13)2+82，所以当 x=13 时， y 的最大值为82. 综上可得， y 的最大值为82. 评析本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、 画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用. 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图 1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B。求抛物

39、线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y2）若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；连接 OA 、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP 与OAB 相似？若存精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 47 页学习必备欢迎下载yxEQPCBOA在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。分析 :1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、 D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形

40、要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。练习 1、已知抛物线2yaxbxc经过5 3(33)02PE，及原点(0 0)O，（1）求抛物线的解析式（由一般式得抛物线的解析式为225 3

41、33yxx）（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC是否存在点Q，使得OPC与PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三例 1 题图图 1 OAByxOAByx图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 47 页学习必备欢迎下载角形OPCPQBOQPOQA，之间存在怎样的

42、关系？为什么？练习 2、如图， 四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上， 点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE，且3tan4EDA。（1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。练 习3 、 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 二 次

43、函 数2(0 )ya xb xc a的图象与x轴交于AB，两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和( 312)，（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为223yxx）（2）若直线:(0)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似？若存在， 求出该直线的函数表达式及点D的坐标； 若不存在，请说明理由；( 10)(3 0),(0 3)ABC，（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明），并写出此时点

44、P的横坐标px的取值范围O x y 练习 2 图C B E D AO y C lx B A 1x练习 3 图oC B A x练习 4 图P y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 47 页学习必备欢迎下载练习 4 (2008 广东湛江市 ) 如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点C（1）求 A、B、C 三点的坐标（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点P，求四边形ACBP 的面积（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA

45、 相似若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，90ACB，点AC，的坐标分别为( 3 0)A，(10)C，3tan4BAC（1）求过点AB，的直线的函数表达式；点( 3 0)A，(10)C ，B(13)，3944yx（2） 在x轴上找一点D， 连接DB， 使得ADB与ABC相似 （不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如PQ，分别是AB和AD上的动点，连接PQ， 设A PDQm， 问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由参考答案例题 、解 :由题意可设抛物线的解析式为

46、1)2x(ay2抛物线过原点，1)20(a0241a. 抛物线的解析式为1)2x(41y2,即xx41y2如图 1,当 OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CDOB, 由1)2x(4102得4x, 0x21, B(4,0),OB 4. D 点的横坐标为6 将 x6 代入1)2x(41y2,得 y 3, D(6, 3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时 D 点的坐标为 (2,A C O B x y EAOABPyx图 2 COABDyx图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

47、 - -第 17 页，共 47 页学习必备欢迎下载3), 当 OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为 (2,1) 如图 2，由抛物线的对称性可知:AO AB, AOB ABO. 若 BOP 与 AOB 相似 ,必须有 POB BOA BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于A 点,显然 A(2, 1) 直线 OP 的解析式为x21y由xx41x212, 得6x,0x21.P(6, 3) 过 P 作 PEx 轴,在 RtBEP 中,BE2,PE 3, PB134. PB OB, BOP BPO, PBO 与 BAO 不相似 , 同理可说明在对称轴左边

48、的抛物线上也不存在符合条件的P 点 . 所以在该抛物线上不存在点P,使得 BOP 与 AOB 相似 . 练习 1、解：（ 1）由已知可得：333755 30420ababc解之得，25 3033abc，因而得，抛物线的解析式为：225 333yxx（ 2）存在设Q点的坐标为()mn，则225 333nmm，要使,BQPBOCPPBQCPOC，则有3333nm，即225 3333333mmm解之得，122 32mm，当12 3m时，2n，即为Q点，所以得(23 2)Q，要使,BQPBOCPQBPOCCP，则有3333nm，即225 3333333mmm精选学习资料 - - - - - - - -

49、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 47 页学习必备欢迎下载解之得，123 33mm，当3m时，即为P点，当13 3m时，3n，所以得(3 33)Q，故存在两个Q点使得OCP与PBQ相似Q点的坐标为(232) (3 33)，（ 3）在RtOCP中，因为3tan3CPCOPOC所以30COP当Q点的坐标为(23 2)，时，30BPQCOP所以90OPQOCPBQAO因此，OPCPQBOPQOAQ，都是直角三角形又在RtOAQ中，因为3tan3QAQOAAO所以30QOA即有30POQQOAQPBCOP所以OPCPQBOQPOQA，又因为QPOPQAOA，30POQAO

50、Q，所以OQAOQP练习 2 解：（ 1）OCD与ADE相似。理由如下：由折叠知，90CDEB，1290，139023.，又90CODDAE，OCDADE。（2）3tan4AEEDAAD，设 AE=3t ，则 AD=4t 。由勾股定理得DE=5t 。O x y 图 1 C B E D 3 1 2 A 图 2 O x y C B E D P M G l N A F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 47 页学习必备欢迎下载358OCABAEEBAEDEttt。由（ 1）OCDADE，得OCCDADDE，845tCDtt，1

51、0CDt。在DCE中，222CDDECE，222(10 )(5 )(55)tt，解得 t=1 。OC=8 ，AE=3 ，点 C 的坐标为（ 0，8），点 E 的坐标为（ 10，3），设直线 CE 的解析式为y=kx+b，1038kbb，解得128kb，182yx，则点 P 的坐标为（ 16，0）。（3）满足条件的直线l 有 2 条： y=2x+12 ，y=2x12。如图 2：准确画出两条直线。练习 3 解：（ 1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和( 312)，由1242393212.baabcab，解得123.abc，此二次函数的表达式为223yxx（ 2）假设存在直线:(0

52、)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合），使得以BOD，为顶点的三角形与BAC相似在223yxx中，令0y，则由2230xx，解得1213xx，x C D l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 47 页学习必备欢迎下载( 10)(3 0)AB，令0x，得3y(0 3)C，设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DEx轴于点E点B的坐标为(3 0)，点C的坐标为(0 3)，点A的坐标为( 1 0)，4345.ABOBOCOBC，22333 2BC要使BODBAC或BDOBAC，已有BB，则只需BDBOBCBA，或.

53、BOBDBCBA成立若是，则有3 3 29 244BO BCBDBA而45OBCBEDE，在RtBDE中，由勾股定理，得222229 224BEDEBEBD解得94BEDE（负值舍去）93344OEOBBE点D的坐标为3 94 4，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得3k满足条件的直线l的函数表达式为3yx或求出直线AC的函数表达式为33yx，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3yx此时易知BODBAC， 再求出直线BC的函数表达式为3yx 联立33yxyx，求得点D的坐标为3 94 4，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21

54、 页，共 47 页学习必备欢迎下载若是，则有342 23 2BO BABDBC而45OBCBEDE，在RtBDE中，由勾股定理，得222222(2 2)BEDEBEBD解得2BEDE（负值舍去）321OEOBBE点D的坐标为(12)，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得2k满足条件的直线l的函数表达式为2yx存在直线:3lyx或2yx与线段BC交于点D（不与点BC，重合），使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似，且点D的坐标分别为3 94 4，或(12)，（ 3）设过点(0 3)(1 0)CE，的直线3(0)ykxk与该二次函数的图象交于点P将点(10)E ，的坐标代入3ykx中，求

55、得3k此直线的函数表达式为33yx设点P的坐标为(33)xx，并代入223yxx，得250xx解得1250xx，（不合题意，舍去）512xy，点P的坐标为(512)，此时，锐角PCOACO又二次函数的对称轴为1x，点C关于对称轴对称的点C的坐标为(2 3)，当5px时，锐角PCOACO；当5px时，锐角PCOACO；当25px时，锐角PCOACOx B E A O C 1xP CP y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 47 页学习必备欢迎下载练习四解： （1）令0y，得210x解得1x令0x，得1y A( 1,0)B(

56、1,0)C(0,1)（ 2） OA=OB=OC=1BAC =ACO=BC O=45 APCB ，PAB=45过点 P 作 PEx轴于 E，则APE 为等腰直角三角形令 OE=a，则 PE=1aP( ,1)a a点 P 在抛物线21yx上 211aa解得12a，21a（不合题意，舍去） PE=3四边形ACB P 的面积S=12AB?OC+12AB?PE=112 123422(3) 假设存在PAB=BAC =45 PAAC MGx轴于点 G，MGA=PAC =90在 RtAOC 中， OA=OC=1AC =2在 RtPAE 中， AE=P E=3AP= 3 2设 M 点的横坐标为m，则 M 2(,

57、1)m m点 M 在y轴左侧时，则1m() 当AMG PCA 时，有AGPA=MGCA AG=1m，MG=21m即2113 22mm解得11m（舍去）223m（舍去）() 当MAG PCA 时有AGCA=MGPAG M 图 3 C B y P A oxG M 图 2 C B y P A ox精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 47 页学习必备欢迎下载即21123 2mm解得：1m（舍去）22m M( 2,3) 点 M 在y轴右侧时，则1m() 当AMG PCA 时有AGPA=MGCA AG=1m，MG=21m2113 22

58、mm解得11m（舍去）243mM4 7(,)3 9() 当MAGPCA 时有AGCA=MGPA即21123 2mm解得：11m（舍去）24m M(4,15)存在点M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似M 点的坐标为( 2,3)，4 7(,)3 9，(4,15)练习 5、解：（ 1）点( 3 0)A，(10)C ，4AC，3tan434BCBACAC，B点坐标为(13)，设过点AB，的直线的函数表达式为ykxb，由0( 3)3kbkb得34k，94b直线AB的函数表达式为3944yx（ 2）如图 1，过点B作BDAB，交x轴于点D，在RtABC和RtADB中，BACDABRtRt

59、ABCADB，D点为所求又4tantan3ADBABC，ABCDQOyx图 1 P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 47 页学习必备欢迎下载49tan334CDBCADB134ODOCCD，1304D，（ 3）这样的m存在在RtABC中，由勾股定理得5AB如图 1，当PQBD时，APQABD则133413534mm，解得259m如图 2，当PQAD时，APQADB则133413534mm，解得12536m例 1(2008 福建福州 )如图，已知 ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P、Q 同时从 A、B 两点出发，

60、分别沿AB、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s，点 Q 运动的速度是2cm/s，当点 Q 到达点C 时， P、Q 两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当 t2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由；（2）设 BPQ 的面积为S（cm2），求 S与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时， APR PRQ？分析 :由 t2 求出 BP 与 BQ 的长度 ,从而可得 BPQ 的形状 ; 作 QEBP 于点 E,将 PB,QE 用 t 表示 ,由BPQS=21 BP QE 可得S 与 t 的函数关系式 ;先证得四边

61、形EPRQ 为平行四边形,得 PR=QE, 再由 APR PRQ,对应边成比例列方程,从而 t 值可求 . 解:(1)BPQ 是等边三角形 , 当 t=2 时,AP=21=2,BQ=2 2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4, 即 BQ=BP. 又因为 B=600,所以 BPQ 是等边三角形 . (2)过 Q 作 QEAB, 垂足为 E,由 QB=2t,得 QE=2t sin600=3t, 由 AP=t, 得 PB=6-t, 所以BPQS=21 BP QE=21(6-t)3t=23t2+33t；(3)因为 QRBA, 所以 QRC=A=600， RQC=B=600，又因为 C=600, 所

62、以 QRC 是等边三角形,这时 BQ=2t, 所以 QR=RC=QC=6-2t. 因为 BE=BQ cos600=21 2t=t,AP=t, 所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以 EP=QR,又 EPQR,所以四边形EPRQ 是平行四边形 ,所以 PR=EQ=3t, 由 APR PRQ,得到RQPRPRAP,即tttt2633,解得 t=56, ABCDQOyx图 2 P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 47 页学习必备欢迎下载所以当 t=56时, APR PRQ. 点评 : 本题是双动点问题. 动

63、态问题是近几年来中考数学的热点题型. 这类试题信息量大, 对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高; 解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题, 挖掘运动、变化的全过程 , 并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静 , 静中求动 .例 2(2008 浙江温州 )如图，在RtABC中，90A，6AB，8AC，DE，分别是边ABAC，的中点， 点P从点D出发沿DE方向运动， 过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（ 1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是

64、否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由分析 :由 BHD BAC, 可得 DH; 由 RQC ABC, 可得y关于x的函数关系式;由腰相等列方程可得x的值 ; 注意需分类讨论. 解： （1）RtA，6AB，8AC，10BC点D为AB中点，132BDAB90DHBA，BBBHDBAC，DHBDACBC，5128103ACBCBDDH（2）QRAB，90QRCACC，RQCABC，RQQCABBC，10610yx，即y关于x的函数关系式为：365yx（3）存在 .按腰相等分三种情况：当PQPR时，过点P作PMQR于M，则QMRM1290，290C

65、，1C84cos 1cos105C，45QMQP，1364251255x，185x当PQRQ时，312655x，6x当PRQR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，11224CRCEACtanQRBACCRCA，A B C D E R P H Q M 2 1 A B C D E R P H Q A B C D E R P H Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 47 页学习必备欢迎下载366528x，152x综上所述，当x为185或 6或152时，PQR为等腰三角形点评 :建立函数关系式,实质就是把函数y

66、用含自变量x 的代数式表示 ;要求使PQR为等腰三角形的x的值 , 可假设PQR为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形的腰,故还须分类讨论.五、以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。例 1. 在Rt ABC中， AC 5，BC 12， ACB 90， P是 AB边上的动点（与点A、B不重合）， Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与 AC不平行时， CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线

67、段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03 年广州市中考）分析：不论P 、Q如何运动，PCQ都小于 ACB即小于90，又因为PQ与 AC不平行，所以PQC不等于 90，所以只有CPQ为直角， CPQ 才可能是直角三角形，而要判断CPQ是否为直角三角形，只需构造以CQ为直径的圆， 根据直径所对的圆周角为直角，若 AB边上的动点P在圆上，CPQ就为直角，否则 CPQ就不可能为直角。以 CQ为直径做半圆D。当半圆D与 AB相切时，设切点为M ，连结 DM ，则 DM AB ，且 AC AM 5 所以MBABAM1358设CDx，则DMxDBx，12在Rt DMB中，DBDMMB222，即12

68、8222xx解得：x103，所以CQx2203即当CQ203且点 P运动到切点M的位置时， CPQ为直角三角形。当20312CQ时，半圆D 与直线AB有两个交点，当点P 运动到这两个交点的位置时，CPQ为直角三角形。当0203CQ时， 半圆 D与直线 AB相离， 即点 P在半圆 D之外，0 CPQ 90，此时， CPQ不可能为直角三角形。所以，当20312CQ时， CPQ可能为直角三角形。例 2. 如图 2，直角梯形ABCD 中， AD BC ，B90，AD BC DC ，若腰 DC上有动点P，使 APBP ，则这样的点有多少个？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

69、- - - - - - -第 27 页，共 47 页学习必备欢迎下载分析：由条件AP BP ，想到以 AB为直径作圆，若CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90，两个交点即为点P；若 CD与圆相切，切点即是点P；若 CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使 AP BP 。解：如图3，以 AB为直径做 O ，设 O与 CD切于点 E 因为 B A90所以 AD 、 BC为 O的切线即 AD DE ， BC CE 所以 AD BC CD 而条件中AD BC DC ，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变， AD与 BC的长度缩短，此时AD BC DC ，点 O到 CD的距离 OE 小于 O的半径

70、 OE ，CD与 O相交，AP B1和AP B2是直径 AB所对的圆周角，都为90，所以交点PP12、即为所求。因此，腰DC上使 AP BP的动点 P有 2 个。例 3. 如图 5， ABC的外部有一动点P（在直线BC上方），分别连结PB 、PC ，试确定 BPC与 BAC的大小关系。（02 年广州市中考）分析： BPC与 BAC之间没有联系，要确定BPC与 BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造ABC的外接圆，问题就会迎刃而解。（1）当点 P在 ABC外接圆外时，如图 5，连结 BD ，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，BPC BDC 又因为 B

71、DC BAC ，所以 BPC BAC ；（2）当点 P在 ABC外接圆上时，如图6，根据同弧所对的圆周角相等，BPC BAC ；（3）当点 P在 ABC外接圆内时，如图7，延长 BP交 ABC外接圆于点D，连结CD ，则 BPC BDC ，又 BDC BAC ，故 BPC BAC 。综上，知当点P在 ABC外接圆外时，BPC BAC ；当点 P在 ABC外接圆上时，BPC BAC ；当点 P在 ABC外接圆内时，BPC BAC 。专题七、 2010 中考数学热点专题突破训练动点问题动点试题是近几年中考命题的热点，与一次函数、二次函数等知识综合，构成中考试题的压轴题.动点试题大致分为点动、线动、

72、图形动三种类型.动点试题要以静代动的解题思想解题.下面就中考动点试题进行分析 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 47 页学习必备欢迎下载例 1（20XX年福建晋州）如图，在平行四边形ABCD 中， AD=4cm ，A=60 ，BD AD.一动点P从 A出发，以每秒1cm的速度沿 ABC 的路线匀速运动，过点P作直线 PM ，使 PM AD.1当点 P运动 2 秒时，设直线PM与 AD相交于点E，求 APE的面积；2当点 P运动 2 秒时，另一动点Q也从 A出发沿 AB 的路线运动，且在 AB上以每秒1cm的速度匀速运

73、动，（当P、 Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动. ）过 Q作直线 QN ，使 QN PM ，设点Q运动的时间为t 秒（0t 8），直线PM与 QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S（ cm2）. （1）求 S关于 t 的函数关系式；（2）求 S的最大值 . 1. 分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.由题意知，点P为动点，所走的路线为：ABC速度为 1cm/s。而 t=2s ，故可求出AP的值，进而求出 APE的面积 .略解：由AP=2 ，A=60 得AE=1 ，EP= . 因此. 2. 分析：两点同时运

74、动， 点 P在前，点 Q在后，速度相等， 因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在 AB边上运动后，又到BC边上运动 . 因此 PM 、QN截平行四边形ABCD 所得图形不同 . 故分两种情况：（1） 当 P 、 Q都在 AB上运动时，PM 、 QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形. 此时 0t 6.当 P在 BC上运动，而Q在 AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG. 不规则图形面积用割补法. 此时 6t 8.略解：当P、 Q同时在 AB边上运动时， 0t 6.AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函数PG=(t+2),

75、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 47 页学习必备欢迎下载FG=AG-AF= (t+2)-t=1.S =(QF+PG) FG=t+(t+2)1=t+. 当 6t 8时，S=S平行四边形 ABCD-SAQF-SGCP. 易求 S平行四边形 ABCD=16,SAQF=AF QF=t2. 而 SCGP=PC PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得PG=(10- t). SCGP=PC PG=(10- t) (10-t)=(10-t)2. S=16-t2-(10-t)2=(6 t 8分析 : 求面积的最

76、大值时, 应用函数的增减性求. 若题中分多种情况, 那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论. 此题分两种情况, 那么就分别求出0t 6 和 6t 8时的最大值 . 0t 6 时, 是一次函数 , 应用一次函数的性质, 由于一次项系数是正数, 面积 S随 t 的增大而增大. 当 6 t 8时, 是二次函数 , 应用配方法或公式法求最值.略解：由于所以 t=6 时， S最大；由于 S(6 t 8, 所以 t=8 时， S最大=6. 综上所述 , 当 t=8 时， S最大=6. 例 2 （20XX年锦州市） 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为菱形，点 C的坐标为 (4,

77、0)，AOC=60 ，垂直于x 轴的直线l 从 y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形 OABC 的两边分别交于点M 、N(点 M在点 N的上方 ). 1. 求 A、B两点的坐标；2. 设OMN 的面积为S，直线l运动时间为t 秒(0t 6)，试求S与 t 的函数表达式；3. 在题 (2) 的条件下， t 为何值时， S的面积最大？最大面积是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 47 页学习必备欢迎下载1. 分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标 .解：四边形OABC 为菱

78、形，点C的坐标为 (4,0) ，OA=AB=BC=CO=4.如图，过点A作 AD OC于 D.AOC=60 ， OD=2 ， AD=. A(2, ) ，B（6, ）. 2. 分析：直线l在运动过程中，随时间t 的变化， MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一.直线l从 y 轴出发，沿x 轴正方向运动与菱形OABC 的两边相交有三种情况：0t 2 时，直线l与 OA 、 OC两边相交 ( 如图 ). 2t 4 时，直线l与 AB 、 OC两边相交 ( 如图 ).4t 6 时，直线l与 AB 、 BC两边相交 (

79、 如图 ).略解： MN OC ，ON=t. MN=ONtan60=. S=ON MN=t2. S=ON MN= t 2=t. 方法一：设直线l与 x 轴交于点H.MN 2-(t-4)=6-t, S=MN OH=(6-t)t=-t2+3t. 方法二：设直线l与 x 轴交于点H.S=SOMH-SONH，S=t 2-t (t-4)= - t2+3t. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 47 页学习必备欢迎下载方法三：设直线l与 x 轴交于点H.S=, =42=8,=2(t -2)= t-2, =4(t-4)=2t-8,=(6

80、-t)(6-t)=18-6t+t2, S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t. 3. 求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值.略解：由2知，当 0t 2 时，=22=2；当 2t 4 时，=4；当 4t 6 时，配方得S=-(t-3)2+，当 t=3 时，函数S-t2+3t 的最大值是. 但 t=3 不在 4t 6 内，在4t 6 内，函数S-t2+3t 的最大值不是. 而当 t 3 时，函数 S-t2+3t 随 t 的增大而减小， 当 4t 6 时，S4. 综上所述，当t=4 秒时，=4. 练习 1 （ 20XX年南安市）如

81、图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边 AD在 x 轴上，点A在原点，AB3，AD5若矩形以每秒2 个单位长度沿x 轴正方向作匀速运动同时点P从 A点出发以每秒1 个单位长度沿ABC D的路线作匀速运动当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动求 P点从 A点运动到 D点所需的时间；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 47 页学习必备欢迎下载设 P点运动时间为t （秒） . 当 t 5 时，求出点P的坐标；若OAP的面积为s，试求出s 与 t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）解: （ 1

82、）P点从 A点运动到 D点所需的时间（3+5+3）1 11（秒） . （2）当 t 5 时， P点从 A点运动到BC上，此时OA=10,AB+BP=5 ，BP=2. 过点 P作 PE AD于点 E，则 PE=AB=3,AE=BP=2. OE=OA+AE=10+2=12.点P的坐标为（ 12，3）分三种情况：当 0t 3 时，点 P在 AB上运动，此时OA=2t,AP=t ，s=2t t= t2. 当 3t 8时，点 P在 BC上运动，此时OA=2t，s=2t 3=3 t.当 8t 11 时，点 P在 CD上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP= t，DP=(AB+BC+CD) -( AB+B

83、C+CP)=11- t. s=2t (11 - t)=- t2+11 t. 综上所述， s 与 t 之间的函数关系式是：当 0t 3 时，s= t2；当 3t 8时， s=3 t ；当 8t 11 时， s=- t2+11 t . 练习 2如图，边长为4 的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE（1）当CD=1 时，求点E的坐标；（2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由解： (

84、1) 正方形 OABC 中， 因为 ED OD ， 即ODE=90， 所以 COD=90 - CDO ， 而 EDB=90 - CDO ，所以 COD =EDB. 又因为 OCD= DBE=90 ，所以 CDO BED.所以，即，BE=，则. 因此点E的坐标为（ 4，）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 47 页学习必备欢迎下载(2) 存在S的最大值由于CDOBED，所以，即，BE=tt2. 4(4 t t2)故当t=2 时，S有最大值101、（ 09 包头）如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中

85、点（ 1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 /秒的速度由B 点向 C 点运动， 同时， 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A点运动若点 Q 的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点P的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（ 2） 若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？解：（ 1）1t秒，3 13BPCQ厘米，10AB厘米，点D为AB的中点，5BD厘米又8P

86、CBCBPBC，厘米，8 35PC厘米，PCBD又ABAC，BC，BPDCQP （4 分）PQvv， BPCQ，又BPDCQP，BC，则45BPPCCQBD，点P，点Q运动的时间433BPt秒，515443QCQvt厘米 /秒 （7 分）（ 2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，A Q C D B P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 47 页学习必备欢迎下载由题意，得1532 104xx，解得803x秒点P共运动了803803厘米8022824，点P、点Q在AB边上相遇，经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇 （1

87、2 分）2、（09 齐齐哈尔）直线364yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为每秒1 个单位长度， 点P沿路线OBA运动（ 1）直接写出AB、两点的坐标；（ 2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（ 3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、 、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标解（ 1）A（8，0） B（0，6） 1 分（ 2）86OAOB，10AB点Q由O到A的时间是881（秒）点P的速度是61028（单位 /秒） 1 分当P在线段OB上运动（或03t ）时，2OQtO

88、Pt，2St 1分当P在线段BA上运动（或38t ）时，6102162OQtAPtt，, 如图，作PDOA于点D，由PDAPBOAB，得4865tPD， 1分21324255SOQPDtt 1分（自变量取值范围写对给1 分，否则不给分）（ 3）8 2455P， 1分1238 2412 241224555555IMM， 3分3（09 深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8 分别与 x 轴， y 轴相交于A，B 两点，点Px A O Q P B y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 47 页学习必备欢迎下载（0，

89、 k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心， 3 为半径作 P. （1）连结 PA，若 PA=PB，试判断 P 与 x轴的位置关系，并说明理由；（2）当 k 为何值时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：（ 1） P 与 x 轴相切 .直线 y=2x 8与 x 轴交于 A（4，0），与 y 轴交于 B（0， 8）， OA=4，OB=8.由题意， OP=k， PB=PA=8+k.在 RtAOP 中， k2+42=(8+ k)2， k=3， OP 等于 P 的半径， P 与 x 轴相切 .（ 2）设 P 与直线 l 交于 C，D 两点， 连结 PC，PD当圆

90、心 P 在线段 OB 上时 ,作 PECD 于 E. PCD 为正三角形，DE=12CD=32，PD=3，PE=3 32. AOB=PEB=90 ， ABO=PBE， AOB PEB，3 342,=4 5AOPEABPBPB即，3 15,2PB3 1582POBOPB，3 15(0,8)2P，3 1582k.当圆心 P 在线段 OB 延长线上时 ,同理可得P(0,3 1528)，k=3 1528，当 k=3 152 8 或 k=3 1528 时，以 P 与直线 l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.4（09 哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是

91、菱形，点A 的坐标为（ 3， 4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H（1）求直线AC 的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线ABC 方向以2 个单位秒的速度向终点C 匀速运动，设PMB 的面积为S（S0），点 P 的运动时间为t 秒，求 S与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 47 页学习必备欢迎下载（3）在（ 2）的条件下，当t 为何值时， MPB 与 BCO 互为余角，并求此时直

92、线OP 与直线 AC所夹锐角的正切值解：5（09 河北）在RtABC 中， C=90 ，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 47 页学习必备欢迎下载的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动伴随着P、Q 的运动， DE 保持垂直平分PQ，且交 PQ 于点 D，交折线QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点Q 到达点 B 时停止运动，点P

93、也随之停止设点P、Q 运动的时间是t 秒（ t 0）（1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值解：（ 1） 1，85；（ 2）作 QFAC 于点 F，如图 3， AQ = CP= t，3APt 由AQFABC，22534BC，得45QFt45QFt 14(3)25Stt，即22655Stt （

94、 3）能当 DEQB 时，如图4DE PQ， PQQB，四边形QBED 是直角梯形此时 AQP=90 由 APQ ABC，得AQAPACAB，即335tt 解得98t如图 5，当 PQBC 时， DE BC，四边形QBED 是直角梯形此时 APQ =90 由 AQP ABC，得AQAPABAC，即353tt 解得158t（ 4）52t或4514t点 P 由 C 向 A 运动， DE 经过点 C连接 QC，作 QGBC 于点 G，如图 6PCt ，222QCQGCG2234(5)4(5)55tt由22PCQC，得22234(5)4(5)55ttt，解得52t点 P 由 A 向 C 运动， DE

95、经过点 C，如图 7A C B P Q E D 图 16 A C B P Q E D 图 4 A C B P Q E D 图 5 A C(E) B P Q D 图 6 G A C(E) B P Q D 图 7 G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 47 页学习必备欢迎下载22234(6)(5)4(5)55ttt，4514t】6（09 河南）如图，在RtABC中，9060ACBB ，2BC点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转， 交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋

96、转角为（ 1）当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（ 2）当90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由解（ 1） 30，1； 60，1.5 ；4 分（2）当 =900时，四边形EDBC是菱形 . =ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四边形EDBC是平行四边形 . 6 分在 RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2, A=300.AB=4,AC=23. AO=12AC=3 . 8 分在 RtAOD中，A=300，AD=2. BD=2. BD=BC. 又四边形EDBC是平行四边形，四边形EDBC是菱形10 分

97、7（09 济南）如图，在梯形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2个单位长度的速度向终点C运动； 动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（ 1）求BC的长（ 2）当MNAB时，求t的值（ 3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形解： （1）如图， 过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形3KHAD1 分在RtABK中，2sin 454242AKAB2cos454242BKAB 2分在RtCDH中，由勾股定理得，22543HCO E C B D A l O C B A （备

98、用图）A D C B M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 47 页学习必备欢迎下载43310BCBKKHHC 3 分（2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形MNABMNDG3BGAD1037GC 4 分由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，DGMNNMCDGC又CCMNCGDCCNCMCDCG 5 分即10257tt解得，5017t 6 分（3）分三种情况讨论：当NCMC时，如图，即102tt103t 7 分当MNNC时，如图，过N作NEMC于E解法一：由等腰三角形三线合一

99、性质得11102522ECMCtt在RtCEN中，5cosECtcNCt又在RtDHC中，3cos5CHcCD535tt解得258t 8分解法二：90CCDHCNEC ，NECDHC（图）A D C B K H （图）A D C B G M N A D C B M N （图）（图）A D C B M N H E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 47 页学习必备欢迎下载NCECDCHC即553tt258t 8 分当MNMC时，如图，过M作MFCN于F点 .1122FCNCt解法一：（方法同中解法一）132cos1025t

100、FCCMCt解得6017t解法二：90CCMFCDHC ，MFCDHCFCMCHCDC即1102235tt6017t综上所述，当103t、258t或6017t时，MNC为等腰三角形 9分8（09 江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点F46ABBC，60B.（ 1）求点E到BC的距离；（ 2） 点P为线段EF上的一个动点， 过P作PMEF交BC于点M， 过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx. 当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是

101、否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由. 解（ 1）如图 1，过点E作EGBC于点G 1 分E为AB的中点，A D E B F C 图 4（备用）A D E B F C 图 5（备用）A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M （第 25 题）（图）A D C B H N M F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页，共 47 页学习必备欢迎下载122BEAB在RtEBG中，60B，30BEG 2 分2

102、2112132BGBEEG，即点E到BC的距离为3 3 分（2）当点N在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变PMEFEGEF，PMEGEFBC，EPGM，3PMEG同理4MNAB 4 分如图 2，过点P作PHMN于H，MNAB，6030NMCBPMH，1322PHPM3cos302MHPM则35422NHMNMH在RtPNH中，222253722PNNHPHPMN的周长 =374PMPNMN 6分当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形当PMPN时，如图3，作PRMN于R，则MRNR类似，32MR23MNMR 7分MNC是等边三角形，3MCMN此时，61 32

103、xEPGMBCBGMC 8分当MPMN时，如图4，这时3MCMNMP此时，61353xEPGM图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F（P）C M N G G R G 图 1 A D E B F C G 图 2 A D E B F C P N M G H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 42 页，共 47 页学习必备欢迎下载当NPNM时，如图5，30NPMPMN则120PMN，又60MNC，180PNMMNC因此点P与F重合，PMC为直角三角形tan301MC

104、PM此时，6 1 14xEPGM综上所述，当2x或 4 或53时，PMN为等腰三角形 10 分9（09 兰州）如图，正方形ABCD中，点A 、B的坐标分别为（0，10），（ 8，4），点C在第一象限动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒(1) 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2) 求正方形边长及顶点C的坐标；(3) 在（ 1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

105、(4) 如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由解：（ 1） Q （1， 0） 1 分点 P 运动速度每秒钟1 个单位长度2 分（ 2） 过点B作 BFy 轴于点F，BEx轴于点E， 则BF 8，4OFBE1046AF在 RtAFB 中，228610AB 3 分过点 C 作 CG x轴于点 G ，与FB的延长线交于点H90 ,ABCABBC ABF BCH6,8BHAFCHBF8614,8412OGFHCG所求 C 点的坐标为（ 14，12） 4 分（ 3） 过点 P 作 PM y轴于点 M，PNx轴于点 N

106、，则 APM ABFAPAMMPABAFBF1 068tA MM P3455AMtPMt，3410,55PNOMtONPMt 设 OPQ 的面积为 S（平方单位）213473(10)(1)5251010Stttt （0t 10 ） 5 分说明 :未注明自变量的取值范围不扣分310a0 当474710362 ()10t时，OPQ 的面积最大 6分此时 P 的坐标为（9415，5310） 7分ABCDEFGHMNPQOxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 43 页，共 47 页学习必备欢迎下载（ 4）当53t或29513t时，OP 与 P

107、Q 相等 9分10（09 临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边 BC 的中点90AEF，且 EF 交正方形外角DCG的平行线CF 于点 F，求证： AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M，连接ME ，则AM=EC，易证AMEECF，所以AEEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边 BC 的中点”改为“点E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2） 小华提出

108、： 如图 3， 点 E 是 BC 的延长线上 （除 C 点外）的任意一点， 其他条件不变， 结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由解：（ 1）正确（1 分）证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME （2 分）BMBE45BME ，135AME CF是外角平分线，45DCF ，135ECF AMEECF90AEBBAE ，90AEBCEF ，BAECEFAMEBCF（ASA）（5 分）AEEF（6 分）（ 2）正确（7 分）证明：在BA的延长线上取一点N使ANCE，连接NE（8 分）BNBE45NPCE 四边形ABCD是正方形，ADB

109、EDAEBEANAECEFANEECF（ASA）（10 分）AEEF（11 分）11（ 09 天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中9024AOBOAOB ，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D（）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OBx，OCy，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使B DOB，求此时点C的坐标解（）如图，折叠后点B与点A重合，则ACDBCD. A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 3 A D F

110、 C G E B 图 2 A D F C G E B M A D F C G E B N x y B O A x y B O A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 44 页，共 47 页学习必备欢迎下载设点C的坐标为00mm，. 则4BCOBOCm. 于是4ACBCm. 在RtAOC中，由勾股定理，得222ACOCOA，即22242mm，解得32m. 点C的坐标为302，. 4 分（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B, 则B CDBCD. 由题设OBxOCy，则4B CBCOBOCy，在RtB OC中，由勾股定理，得222B CO

111、COB. 2224yyx，即2128yx 6分由点B在边OA上，有02x，解析式2128yx02x为所求 . 当02x时，y随x的增大而减小，y的取值范围为322y. 7分（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B，且B DOB. 则OCBCB D. 又CBDCB DOCBCBD，有CBBA. RtRtCOBBOA. 有OBOCOAOB，得2OCOB. 9分在RtB OC中，设00OBxx，则02OCx. 由（）的结论，得2001228xx，解得00084 5084 5xxx，. 点C的坐标为0 8 516，. 10 分x y B O A 图（ 1）A B C D E F M N 精选学习资料

112、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 45 页，共 47 页学习必备欢迎下载12（09 太原）问题解决如图（ 1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN当12CECD时，求AMBN的值类比归纳在图（ 1）中，若13CECD，则AMBN的值等于；若14CECD，则AMBN的值等于；若1CECDn（n为整数），则AMBN的值等于（用含n的式子表示）联系拓广如图（ 2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点CD，重合），压平后得到折痕MN，设111ABCEmBCmCDn，则AMBN的值

113、等于（用含mn，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BMEMBE，由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称MN垂直平分BEBMEMBNEN， 1 分四边形ABCD是正方形，902ADCABBCCDDA,112CECEDECD，设BNx，则NEx，2NCx在RtCNE中，222NECNCE22221xx解得54x，即54BN 3 分在RtABM和在RtDEM中，222AMABBM，222DMDEEM，2222AMABDMDE 5 分设AMy，则2DMy，2222221yy解得14y，即14AM 6 分15AMBN 7 分方法二：同方法一，54BN 3 分如图（ 1 2），

114、过点N做NGCD，交AD于点G，连接BEADBC，四边形GDCN是平行四边形NGCDBC同理，四边形ABNG也是平行四边形54AGBN90MNBEEBCBNM， 方法指导：为了求得AMBN的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2 图（ 2）N A B C D E F M N 图 （1-1）A B C D E F M N 图（ 1-2 ）A B C D E F M G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 46 页，共 47 页学习必备欢迎下载90NGBCMNGBNMEBCMNG， ，在BCE与NGM中9 0E B CM N GB CN

115、 GCN G M， BCENGMECMG， 分114AMAGMGAM5，=4 6 分15AMBN 7 分类比归纳25（或410）；917；2211nn 10 分联系拓广2222211n mnn m 12 分三年共同点： 特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；求直线、抛物线解析式；探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。07 08 09 动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线

116、、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表示动三角形面积函数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含60的特殊菱形；AOB是底角为30的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。利用 a、t 范围， 运用不等式求出a、t 的值。观察图形构造特征适当割补表示面积动点按到拐点时间分段分类画出矩形必备条件的图形探究其存在性直角梯形是特殊的（一底角是 45）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点D、E 是定点；动线段PF 长度是定值， PF=OA）通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 47 页，共 47 页