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1、优秀学习资料欢迎下载第五讲一元一次方程 基础知识 一. 一元一次方程: 只含有一个未知数, 而且这个未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程 . 二. 应用题中常见类型及关系式: 1. 行程问题 : 距离 = 速度时间 ; 2. 工程问题 : 工作总量 = 工作效率工作时间; 3. 浓度问题 : 溶质量 = 浓度溶液量; 4. 复制和百分率问题:增量 = 基本量增长率; 5. 分解与合成问题: 含量 = 含有率体积 ; 6. 质量问题 : 质量 = 密度体积 ; 7. 作功问题 : 功 = 功率时间 ; 例题精析 例 1. 解方程783223xxbxa解: 0783223xbbxaax73
2、2823baxba 1. 当,0823时ba823732babax是方程唯一的解. 2. 当有时即时,823,0823baba1723732ababbaba (1) 当07320823,12,01823bababaabba时即时一切实数都是方程的解. (2) 当时01823abba, 方程无解 . 例 2. 解方程1213xxx解: 先求使绝对值为零的x值, 它们是, 13xx或它们将x轴分成三个区间: 1. 当3.2213,3xxxxx时是方程的解 . 2. 当22.2213,13xxxx时, 一切满足13x的实数都是方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
3、- - - - -第 1 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载程的解 . 3. 当11,2213,1xxxxxx与时条件矛盾 , 所以方程无解 . 综上所述 :满足 -3 x1 的一切实数x都是方程的解 . 例 3. 一个人在河中划船, 在标有A游标处遗失了携带的救生圈, 他继续逆流划行了20分钟后 , 发现救生圈失落, 于是倒转船头寻找, 结果在B处找到 , 如果AB的距离 2千米 , 那么河水的速度是多少? 解: 设船速y米/ 分, 河水速度为x米/ 分. 依题意 : xxyxy200020200020xxyy2000200040xxyy5050050yyyx50x所以 , 水流速度是50
4、米/ 分.例 4. 某人沿着电车路旁行走,留心到每隔6 分钟 , 有一辆电车从他身后开到前面去, 每隔两分钟 , 一辆电车由他对面开过来. 若该的电车的速度始终是均匀的, 问每隔几分钟电车起点站开出一辆电车? 解 1: 设每隔x分钟从电车站开过一辆电车, 则人走 6 分钟 , 追来的电车比人晚x分钟 ,追来的电车走x6分钟 , 人走了2 分钟 , 迎面开 来的电车走了2x分钟 , 人行速度与电车的速度比为 :2266xx3x所以 , 每隔 3 分钟从电车起点站发一辆电车. 解 2: 设每x分钟从电车站发一辆车, 又设电车速度为1v, 人行速度为2v, 则有 : )2()(6) 1()(2121
5、121xvvvxvvv(1) - (2) 21122, 048vvvv, 代入 (1) 得3x. 所以 , 每隔 3 分钟发一辆电车. 例 5, 一个工人加工一批零件, 限期完成 ,若每小时做10 个,就可以超过任务3个 , 若每小时加工11 个, 就可以提前1 小时完成 , 他的任务是加工多少个零件?限多少小时 ? 解: 设他的任务是加工x个零件 , 则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载111103xx77x810377所以 , 他的任务是加工77 个零件 , 限制 8 小时 . 例 6. 甲
6、, 乙两台打麦机,甲机工作效率是乙机的2 倍, 先用甲机打完麦子的53,然后用乙机全部打完 , 所需的时间比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多11 天, 问分别用一台机器打完全部麦子各需多少天? 解 1: 分析 , 如以时间为基准找等量关系, 可用“全量 =部分量之和”或其推论. 设甲打完全部麦子用x天, 则乙打完全部麦子用x2天. 设全部工作量为1, 则甲打完全部麦子的53所用的时间为x53. 乙打其余的麦子所用的时间为x2)531(, 而甲 , 乙两台机器同时打完全部麦子所用的时间为xx2111, 所以有 : xxxx2111112)531 (53解得15x(天 ), 即甲机打完全部麦子
7、需用15 天, 乙机需用302x( 天). 解 2: 如以甲 , 乙两机工作效率为基准找等量关系, 可设x为甲机打完全部麦子所需要天数 , 则乙打完全部麦子所需天数为x2.x1是甲机的工作效率,x21为乙机工作的效率,xxx23211是甲 , 乙两机同时工作的效率. 如果再能把到两机同时工作的效率表示出来, 那么方程也就列出来了. 依照题意知 , 甲, 乙两机同时工作打完全部麦子所用的时间为115453112152153xxxx所以甲 , 乙共同工作的效率为1154531xx由此可列方程为115453123xxx, 解得15x( 天), 即甲机打完全部麦子需15 天, 乙机打完全部麦子用302
8、x天. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载例 7. 甲容器中有纯酒精11 千克 , 乙容器中有水15 千克 . 先将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器 , 使酒精溶于水中, 第二次将乙容器中一部分溶液倒入甲容器, 这样甲容器中纯酒精含量为62.5%, 乙容器中纯酒精含量为25%.问第二次从乙容器倒入甲容器的溶液多少千克? 解: 分析要求出第二次从乙容器倒入甲容器有多少千克, 只须求出第一次从甲容器倒入乙容器的纯酒精数即可. 设第一次由甲容器倒入乙容器x千克酒精 , 第二次由乙容器倒入甲容器y千克溶液
9、. 由已知得 : %2515xx5x( 千克 ) 同时甲容器情况, 得: %5 .6211%2511yxyx于是有 : yy5.215246y( 千克 ) 所以 , 第二次从乙容器中倒入甲容器6 千克溶液 . 例 8. 从两个重量分别为m千克和n千克 . 且含铜百分数不同的合金上, 切下重量相等的两块 . 把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起熔炼后, 两者含铜百分数相同, 问切下的重量是多少千克? 解: 设切下x千克 , 又设重m千克的铜合金中含铜百分数为1q, 重n千克的铜合金含铜百分数为2q, 依题意有 : mqxmxqnqxnxq2121)()(解得 : nmmnx( 千克 ) 即切
10、下的重量为nmmn千克 . 例 9. 一队旅客乘坐汽车, 要求每辆汽车的乘客人数相等. 起初每辆汽车乘22 个人 ,结果剩下一个人未上车; 如果有一辆汽车空车开走, 那么所有乘客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32 个人 , 求起初有多少辆汽车?有多少名旅客 ? 解: 设起初有汽车m辆, 开走一辆空车后, 平均每辆车所乘的旅客为n名. 由于32, 2 nm, 依题 意有 : )1(122mnm123221122mnmn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载因为n为自然数 , 所以1
11、23m为整数 . 因此242,23111mmmm或即或. 当45,2nm时不合题意 , 舍去 . 当23,24nm时这时旅客人数为529) 124(23) 1(mm( 人) 答: 起初有汽车24 辆, 有乘客 529 人. 例 10. 若进货价降低8%,而售出价不变 , 那么利润 ( 按进货价而定) 可由目前的p%,增加到pp求)%,10(. 解: 设原进货价为M, 则下降8% 后的进货价为MM92.0%)81 (, 由售价不变 ,列方程 : )10(01.0192.0)01.01(pMpM去M得: )10(01.0192.001.01pp解得15p. 练习 1. 解关于x的方程 : (1)
12、2)()2(mxnnnxm(2) )(1)(1axbbxa),(不为零ba2. 设122)123(,031)21(nxyyyx求3. 若ba,为定值 , 关于x的一次方程6232bkxak无论k取何值 , 它的根总是1, 求ba,的值 . 4. 一列火车通过长1500 米的大桥需要36 秒, 它通过桥头的哨兵需要4 秒, 求火车的长度? 5. 在环行公路上有一公共汽车站, 每隔一定时间向两个方向同时发出一辆车, 某人在环行公路上行走 , 每隔 3分钟就有一辆公共汽车与他迎面相遇, 每隔 6分钟就有一辆公共汽车从他背后越过 , 问 车站每隔几分钟向各个方向发一辆车? 6. 在甲 , 乙两个容器中
13、分别装有 20 升和 16 升浓度不同的盐水, 如果先从甲 , 乙容器各倒出a升盐水)160(a, 再分别倒入对方的容器内搅匀, 结果两容器的盐水浓度相同, 求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载a的值 . 7. 现在是 10 点11 点之间的某一时刻, 在这之后6分钟分针的位置与在这之前3 分钟时针的位置反向成一直线, 求现在时刻 ? 8. 甲, 乙两人今年年龄之和为63, 当甲的年龄是乙现在年龄的一半时, 乙恰是甲现在的年龄 , 求 甲, 乙两人今年各多少岁? 9. 一小船由A港到 B港顺流需行
14、6 小时 , 由 B港到 A港逆流需行8 小时 . (1) 若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时? (2) 当小船到B港时 , 发现一救生圈在途中掉落在水中, 立即返回 ,1 小时后找到救生圈,问救生圈是何时掉入水中的? 10. 某厂去年总产值比总支出多500 万元 , 而今年计划的总产值比总支出多950 万元 .已知今年计划总产值比去年增加15%,而计划总支出比去年减少10%,求今年计划的总产值和总支出 ? 练习解答 1. 解. (1) 2)()2(mxnnnxm2)()(nmxnm当0nm时, 方程有唯一解nmx; 当0nm时, 一切实数都是方程的解, (2) )(1)(1axbb
15、xa22)(baxba当baxba,0时是方程唯一的解; 当0ba时, 一切实数是方程的解. 2. 解 由031)21(2yyx知: 31613121yxyyx即, 所以1) 1()6112313()123(1212nnxy3. 解:1x总是方程的根 , 将1x代入原方程得: 61232bkakakb213)4(因为对于一切k方程总有根1, 所以有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载4213021304baab即4. 解: 设火车长为x米, 依题意列方程: 4361500xx5 .187x( 米)
16、答: 火车长为187.5 米. 5. 解 1： 设某人行走速度为x米/ 分, 汽车的速度为y米/ 分, 每隔t分钟各发一辆车.依题意列方程 : )2(66) 1(33tyxytyyx解得xy3, 代入 (1) 得4t. 答: 汽车站每4 分钟发一辆车. 解 2：设每隔x分钟车站发一辆车, 则人走 6 分钟 , 从后边越过的汽车走了)6(x分钟 ;人走 3 分钟 , 从前面开来的汽车走了)3(x分钟 , 人与汽车速度之比为; 3366xx4x答: 车站每隔4 分钟发一辆车. 6. 解. 设甲容器中盐水浓度为m, 乙容器中盐水的浓度为n, 则16)16(20)20(annaanma)(80)(9n
17、mnma988980anm7. 解: 设现在时刻为10 点x分, 再过 6 分钟是 10 点)6(x分. 因为分种每走1 小格 (1 分), 时针走121小格 ,10 - 12 之间共 10 小格 , 在这个时间3分钟前 , 时针到 12之间共有)12312(10x小格 , 而时针与分针反向成一条直线, 它们之间共30 小格 (30 分钟 ), 所以有30)6()12312(10xx15x答: 现在是 10 点 15 分. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载8. 解 设甲今年为x岁, 则乙今年为)
18、63(x岁，并由题意知：当甲为263x岁时 , 乙正好为x岁, 以年龄差为等量关系, 列方程为263)63(xxxx366327xx答: 甲今年 27 岁, 乙今年 36 岁. 9. 解 (1) 设小船由A漂流到 B需要x小时 , 由题意知 : (以船速为等量 ) xx18116148x答: 小船由 A漂流到 B要 48 小时 . (2) 设小船由A开船后x小时救生圈掉落水中, 以题意知 : 1)48181()48161()6(x5x答: 小船从 A开船后 5 小时时救生圈掉落水中. 10. 解设今计划总产值为x万元 , 则去年总产值是%)151 (x, 今年计划的总支出是)950(x万元 , 所以去年的总支出为500%)151 (%)101()950(xx13509502300xx答: 今年计划总产值为2300 万元 , 计划总支出为1350 万元 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
