《八年级数学上册 第13章 全等三角形小结与复习课件 （新版）华东师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学上册 第13章 全等三角形小结与复习课件 （新版）华东师大版（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 小结与复习第13章 全等三角形要点梳理考点讲练课堂小结课后作业1命题判断某一件事情的语句叫做 .注意两点“判断”和“语句”所谓判断就是要作出肯定或否定的回答，一般形式：“如果，那么”“若，则”“是”等，但是，如“连结A、B两点”就不是命题；所谓语句，要求完整，且是陈述句，不是疑问句、祈使句等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题2命题的组成每个命题都是由 和 两部分组成的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项命题一般写成“如果，那么”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论条件结论要点梳理要点梳理命题3命题的真假命题有真有假，其中正确的命题叫做 ；错误的命题叫做
2、 .事实上，要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例要说明一个命题是真命题需根据基本事实和定理证明4基本事实与定理经过长期的实践总结出来，并把它们作为判断其他的命题真假的原始依据，这样的真命题叫做 .从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做 .真命题假命题基本事实定理5判定三角形全等主要有五种方法：(1)全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相等的两个三角形 ；(2)三边对应相等的两个三角形 (简记为：S.S.S.)；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个
3、三角形 (简记为：A.S.A.)；(4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为：A.A.S.)；(5)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为：S.A.S.)若是直角三角形，则除了上述五种方法外，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为：H.L.)全等全等全等6证全等三角形的思路7全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角形的面积相等，周长相等；(3)全等三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)相等8等腰三角形的性质和判定(1)性质：等腰三角形的两底角相等，简写成“等边对等角”(2)判定：如果一个三角形有两个角相等，
4、那么这两个角所对的边也相等简称“等角对等边”，它的逆定理应该是“等边对等角”9等边三角形(1)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形10尺规作图把只能使用 这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图没有刻度的直尺和圆规11常见的基本作图(1)作 等于已知线段；(2)作一个角等于角；(3)作已知角的平分线；(4)过已知点作已知直线的 ；(5)作已知线段的垂直 线12互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题13逆命题每一个命题都有
5、逆命题，只要将原命题的条件改成 ，并将结论改成 ，便可以得到原命题的逆命题一条线段已知垂线平分结论条件结论条件注意 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题但原命题正确，它的逆命题未必正确如对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题14逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 定理注意 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理如“对顶角相等”就没有逆定理逆15垂直平分线到线段两端点的距离相等的点
6、在这条线段的 . 它的逆定理是：线段垂直平分线上的点到 .注意 前面是线段垂直平分线的判定，后面是线段垂直平分线的性质16角的平分线角的平分线上的点到角的两边的距离相等它的逆定理是：到角的两边距离相等的点在 .注意 前面是角平分线的性质，后面是角平分线的判定垂直平分线上线段两端点的距离相等角的平分线上例1 下列命题中是假命题的是()A三角形的内角和是180B多边形的外角和都等于360C五边形的内角和是900D三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和考点一判断命题真假考点讲练考点讲练【解析】要说明一个命题是真命题，需要经过证明它是正确的对于A、B、D来说，都是经过证明，被认为是正确的，而五边
7、形的内角和是540，所以C不正确，故选C.C 命题这部分内容的概念多、理论性强，看似杂乱无章，其实只要抓住三点，一切问题也就迎刃而解主要是识别命题、找出命题的条件和结论、会判断命题的真假方法总结1.下列命题：两点确定一条直线；两点之间，线段最短；对顶角相等；内错角相等；其中真命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个针对训练CDFDEEFDEF角角角边边边AC=AB=BC=A= B=C=例2 如图，已知ABCDEF，请指出图中对应边和对应角.ABCFDE【解析】根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”解题.考点二全等三角形的性质 两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，
8、小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.方法总结ABCED2.如图，已知ABCAED若AB6，AC2, B25，你还能说出ADE中其他角的大小和边的长度吗？ 解：ABCAED， EB25（全等三角形对应角相等）， AC=AD=2，AB=AE=6（全等三角形对应边相等）.针对训练例3 已知：ABCDCB，ACB DBC，求证：ABCDCBABCDCB(已知）， BCCB（公共边）， ACBDBC（已知），证明：在ABC和DCB中，ABCDCB（A.S.A. ）.BCAD【解析】运用“两角和它们的夹边对应相等两
9、个三角形全等”进行判定 考点三全等三角形的判定3.已知ABC和DEF,下列条件中,不能保证ABC和DEF全等的是( )A.AB=DE，AC=DF，BC=EF B.A= D， B= E，AC=DFC.AB=DE，AC=DF，A= D D.AB=DE，BC=EF， C= FD针对训练4.如图所示，AB与CD相交于点O, A=B，OA=OB 添加条件 ， 所以 AOCBOD 理由是 . AODCBC=D 或AOC=BODA.A.S.或A.S.A.考点四全等三角形的性质与判定的综合应用例4 如图，在ABC中，AD平分BAC,CEAD于点G,交AB于点E,EFBC交AC于点F,求证：DEC=FEC.AB
10、CDFEG【解析】欲证DEC=FEC由平行线的性质转化为证明DEC=DCE只需要证明DEG DCG.ABCDFEG证明： CEAD, AGE=AGC=90 .在AGE和AGC中，AGE=AGC，AG=AG，EAG=CAG， AGE AGC(A.S.A.). GE =GC.在DGE和DGC中，EG=CG， EGD= CGD=90 ，DG=DG， DGE DGC(S.A.S.).DEG = DCG.EF/BC, FEC= ECD， DEG = FEC. 利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很式，如：余角，补角的性质、
11、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.方法总结5.如图，OBAB，OCAC，垂足为B，C，OB=OC，BAO=CAO吗？为什么？OCBA解： AO平分BAC.理由如下： OBAB,OCAC， B=C=90. 在RtABO和RtACO中， OB=OC，AO=AO， RtABORtACO （H.L.）. BAO=CAO.针对训练考点五利用全等三角形解决实际问题例5 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ABCD【解析】将本题中实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC.ADBC.解：相等
12、，理由如下：ADBC，ADB=ADC=90.在RtADB和RtADC中，AD=AD，AB=AC， RtADB RtADC(H.L.).BD=CD.利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离，长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.方法总结6.小明想设计一种方案，测一下沼泽地的宽度AB的长度，如图所示，他在AB的垂线BM上分别取出C，D两点，使CDBC，再过D点作出BM的垂线DN，并在DN上找一点E，使A，C，E三点共线，这时所测得DE的长就是这块沼泽地的宽AB的长度，你能说明理由吗？解：
13、在ABC和EDC中，ABCEDC90，ACBECD，BCDC，根据“A.S.A.”的判定定理可以判定ABCEDC，再由全等三角形的对应边相等，可得ABDE.针对训练考点六等腰三角形的性质与判定例6 如图，在ABC中，AB=AC,BDAC于D.求证： BAC=2DBC.ABCD)1 2E【解析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角BAC的平分线，来获取角的数量关系.证明：作BAC的平分线AE,交BC于点E,如图，则AB=AC, AEBC. 2+ ACB=90 . BDAC, DBC+ ACB=90 . 2= DBC. BAC= 2DBC. 等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明
14、线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30的直角三角形的性质是证明线段之间的倍分关系的重要手段.方法总结针对训练7.如图，在ABC中，AC=BC, ACB=90,点D是AC上的一点，AE垂直BD的延长线于点E,且AE= BD.求证：BD平分ABC.ABDE)12CCFABDE)12证明：延长AE交BC的延长线于点F,如图所示.ACB=90, ACF=ACB=90.F+FAC=90, F+EBF=90.FAC=EBF.在ACF和BCD中，FAC=DBC, AC=BC,ACF=BCD, ACFBCD(ASA). AF=BD.FABDE)12在
15、AEB和FEB中，AE=FE, EB=EB,AEB=FEB, AEBFEB(S.A.S.).CAE= BD, ABE=FBE,即BD平分ABC.AE=EF.考点七等边三角形的性质与判定例7 如图，等边ABC中，点D，E，F分别同时从点A，B，C出发，以相同的速度在AB，BC，CA上运动，连结DE，EF，DF求证：DEF是等边三角形.【解析】根据等边三角形的性质得出A=B=C=60，AB=BC=CA，AD=BE=CF，进一步证得BD=EC=AF，即可证得ADFBEDCFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF=FD，即可证得DEF是等边三角形. 证明：ABC是等边三角形，A=B=C=60，AB=B
16、C=CA.AD=BE=CF，BD=EC=AF.在ADF，BED和CFE中，ADBECF,ABC,BDCEAF,ADFBEDCFE，DE=EF=FD，DEF是等边三角形.8.如图，ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE.求证：DBCEAC.证明：ABC和EDC是等边三角形，BCADCE60，BCAACDDCEACD，即BCDACE.在DBC和EAC中，BCAC，BCDACE，DCEC，DBCEAC.针对训练9.如图，ABC为等边三角形，又DEBC，EFAC，FDAB，垂足分别为E，F，D，则DEF是等边三角形吗？说明你的理由解：是
17、等边三角形理由如下：EFAC，FDAB，ABC为等边三角形，A60，ADFCFE90.AFD30，DFE60.同理可证FDEDEF60，DEF是等边三角形例8 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOCBOC的依据是()AS.S.S.BA.S.A.CA.A.S.D角平分线上的点到角两边的距离相等A 考点八尺规作图【解析】 由作法可得OMON，MCNC，OCOC，ONCOMC(S.S.S.)故选A. 作角的平分线，实际上就是平分已知角作已知角的平分线的理论依据是判定三角形全等的“S.S.S.”.方法总结针对训练10.如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明AOB=
18、AOB的依据是（）AS.A.S.BS.S.S.CA.A.S.DA.S.A.B11.如图，已知在ABC中，AB=AC（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD=BD（不写作法，但需保留作图痕迹）（2）在（1）中，连接BD，若BD=BC，求A的度数解：（1）如图所示.（2）设A=x，AD=BD，DBA=A=x，在ABD中，BDC=A+DBA=2x，又BD=BC，C=BDC=2x，又AB=AC，ABC=C=2x，在ABC中，A+ABC+C=180，x+2x+2x=180，x=36例9 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假(1)如果a0，那么ab0；(2)如果点P到线段AB两端点
19、的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上解：(1)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果ab0，那么a0.逆命题为假(2)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等其逆命题也是真命题考点九命题与逆命题【解析】写一个命题的逆命题，将命题的条件和结论交换 位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅 （1）写出一个命题的逆命题关键是分清它的条件和结论，然后将条件和结论互换.将命题的条件和结论交换位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅（2）原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，其逆命题不一定是假命题.要判断一个命题是假命题，只要举出
20、一个反例即可；而要判断一个命题是真命题，则需通过推理论证得出.方法总结针对训练12.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.解：（1）逆命题：若x2=1，则x=1是假命题.（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|是真命题.例10 如图，ABC中，ABAC6，BC4.5,分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连结BD，则BCD的周长是_10.5【解析】由题意可知过这两点的直线其实是AB边的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可以得BDAD.AC6，BC4.5，BCD的周长BDCDBC ADCDBC ACBC
21、64.5 10.5.考点十线段垂直平分线方法总结针对训练 本题集垂直平分线的画法、垂直平分线的性质、整体的思想、转化的思想于一题求线段的长，是中考的一个新的题型，希望引起读者注意13. 如图，已知ABC，直线PM是线段AC的垂直平分线，射线AP是BAC的平分线，P是两线的交点，且CP3 cm，PM2 cm，求点P到直线AB的距离及到A点的距离解：点P在线段AC的垂直平分线上，PAPC.CP3 cm，PA3 cm.AP是BAC的平分线，点P到AB的距离等于PM的长点P到AB的距离等于2 cm，到A点的距离为3 cm.考点十一角平分线例11 如图,1=2,点P为BN上的一点，PCB+ BAP=18
22、0 ，求证:PA=PC.BACN)12P【解析】由角平分线的性质易想到过点P向ABC的两边作垂线段PE，PF，构造角平分线的基本图形.EF证明:过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.BACN)12PEF1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.PE=PF, PEA=PFC=90 . PCB+ BAP=180 ,又知BAP+EAP=180 . EAP=PCB.在APE和CPF中， PEA=PFC=90 ，EAP=FCP， PE=PF， APE CPF(AAS)， AP=CP.【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取
23、BD=AB,连接PD（如图）.则有PABPDB,再证PDC是等腰三角形即可获证.ACN)12PB证明过程请同学们自行完成！D 角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法。应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.方法总结14.如图,1=2,点P为BN上的一点， PA=PC ，求证:PCB+ BAP=180 .BACN)12PEF【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.PE=PF, PEA=PFC=90 . PA=PC， PE=PF，在RtAPE和RtCPF中， RtP
24、AE RtPCF(H.L.). EAP= FCP. BAP+EAP=180 ， PCB+ BAP=180 .想一想：本题如果不给图，条件不变，请问PCB与PAB有怎样的数量关系呢？针对训练考点十二本章的数学思想与解题方法u分类讨论思想例12 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.【解析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，根据题意得 2x+x-8=20, 解得 x= , x-8= ;若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, y+8=12,
25、但4+4=812,不符合题意.故此等腰三角形的三边长分别为 根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已知条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰还是底边时，要分两种情况才能使答案不致缺漏，同时，求出答案后要和三角形的内角和定理及三角形三边关系对照，若不符合，则答案不成立，要舍去，这样才能保证答案准确.15.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.解：若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.故这个三角形的周长为14或16.方法总结针对训练命题、定理等腰三角形全等三角形等腰三角形的性质与判定线段的垂直平分线的性质定理及逆定理作线段、作角、作角平分线、作垂线、作线段的垂直平分线三角形的全等全等三角形的判定：（S.A.S.、A.S.A.、A.A.S.、S.S.S.、H.L.）尺规作图全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等;课堂小结课堂小结逆命题与逆定理等边三角形的性质与判定角平分线性质定理及逆定理
