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1、精品资料欢迎下载二次函数与四边形一二次函数与四边形的形状例 1.(浙江义乌市 ) 如图,抛物线223yxx与 x 轴交 A、B两点(A点在 B点左侧),直线 l 与抛物线交于 A、C两点,其中 C点的横坐标为 2(1)求 A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式;(2)P是线段 AC 上的一个动点,过P点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点,求线段 PE 长度的最大值;(3)点 G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点 F,使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由练习 1.(河南省实验区 ) 23 如图,对称
2、轴为直线72x的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4)(1)求抛物线解析式及顶点坐标;(2)设点 E( x, y )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF 的面积S与 x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;当平行四边形 OEAF 的面积为 24时, 请判断平行四边形 OEAF是否为菱形?是否存在点 E,使平行四边形OEAF 为正方形?若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由A 72xB(0,4) A(6,0) E F xyO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
3、第 1 页,共 18 页精品资料欢迎下载练习 2. (四川省德阳市)25. 如图, 已知与 x轴交于点(10)A ,和(5 0)B,的抛物线1l的顶点为(3 4)C, 抛物线2l与1l关于 x轴对称, 顶点为C(1)求抛物线2l的函数关系式;(2)已知原点O,定点(0 4)D,2l上的点 P 与1l上的点 P 始终关于x 轴对称,则当点 P 运动到何处时,以点DOPP, , ,为顶点的四边形是平行四边形?(3)在2l上是否存在点 M ,使ABM是以 AB为斜边且一个角为30的直角三角形?若存, 求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由练习 3.(山西卷)如图,已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(
4、 4 0)A,( 2 0)B,(0 8)E,(1)求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式;(2)设抛物线1C的顶点为 M ,抛物线2C与 x轴分别交于CD,两点 (点 C 在点 D 的左侧), 顶点为 N , 四边形 MDNA的面积为 S若点 A,点 D 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点M ,点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向上运动,直到点 A与点 D 重合为止求出四边形MDNA 的面积 S与运动时间 t之间的关系式,并写出自变量t 的取值范围;(3)当 t为何值时,四边形 MDNA 的面积 S有最大值,并求出此最大值;(4
5、)在运动过程中,四边形MDNA 能否形成矩形?若能,求出此时 t的值;若不能,请说明理由二、已知三个定点,再找一个定点构成平行四边形(平面内有三个点满足)543211 2 3 4 5 5 4 3 2 1 AEBC1O2l1lxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精品资料欢迎下载1. 【08 湖北十堰】 已知抛物线baxaxy22与x轴的一个交点为 A(-1,0),与 y 轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x轴的另一个交点 B 的坐标;当点 C 在以 AB 为直径的 P 上时,求抛物线的解析式;坐标
6、平面内是否存在点M ,使得以点 M 和中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在 ,请求出点 M 的坐标;若不存在 ,请说明理由2. 【09 浙江湖州】已知抛物线22yxxa(0a)与y轴相交于点A,顶点为M.直线12yxa分别与x轴,y轴相交于BC,两点,并且与直线AM相交于点N. (1)填空:试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标,则MN,;(2)如图,将NAC沿y轴翻折,若点N的对应点N恰好落在抛物线上,AN与x轴交于点D,连结CD,求a的值和四边形ADCN的面积;(3)在抛物线22yxxa(0a)上是否存在一点P,使得以PACN, , ,为顶点的四边形是平行四边形?
7、若存在,求出P点的坐标;若不存在,试说明理由. 二、已知两个定点,再找两个点构成平行四边形第( 2)题x y B C O D A M N Nx y B C O A M N 备用图(第 2 题)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精品资料欢迎下载确定两定点连接的线段为一边,则两动点连接的线段应和已知边平行且相等)1【09 福建莆田】 已知,如图抛物线23(0)yaxaxc a与 y 轴交于 C点,与 x 轴交于 A、B两点,A点在 B点左侧。点 B的坐标为 (1,0),OC=30B (1)求抛物线的解析式; (2)若点
8、 D是线段 AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD 面积的最大值: (3)若点 E在 x 轴上,点 P在抛物线上。 是否存在以 A、C、E、P为顶点且以 AC为一边的平行四边形 ?若存在,求点 P的坐标;若不存在,请说明理由2.【09 福建南平】 已知抛物线:xxy22121(1)求抛物线1y的顶点坐标 . (2)将抛物线1y向右平移 2 个单位,再向上平移1 个单位,得到抛物线2y,求抛物线2y的解析式 . (3)如下图,抛物线2y的顶点为 P,x轴上有一动点 M,在1y、2y这两条抛物线上是否存在点N,使 O(原点)、P、M、N 四点构成以 OP 为一边的平行四边形,若存在,求出N 点的
9、坐标;若不存在,请说明理由 .两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时,则这条线段可能为平行四边形得边或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精品资料欢迎下载对角线1【07 浙江义乌】如图,抛物线223yxx与 x 轴交 A、B两点( A点在 B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2(1)求 A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式;(2)P 是线段 AC 上的一个动点,过P 点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点,求线段 PE长度的最大值;(3)点 G 抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F,使
10、 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由2【09辽宁抚顺】已知: 如图所示,关于x的抛物线2(0)yaxxc a与x轴交于点( 2 0)A,、 点( 6 0 )B,与 y 轴交于点 C(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;(2)在抛物线上有一点D ,使四边形 ABDC 为等腰梯形,写出点 D 的坐标,并求出直线AD 的解析式;(3)在(2)中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点M ,抛物线上有一动点 P ,x轴上有一动点Q是否存在以AMPQ、 、为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请
11、说明理由1 如图,抛物线y12x2 x32与 x 轴相交于A、B 两点,顶点为P(1)求点 A、 B 的坐标;B A O C y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精品资料欢迎下载(2)在抛物线是否存在点E,使 ABP 的面积等于ABE 的面积,若存在,求出符合条件的点E 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出所有符合条件的点F 的坐标2如图,抛物线与x轴交于A(1x,0)、B(2x, 0)两点,且12xx,与y轴交于点0, 4C,
12、其中12xx,是方程24120xx的两个根。(1)求抛物线的解析式;(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MNBC,交AC于点N,连接CM,当CMN的面积最大时,求点M的坐标;(3)点4,Dk在( 1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F, 使以ADEF、 、 、为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标,若不存在,请说明理由。3 如图,抛物线23yaxbx与x轴交于AB,两点,与y轴交于 C 点,且经过点(23 )a,对称轴是直线1x,顶点是M(1)求抛物线对应的函数表达式;( 2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P
13、,使以点PACN, , ,为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设直线3yx与 y 轴的交点是D,在线段BD上任取一点E(不与BD,重合),经过A BE, ,三点的圆交直线BC于点F,试判断AEF的形状,并说明理由;(4)当E是直线3yx上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论)5 已知二次函数2yaxbxc(0a)的图象经过点(10)A ,(2 0)B,(02)C,直线xm(2m)与x轴交于点D(1)求二次函数的解析式;y x O B M N C A 28 题图O B x y A M C 1 3(第 3 题图)精选学习资料 - - -
14、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精品资料欢迎下载(2)在直线xm(2m)上有一点E(点E在第四象限),使得EDB、为顶点的三角形与以AOC、 、为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);(3)在( 2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由二二次函数与四边形的面积例 1. (资阳市) 25. 如图 10,已知抛物线 P:y=ax2+bx+c(a0) 与 x 轴交于 A、B两点( 点 A在 x 轴的正半轴上 ) ,与 y 轴交于点
15、C ,矩形 DEFG 的一条边 DE在线段 AB上,顶点 F、G分别在线段 BC 、AC上,抛物线 P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:x -3 -2 1 2 y -52-4 -520 (1) 求 A、B、C三点的坐标;(2) 若点 D的坐标为 (m,0) ,矩形 DEFG 的面积为 S,求 S与 m的函数关系,并指出m的取值范围;(3) 当矩形 DEFG 的面积 S取最大值时,连接 DF并延长至点 M ,使 FM=k DF ,若点 M不在抛物线 P上,求 k 的取值范围. 练习 1.如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点 H的坐标为( 8,0),点 N的坐标为( 6,4)(1)画出直
16、角梯形 OMNH 绕点 O旋转 180的图形 OABC ,并写出顶点 A,B,C的坐标(点 M的对应点为 A, 点 N的对应点为 B, 点 H的对应点为 C );(2)求出过 A,B,C三点的抛物线的表达式;(3)截取 CE =OF =AG =m ,且 E,F,G分别在线段 CO ,OA ,AB上,求四边形 BEFG 的面积 S与 m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积 S是否存在最小值 ?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;(4)在( 3)的情况下,四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由图 10 y
17、x O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精品资料欢迎下载练习 3.(吉林课改卷)如图,正方形ABCD 的边长为 2cm,在对称中心 O处有一钉子动点 P ,Q同时从点 A出发,点 P 沿 ABC 方向以每秒 2cm的速度运动,到点 C 停止,点Q沿 AD 方向以每秒 1cm的速度运动, 到点 D 停止 P,Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cmy(1)当 01x 时,求 y 与 x之间的函数关系式;(2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求x 值;(3)当12x时,求 y 与 x 之间的函数关
18、系式,并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ的变化范围;(4)当 02x时,请在给出的直角坐标系中画出y 与 x之间的函数图象练习 4.(四川资阳卷)如图,已知抛物线l1:y=x2-4 的图象与 x 轴相交于 A、C两点,B 是抛物线 l1上的动点 (B 不与 A、C 重合),抛物线 l2与 l1关于 x 轴对称,以 AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为 D. (1) 求 l2的解析式;(2) 求证:点 D 一定在 l2上;(3) ABCD 能否为矩形?如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由. 注:计算结果
19、不取近似值. 三二次函数与四边形的动态探究例 1.(荆门市 )28. 如图 1,在平面直角坐标系中, 有一张矩形纸片 OABC,已知 O(0,0),A(4,0),C(0,3),点 P 是 OA 边上的动点 (与点 O、A 不重合 )现将 PAB 沿 PB 翻折,得到 PDB;再在 OC 边上选取适当的点 E,将 POE 沿 PE 翻折,得到 PFE,并使直线 PD、PF 重合(1)设 P(x,0),E(0,y),求 y 关于 x 的函数关系式,并求y 的最大值;(2)如图 2,若翻折后点 D 落在 BC 边上,求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式;(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存
20、在点Q, 使PEQ 是以 PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q 的坐标B C P O D Q A B P C O D Q A y321O12x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精品资料欢迎下载例 2.(20XX年沈阳市第 26题)、已知抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,线段OB、OC 的长(OBOC)是方程 x210x160 的两个根,且抛物线的对称轴是直线x2(1)求 A、B、C 三
21、点的坐标;(2)求此抛物线的表达式;(3)连接 AC、BC,若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与点A、点 B 不重合),过点 E 作 EFAC 交 BC 于点 F,连接 CE,设 AE的长为 m,CEF 的面积为 S,求 S与 m之间的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围;(4)在( 3)的基础上试说明 S是否存在最大值,若存在,请求出 S的最大值,并求出此时点 E 的坐标,判断此时 BCE 的形状;若不存在,请说明理由例 3.(湖南省郴州 ) 27如图,矩形 ABCD 中,AB3,BC4,将矩形 ABCD 沿对角线 A 平移,平移后的矩形为EFGH(A、E、C、G 始终在同一条直线上
22、),当点 E 与 C 重时停止移动平移中EF 与 BC 交于点 N,GH 与 BC 的延长线交于点 M,EH 与DC 交于点 P,FG 与 DC 的延长线交于点Q设 S 表示矩形 PCMH 的面积, S 表示矩形 NFQC 的面积(1) S与 S 相等吗?请说明理由(2)设 AEx,写出 S和 x 之间的函数关系式,并求出x 取何值时 S有最大值,最大值是多少?(3)如图 11,连结 BE,当 AE 为何值时,ABE是等腰三角形练习 1.(07年河池市) 如图 12, 四边形 OABC 为直角梯形, A(4,0),B(3,4),C(0,4) 点M从 O出发以每秒 2 个单位长度的速度向A运动;
23、点 N 从B同时出发,以每秒1 个单位长度的速度向 C 运动其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动 过点 N 作 NP 垂直x轴于点P, 连结 AC 交 NP 于 Q,图 2 OCABxyDPEF图 1 FEPDyxBACOxNMQPHGFEDCBA图 11 QPNMHGFEDCBA图 10 图 12 yxPQBCNMOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精品资料欢迎下载连结 MQ(1)点(填 M 或 N)能到达终点;(2)求 AQM 的面积 S与运动时间 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围,
24、当 t 为何值时, S的值最大;(3)是否存在点 M,使得 AQM 为直角三角形?若存在,求出点M 的坐标,若不存在,说明理由练习 2.(江西省 ) 25实验与探究(1)在图 1,2,3 中,给出平行四边形ABCD的顶点 ABD, ,的坐标(如图所示),写出图1,2,3中的顶点C的坐标,它们分别是(5 2),;(2)在图 4 中,给出平行四边形ABCD 的顶点 ABD, ,的坐标(如图所示),求出顶点C 的坐标( C点坐标用含abcdef, , , , ,的代数式表示);归纳与发现(3)通过对图 1,2,3,4 的观察和顶点 C 的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中
25、哪个位置,当其顶点坐标为()()()()A abB cdC mnD ef,(如图 4)时,则四个顶点的横坐标acme, ,之间的等量关系为;纵坐标bdnf, , ,之间的等量关系为(不必证明);运用与推广(4)在同一直角坐标系中有抛物线2(53)yxcxc和三个点15192222GccScc,(20)Hc,(其中0c)问当c为何值时,该抛物线上存在点P ,使得以 GSHP, ,为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的P 点坐标yC()A(4 0)D,(12)B ,Ox图 1 yC()A(0)D e ,()B cd,Ox图 2 yC()A ab,()D eb,()B cd,Ox图 3 y
26、C()A ab,()D ef,()Bc d,Ox图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精品资料欢迎下载72xB(0,4) A(6,0) E F xyO 答案:一二次函数与四边形的形状例 1.解:( 1)令 y=0,解得11x或23xA(-1,0)B(3,0);将 C 点的横坐标 x=2 代入223yxx得 y=-3,C(2,-3)直线 AC 的函数解析式是 y=-x-1 (2)设 P 点的横坐标为 x(-1x2)则 P、E 的坐标分别为: P (x,-x-1),E(2( ,23)x xxP点在 E 点的上方,
27、PE=22(1)(23)2xxxxx当12x时,PE的最大值 =94(3)存在 4 个这样的点 F,分别是1234(1,0),( 3,0),(47 0),(47,0)FFFF,练习 1.解:( 1)由抛物线的对称轴是72x,可设解析式为27()2ya xk把 A、B 两点坐标代入上式,得227(6)0,27(0)4.2akak解之,得225,.36ak故抛物线解析式为22725()326yx,顶点为725(,).26(2)点( ,)E x y在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合22725()326yx,y0, y 表示点 E到 OA的距离 OA 是OEAF 的对角线,2172264()2522
28、OAESSOAyy因为抛物线与x轴的两个交点是( 1,0)的( 6,0),所以,自变量x的取值范围是 1x6根据题意,当 S = 24 时,即274()25242x化简,得271().24x解之,得123,4.xx故所求的点 E 有两个,分别为 E1(3,4),E2(4,4)点 E1(3,4)满足 OE = AE,所以OEAF 是菱形;点 E2(4,4)不满足 OE = AE,所以OEAF 不是菱形当 OAEF,且 OA = EF 时,OEAF 是正方形,此时点 E 的坐标只能是( 3,3)而坐标为( 3,3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点E,使OEAF 为正方形练习 2.解:(1)由题意
29、知点C的坐标为(34),设2l的函数关系式543211 2 3 4 5 5 4 3 2 1 AEBC1O2l1lxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精品资料欢迎下载为2(3)4ya x又点(1 0)A ,在抛物线2(3)4ya x上,2(13)40a,解得1a抛物线2l的函数关系式为2(3)4yx(或265yxx)(2)P与 P 始终关于 x轴对称,PP 与 y 轴平行设点 P 的横坐标为 m, 则其纵坐标为265mm,4OD,22654mm, 即2652mm 当265 2mm时,解得36m当2652mm时,解
30、得32m当点 P 运动到 (36 2),或 (36 2), 或(322),或(322),时,P POD,以点 DOPP, , ,为顶点的四边形是平行四边形(3)满足条件的点 M 不存在理由如下:若存在满足条件的点M 在2l上,则90AMB,30BAM(或30ABM),114222BMAB过点 M 作 MEAB于点 E,可得30BMEBAM112122EBBM,3EM,4OE点 M 的坐标为 (43),但是,当4x时,246451624533y不存在这样的点 M 构成满足条件的直角三角形练习 3. 解 (1)点( 4 0)A,点( 20)B,点(08)E,关于原点的对称点分别为(4 0)D,(2
31、 0)C,(08)F, 设抛物线2C的解析式是2(0)yaxbxc a,则16404208abcabcc,解得168abc,所以所求抛物线的解析式是268yxx(2)由( 1)可计算得点( 31)(31)MN,过点 N 作 NHAD , 垂足为 H 当运动到时刻 t时,282ADODt ,12NHt 根据中心对称的性质OAODOMON,所以四边形MDNA 是平行四边形所以2ADNSS所以,四边形 MDNA 的面积2(82 )(12 )4148Stttt 因为运动至点 A与点 D 重合为止,据题意可知 04t所以,所求关系式是24148Stt, t的取值范围是 04t精选学习资料 - - - -
32、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精品资料欢迎下载(3)781444St,( 04t)所以74t时, S有最大值814提示:也可用顶点坐标公式来求(4)在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形由(2)知四边形 MDNA 是平行四边形, 对角线是 ADMN,所以当 ADMN 时四边形 MDNA 是矩形所以 ODON 所以2222ODONOHNH 所以22420tt解之得126262tt,(舍)所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形,此时62t二二次函数与四边形的面积例 1. 解: (1)解法一:设)0(2acbxaxy,任取 x,y 的三
33、组值代入, 求出解析式2142yxx=+-,令 y=0,求出124,2xx= -=;令 x=0,得 y=-4, A、B、C三点的坐标分别是 A(2,0),B(-4 ,0) ,C(0,-4) . (3) SDEFG=12m-6m2 (0 m 2),m=1时,矩形的面积最大,且最大面积是 6 . 当矩形面积最大时, 其顶点为 D(1,0) ,G(1,-2) ,F(-2 ,-2) ,E(-2 ,0),设直线 DF的解析式为 y=kx+b, 易知, k=23, b=-23, 2233yx=-,又可求得抛物线 P的解析式为:2142yxx=+-,令2233x-=2142xx+-, 可求出3611x. 设
34、射线 DF与抛物线 P相交于点 N,则 N的横坐标为1613-,过 N作 x 轴的垂线交 x 轴于 H ,有FNHEDFDE=161233-=5619-+,点 M不在抛物线 P上,即点 M不与 N重合时,此时 k 的取值范围是 k5619-+且 k0. 说明:若以上两条件错漏一个,本步不得分. 若选择另一问题: (2) ADDGAOOC=,而 AD=1 ,AO=2 ,OC=4 ,则 DG=2 ,又FGCPABOC=, 而 AB=6 ,CP=2 ,OC=4 ,则 FG=3 ,DEFGs=DG FG=6.练习 1. 解:利用中心对称性质,画出梯形OABC A,B,C三点与 M ,N ,H分别关于点
35、 O中心对称, A(0,4),B(6,4),C (8,0)(写错一个点的坐标扣1 分)(2)设过 A,B,C三点的抛物线关系式为,抛物线过点A(0,4),则抛物线关系式为 将 B(6,4), C(8,0)两点坐标代入关系式,得AB,垂足为 G,则 sinFEGsinCAB解得所求抛物线关系式为:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精品资料欢迎下载(3) OA =4, OC =8, AF =4m , OE =8m OA (AB +OC )AFAGOE OFCE OA( 0 4) 当时,S的取最小值又 0m 4,不存在
36、 m值,使 S的取得最小值(4)当时,GB =GF ,当时,BE =BG 14 分练习 3.解 (1)当 01x 时,2APx,AQx,212yAQ APx,即2yx(2) 当12AB CDABPQSS正方形四边形时, 橡皮筋刚好触及钉子,22BPx,AQx,211222222xx,43x (3)当413x时,2AB,22PBx,AQx,2223222AQBPxxyABx,即32yx作 OEAB, E为垂足当423x时,22BPx,AQx,1OE,BEOPOEAQySS梯形梯形12211122xx32x,即32yx90180POQ或180270POQ(4)如图所示:练习 4.解 (1) 设 l
37、2的解析式为 y=ax2+bx+c(a0),l1与 x 轴的交点为 A(- 2,0),C(2,0),顶点坐标是 (0,- 4),l2与 l1关于 x 轴对称,l2过 A(- 2,0),C(2,0),顶点坐标是 (0,4), 420,420,4.abcabcc a=- 1,b=0,c=4,即 l2的解析式为 y= -x2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答) (2) 设点 B(m,n)为 l1:y=x2- 4 上任意一点,则 n= m2- 4 (*). 四边形 ABCD 是平行四边形,点A、C 关于原点 O 对称, B、D 关于原点 O 对称, 点 D 的坐标为 D(- m,- n)
38、 . 由(*)式可知,- n=-( m2-4)= -(-m)2+4,即点 D 的坐标满足 y= - x2+4, 点 D 在 l2上. (3) ABCD 能为矩形 . 过点 B 作 BHx 轴于 H,由点 B 在 l1:y=x2- 4 上,可设点 B 的坐标为 (x0,x02-4),则 OH=| x0|,BH=| x02- 4| .易知,当且仅当 BO= AO=2 时,ABCD 为矩形 . 在 RtOBH 中,由勾股定理得, | x0|2+| x02- 4|2=22,(x02- 4)( x02- 3)=0,x0= 2(舍去)、x0= 3 . 所以,当点 B 坐标为 B( 3 ,-1)或B(-3
39、, -1)时,ABCD 为矩形,此时,点 D 的坐标分别是 D(-3 ,1)、D( 3 ,321O12xy43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精品资料欢迎下载1). 因此,符合条件的矩形有且只有2 个,即矩形 ABCD 和矩形 AB CD . 设直线 AB 与 y 轴交于 E ,显然, AOEAHB,EOAO= BHAH,1223EO. EO=4- 23. 由该图形的对称性知矩形ABCD 与矩形 ABCD重合部分是菱形,其面积为S=2S ACE=212AC EO =2 12 4 (4- 2 3 )=16 - 8
40、 3 . 三二次函数与四边形的动态探究例 1.解:(1)由已知 PB 平分 APD,PE 平分 OPF,且 PD、PF 重合,则 BPE=90 OPEAPB=90 又 APBABP=90 , OPE=PBARtPOERtBPAPOBAOEAP即34xyxy=2114(4)333xxxx(0x4)且当 x=2 时,y 有最大值13(2)由已知, PAB、POE 均为等腰三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3)设过此三点的抛物线为y=ax2bxc,则1,0,1643.cabcabc1,23,21.abcy=213122xx(3)由(2)知EPB=90 ,即点 Q 与点 B 重合时满足条
41、件直线PB 为 y=x1,与 y 轴交于点 (0,1)将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0,1),该直线为 y=x1由21,131,22yxyxx得5,6.xyQ(5,6)故该抛物线上存在两点Q(4,3)、(5,6)满足条件例 2.解:( 1)解方程 x210x160 得 x12,x28点 B 在 x 轴的正半轴上,点C 在 y 轴的正半轴上,且OBOC点 B 的坐标为( 2,0),点 C 的坐标为( 0,8)又抛物线 yax2bxc 的对称轴是直线 x2 由抛物线的对称性可得点A 的坐标为( 6,0)(2)点 C(0,8)在抛物线 yax2bxc 的图象上c8,将 A(6,0)、B(
42、2,0)代入表达式,得解得所求抛物线的表达式为 yx2 x8(3)依题意, AEm,则 BE8m,OA6,OC8,AC10 EFACBEFBAC 即EF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页精品资料欢迎下载FG8mSSBCESBFE(8m) 8(8m)(8m)(8m)(88m)(8m)mm24m自变量 m 的取值范围是 0m8(4)存在理由: Sm24m(m4)28且0,当 m4 时,S有最大值, S最大值 8m4,点 E 的坐标为( 2,0)BCE 为等腰三角形例 3 解: (1)相等理由是:因为四边形ABCD、E
43、FGH 是矩形,所以,EGHEGFECNECPCGQCGMSSSSSS所以,EGHECPCGMEGFECNCGQSSSSSS即: SS (2)AB3,BC4,AC5,设 AEx,则 EC5x,34(5),55PCxMCx所以12(5)25SPC MCxx,即21212(05)255Sxxx配方得:2125()3252Sx,所以当52x时,S有最大值 3 (3) 当 AEAB3 或 AEBE52或 AE3.6时,ABE是等腰三角形练习 1 解:( 1)点 M1 分(2)经过 t 秒时, NBt ,2OMt则3CNt ,42AMt BCA=MAQ=453QNCNt1PQt11(42 )(1)22A
44、MQSAM PQtt22tt2219224Sttt 02t 当12t时,S的值最大(3)存在设经过 t 秒时, NB=t,OM=2t 则3CNt ,42AMt BCA=MAQ=45若90AQM,则PQ是等腰 RtMQA底边MA上的高PQ是底边MA的中线12PQAPMA11(42 )2tt12t点M的坐标为( 1,0)若90QMA,此时QM与QP重合QMQPMA142tt1t点M的坐标为(2,0)练习 2.解:( 1)()ecd,()cead,(2)分别过点 ABCD, , ,作 x轴的垂线,垂足分别为1111ABCD,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
45、- - - -第 16 页,共 18 页精品资料欢迎下载分别过 AD,作1AEBB于 E ,1DFCC于点 F 在平行四边形 ABCD 中, CDBA,又11BBCC,180EBAABCBCFABCBCFFCDEBAFCD 又90BEACFD,BEACFDAFDFac, BECFdb设()C xy,由exac,得 xeca由yfdb,得yfdb()C ecafdb,(3) mcea ,ndfb或 mace,nbdf(4)若 GS为平行四边形的对角线,由(3)可得1( 2 7 )Pcc,要使1P在抛物线上,则有274(53)( 2 )ccccc,即20cc10c(舍去),21c此时1( 2 7)
46、P,若 SH 为平行四边形的对角线,由(3)可得2(32 )Pc c,同理可得1c,此时2(3 2)P,若 GH 为平行四边形的对角线,由(3)可得(2 )cc,同理可得1c,此时3(12)P,综上所述,当1c时,抛物线上存在点P,使得以 GSHP, ,为顶点的四边形是平行四边形符合条件的点有1( 2 7)P,2(3 2)P,3(12)P,练习 3.解:由 RtAOBRtCDA 得OD=2+1=3,CD=1C 点坐标为 (3,1),抛物线经过点 C,1= (3)2 a(3)2,21a。抛物线的解析式为221212xxy.在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P、Q,使四边形 ABPQ 是正方形。以
47、AB 边在 AB 右侧作正方形 ABPQ。过 P作 PEOB 于 E,QGx 轴于 G,可证 PBEAQGBAO,PEAGBO2,BEQGAO1,P点坐标为( 2,1),Q 点坐标为( 1,1)。由( 1)抛物线221212xxy。当 x2 时,y1,当 x,1 时, y1。P、Q 在抛物线上。故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P(2,1)、Q(1,1),使四边形 ABPQ 是正方形。另解:在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P、Q,使四边形 ABPQ 是正方形。延长 CA 交抛物线于 Q, 过 B 作 BPCA 交抛物线于 P, 连 PQ, 设直线 CA、 BP的解析式分别为 y=k1x+b1,
48、 y=k2x+b2,A(1,0),C(3,1),CA 的解析式2121xy,同理 BP 的解析式为2121xy,解方程组2212121212xxyxy得 Q 点坐标为( 1,1),同理得 P点坐标为( 2,1)。yC()A ab,()D ef,()B cd,EF1B1A1C1DOx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页精品资料欢迎下载由勾股定理得 AQBPAB5,而BAQ90,四边形 ABPQ 是正方形。故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P(2,1)、Q(1,1),使四边形 ABPQ 是正方形。另解:在抛物线(对称轴
49、的右侧)上存在点P、Q,使四边形 ABPQ 是正方形。如图,将线段 CA 沿 CA 方向平移至 AQ,C(3,1)的对应点是 A(1,0),A(1,0)的对应点是 Q(1,1),再将线段 AQ 沿 AB 方向平移至 BP,同理可得 P(2,1)BAC90,ABAC 四边形 ABPQ 是正方形。经验证 P(2,1)、Q(1,1)两点均在抛物线221212xxy上。结论AGBGAFBF成立,证明如下:连EF ,过 F 作 FM BG交 AB的延长线于 M ,则 AMF ABG ,AGBGAFMF。由知 ABC是等腰直角三角形,1245。 AFAE , AEF 145。 EAF 90,EF是O 的直径。EBF 90。 FM BG , MFB EBF 90, M 245,BFMF ,AGBGAFBF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 18 页