《2022年九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、名师总结优秀知识点圆【知识梳理】1. 圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念圆:平面上到定点的距离 等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中定点为圆心,定长为半径弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径(2)圆的有关性质圆是轴对称图形;其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图形,对称中心为圆心垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:过圆心;垂直于弦;平分弦;平
2、分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“”表示,以 CD 为端点的弧记为“” ,读作“圆弧 CD”或“弧 CD” 。半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。优弧:大于半圆的弧叫做优弧劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。 ) 弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角; 90”的圆周角所对
3、的弦是直径等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距 :从圆心到弦的距离叫做弦心距. (3)对圆的定义的理解 :圆是一条封闭曲线,不是圆面;圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长) 2. 与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页名师总结优秀知识点(2)圆周角:顶点在圆上,两边分别和圆相交的角,叫圆周角。圆周角的度数
4、等于它所对的弧的度数的一半(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角3. 点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为 r,点到圆心的距离为d,则点在圆上 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆外 dr. 其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4. 确定圆的条件 : 1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径 ,圆心决定圆的位置 ,半径决定圆的大小 . 经过一点可以作无数个
5、圆 ,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上 . 2. 经过三点作圆要分两种情况: (1) 经过同一直线上的三点不能作圆. (2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆 . 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆 ,这个三角形叫做圆的内接三角形. (2)三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质 :三角形外心到三顶点的距离相等. 5. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相
6、切相离的定义: (1)相交: 直线与圆有两个公共点时 ,叫做直线和圆相交 ,这时直线叫做圆的割线. (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时 ,叫做直线和圆相切 ,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点 . (3)相离: 直线和圆没有公共点时 ,叫做直线和圆相离 . 2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设O 的半径为 r,圆心 O 到直线的距离为 d;dr 直线 L 和O 相交. d=r 直线 L 和O 相切. dr 直线 L 和O 相离. 3. 切线的总判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径. 精选学习资料 -
7、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页名师总结优秀知识点推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论 : 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个 . 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 .5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心 , 这个三角形叫做圆的外切三角形. 6. 三角形内心的性质 : (1)三角形的内心到三边的距离相等
8、. (2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点 ,该线平分三角形的这个内角 . 6. 圆和圆的位置关系 . 1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆 )这五种位置关系的定义 . (1)外离: 两个圆没有公共点 ,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离 . (2)外切: 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时 , 叫做这两个圆外切 .这个惟一的公共点叫做切点. (3)相交: 两个圆有两个公共点 ,此时叫做这个两个圆相交 . (4)内切: 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这
9、个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时 ,叫做这两个圆内切 .这个惟一的公共点叫做切点. (5)内含: 两个圆没有公共点 , 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含 .两圆同心是两圆内的一个特例. 2. 两圆位置关系的性质与判定: (1)两圆外离 dR+r (2)两圆外切 d=R+r (3)两圆相交 R-rdR+r (R r) (4)两圆内切 d=R-r (Rr) (5)两圆内含 dr) 3. 相切两圆的性质 : 如果两个圆相切 ,那么切点一定在连心线上. 4. 相交两圆的性质 : 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 7. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个
10、四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特征 : 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角. 8. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式 : 圆周长 C=2R (R 表示圆的半径 ) 2. 弧长公式 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页名师总结优秀知识点图 5 OBCACBAOCBAO弧长180Rnl(R 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数) 3. 扇形定义 : 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 4. 弓形定义 : 由弦及其所对
11、的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5. 圆的面积公式 . 圆的面积2RS(R 表示圆的半径 ) 6. 扇形的面积公式 : 扇形的面积3602RnS扇形(R 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数) 弓形的面积公式 :(如图 5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形SSS(2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形SSS(3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形SRS221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页名师总结优秀知识点OCBAABCDO例题解析【例题 1】如图 1
12、, O是ABC的外接圆, AB 是直径,若80BOC,则A等于()A60oB50oC40oD30o图 1 图 2 图 3 【例题 2】如图 2,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 与小圆相切于点C,若大圆半径为10cm,小圆半径为 6cm,则弦 AB 的长为cm【例题 3】如图 3,ABC 内接于 O ,AB=BC ,ABC=120 ,AD为O的直径,AD 6,那么 BD _【例题 4】如图 4 已知 O的两条弦 AC ,BD相交于点 E,A=70o,c=50o,那么 sin AEB的值为() A.21B.33C.22D.23图 4 【例题 5】如图 5,半圆的直径10AB,点 C 在
13、半圆上,6BC(1)求弦AC的长;(2)若 P 为 AB 的中点, PEAB交 AC 于点 E,求 PE的长P B C E A (图 8)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页名师总结优秀知识点CBAOB C A O C A B S1 S2 三、课堂练习1、如图 6,在 O 中, ABC=40 ,则 AOC度图 6 图 7 图 8 2、如图 7,AB 是O 的直径, AC 是弦,若 ACO = 32 ,则 COB 的度数等于3、已知 O 的直径 AB=8cm ,C 为O 上的一点,BAC=30o,则 BC=_cm. 4
14、、如图 8,已知在 RtABC中,RtACB,4AB,分别以 AC , BC 为直径作半圆,面积分别记为1S,2S,则1S+2S的值等于5、如图 9,O 的半径 OA10cm,P 为 AB 上一动点,则点 P 到圆心 O 的最短距离为 _cm 。图 9 6、如图 10,在O 中, ACB=BDC=60 ,AC=cm32,(1)求 BAC 的度数;(2)求 O 的周长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页名师总结优秀知识点7、已知:如图 11,O 的直径 AB 与弦 CD 相交于,弧 BC弧 BD,O 的切线 BF 与弦
15、 AD 的延长线相交于点F(1)求证:CD BF(2)连结 BC,若O 的半径为 4,cosBCD=34, 求线段 AD 、CD的长8、如图 12,在ABC 中,AB=BC ,以 AB 为直径的 O与 AC 交于点 D,过D 作 DFBC,交 AB 的延长线于 E,垂足为 F(1)求证:直线 DE 是 O 的切线;(2)当 AB=5,AC=8 时,求 cosE的值图 12 四、经典考题解析 1. 如图 13,在 O中,已知 A CB CDB 60,AC 3,则 ABC的周长是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页
16、名师总结优秀知识点图 13 图 14 图 15 2. “圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题:“今有圆材,埋在壁冲,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何”用数学语言可表述为如图 14,CD为O的直径,弦 AB CD于点 E,CE 1 寸,AB=10寸,则直径 CD的长为() A 125 寸 B 13 寸 C 25寸 D 26 寸3. 如图 15,已知 AB是半圆 O的直径,弦 AD和 BC相交于点 P,那么CDAB等于() A sin BPD BcosBPD C tan BPD D cot BPD 4. O的半径是 5,AB 、CD为O的两条弦,且 AB CD ,AB=6 ,CD=
17、8 ,求 AB 与 CD之间的距离5. 如图 16,在 M中,弧 AB所对的圆心角为1200,已知圆的半径为2cm ,并建立如图所示的直角坐标系,点C是 y 轴与弧 AB的交点。(1)求圆心 M的坐标;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页名师总结优秀知识点( 2)若点 D是弦 AB所对优弧上一动点,求四边形ACBD 的最大面积图 16 五、课后训练 1. 如图 17,在 O中,弦 AB=1.8cm ,圆周角 ACB=30,则 O的直径等于_cm 图 17 图 18 图 19 2. 如图 18,C是O上一点, O是圆心
18、若 C=35 ,则 AOB 的度数为() A 35B70 C105D1503. 如图 19,O内接四边形 ABCD 中,AB=CD ,则图中和 1 相等的角有 _ 4. 在半径为 1 的圆中,弦 AB 、AC分别是3和2,则 BAC的度数为多少?5. 如图 20,弦 AB的长等于 O的半径,点 C在O上,则C的度数是 _. 图 20 图21 图22 CDABOMYX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页名师总结优秀知识点6. 如图 21,四边形 ABCD内接于 O ,若BOD=100 ,则DAB 的度数为() A 50
19、 B80 C100 D 1307. 如图 22,四边形 ABCD 为O的内接四边形, 点 E在 CD的延长线上, 如果BOD=120 ,那么 BCE 等于() A 30 B60 C 90 D1208. 如图, O的直径 AB=10 ,DE AB于点 H,AH=2 (1)求 DE的长;(2)延长 ED到 P,过 P作O的切线,切点为 C ,若 PC=225,求 PD的长九年级数学圆练习题一、填空题: (21 分)1、如图,在 O中,弦 AB OC ,115AOC,则BOC =_ 2、如图,在 O中,AB是直径,15C,则BAD =_ 3、如图,点 O是ABC 的外心,已知40OAB,则ACB=_
20、 OABCDOABCDBOACA B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页名师总结优秀知识点(1 题图)(2 题图)(3 题图)(4 题图)4、如图, AB是O的直径,弧 BC= 弧 BD ,25A,则BOD(5 题图)(6 题图)(7 题图)5、如图, O的直径为 8,弦 CD垂直平分半径 OA ,则弦 CD 6、已知 O的半径为 2cm ,弦 AB 2cm ,P点为弦 AB上一动点,则线段OP的范围是7、如图,在 O中, B=50 o, C=20 o,则 BOC 的=_ 二、解答题( 70 分)1、如图,A
21、B是O的直径 . 若 OD AC ,的大小有什么关系?为什么?2、已知:如图,在 O中,弦 AB=CD. 求证:弧 AC= 弧 BD ; AOC= BOD DBCAOBOCACAOBDDBOACOABPBD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页名师总结优秀知识点3、如图,已知: O中,AB 、CB为弦,OC交 AB于 D,求证: (1)ODB OBD ,(2)ODB OBC ;4、已知如图,AB 、AC为弦, OM AB于 M ,ON AC于 N ,MN 是ABC的中位线吗?5、已知如图, AB 、CD是O的直径,
22、 DF 、BE是弦,且 DF=BE ,求证: D= B 6、已知如图, AB是O的直径,C是O上的一点, CD AB于 D ,CE平分 DCO ,交O于 E,求证:弧 AE= 弧 EB ABCDOOABCDFENMOABOABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页名师总结优秀知识点7、如图,已知 ABC ,AC =3,BC =4,C=90,以点 C为圆心作 C,半径为 r . (1) 当 r 取什么值时,点 A、B在C外. (2) 当 r 在什么范围时,点A在C内,点 B在C外. (2) 当 r 在什么范围时,
23、 C与线段 AB相切。ABC三、计算下列各题:(40 分)1、如图,已知 AB为O的直径, AC为弦, OD BC交 AC于 D,OD = cm2,求 BC的长;2、如图,在 RtABC中, C90,AC 3,BC 4,以点 C为圆心, CA为半径的圆与 AB 、BC分别交于点 D、E,求 AB 、AD的长3、如图, O的直径 AB和弦 CD相交于点 E,且 AE=1cm ,EB=5cm ,DEB=60 ,求 CD的长。ABCDEABCDOEOABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页名师总结优秀知识点4、如图,
24、在直径为100 mm 的半圆铁片上切去一块高为20 mm 的弓形铁片,求弓形的弦 AB的长. AB5、如图所示,已知矩形ABCD 的边ABcmADcm34,。(1)以点 A为圆心, 4cm为半径作 A,则点 B、C 、D与A的位置关系如何?(2)若以点 A为圆心作 A,使 B、C 、D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则 A的半径 r 的取值范围是什么?四、作图题:(9 分)如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片, 试找出它的圆心, 并将它还原成一个圆要求:、尺规作图;、保留作图痕迹(可不写作法)A C D B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页名师总结优秀知识点五、探究拓展与应用( 10 分)1、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时,小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图(1) 所示:AOC 是ABO 的外角AOC= ABO+ BAO又OA=OB OAB= OBA AOC=2 ABO 即ABC=21AOC 如果 ABC的两边都不经过圆心,如图(2) 、 (3) ,那么上述结论是否成立?请你说明理由。(3)(2)(1)ABCOABCOOCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页