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1、学习必备欢迎下载二次函数知识点 1:二次函数的概念形如 y=ax2bxc (a0, a,b,c 是常数 )的函数叫做二次函数知识点 2:在理解二次函数的定义时,应注意下述问题:(1) 在解析式中最高项是ax2项且系数a0,而 b,c可以不为零,也可以为零。(2) 自变量 x 的取值范围是任何实数(3) 如果 a=0,则该函数一定不是二次函数,但不一定是一次函数,如果a=0,b0 才是一次函数。知识点 3:用二次函数描述有关实际问题中的变量间的关系在实际生活中,变化规律,解决实际问题,如何建立实际问题中的二次函数关系式( 1)审清题意,找出实际问题中的已知量(定量),未知量(变量)并分析它们之间
2、的关系,将文字或图形语言转化为数学符号语言( 2)建立函数关系式,根据前面的思考和分析,得到函数关系, 即用自变量解析式来表示函数,并判断它是否为二次函数(3) 确定函数的定义域,在实际问题中,变量都有一定的实际意义,要受到一定的条件限制,所以在求出二次函数解析式时,还要指明它的定义域知识点 4:二次函数的画法:(1)先列表;(2)描点,(3)连线知识点 5:函数 y=ax2的图象特征或性质函数开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大 (小)值y=ax2 a0 向上(0,0) y 轴x 0 时,y 随 x 增大而增大x 0 时,y 随 x 增大而减小当 x=0 时,y最大=0 y=ax2 a0 向下
3、(0,0) y 轴x 0 时,y 随 x 增大而减小x 0 时,y 随 x 增大而增大当 x=0 时y最大=0 知识点 6:.二次函数y=ax2k 的图象二次函数y=ax2k 的图象是由函数y=ax2的图象上、下平移得到的,当k0 时,抛物线 y=ax2向上平移 k个单位得到y=ax2 k 的图象;当k0 时,抛物丝y=ax2向下平移k个单位得到y=ax2k 的图象 . 注意:抛物线 y=ax2k 与抛物丝y=ax2形状完全相同, 开口方向相同, 对称轴都是y 轴,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页学习必备欢迎下载但
4、顶点位置不同,y=ax2的顶点是( 0,0) ,y=ax2 k 的顶点是( 0,k) , ,顶点在 y 轴上 . 知识点 7:.二次函数y=a(xh)2的图象二次函数y=a(xh)2的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移而得到,当n0时,抛物线 y=ax2向右平称 n个单位, 得到 y=a ( xn)2的图象;当 n 0 时,抛物线 y=ax2向左平移 n个单位得到y=a(xn)2的图象 . 注意:抛物线y=a(xn)2与抛物线y=ax2的形状完全相同,开口相同只是在坐标系中的位置不同,抛物线y=a(xn)2的对称轴是x=n,顶点是( n,0) ,顶点在x 轴上 . 知识点 8:.二次函
5、数y=a(xn)2k 的图象1)二次函数y=a(xh)2k(a0)与二次函数y=ax2(a 0)的图象都是抛物线,在 a 相等的情况下,形状相同,只是位置不同。抛物线y=a(xh)2k 可由抛物线y=ax2向上( k0)或向下( k0平移 k个单位得到抛物线y=ax2 k,再把抛物线y=ax2k向左( n0)或向右( n 0)平移 n个单位,就得到抛物线y=a(x h)2k. 2)抛物线y=a(xh)2k(a0)的特点a0 时开口向上,a0 的开口向下;对称轴是直线x=h;顶点坐标是(h,k). 知识点 9:函数 y=ax2bxc的图象利用配方法可将y=ax2 bxc(a0)转化为 y=a(x
6、h)2k的形式,即y=ax2 bxc=a(xb2a)24acb24a比较式和式知,n=b2a,k=4acb24a,因此y=ax2 bxc 的对称轴是x=b2a,顶点是(b2a,4acb24a). 二次函数 y=ax2bxc(a0)的图象特征 : 图象是抛物线开口方向、 a0,向上; a0 时,向下。对称轴:直线x=b2a顶点坐标(b2a,4acb24a)与 y 轴的交点坐标为(0,c)知识点 10:二次函数表达式又有三种形式:(1) 一般式: y=ax2+bx+c (a,b,c为常数 ,a0 );(2) 顶点式: y=a(x-h)2+k (a,h,k 为常数 ,a0);精选学习资料 - - -
7、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页学习必备欢迎下载 (3) 两根式: y=a(x 一 x1)( x 一 x2) (a, x1, x2为常数 ,a0)知识点 11:二次函数yax2 bx 十 c与一元二次方程ax2十 bx 十 c=0 的关系抛物线 yax2bx 十 c 与 x 轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2bx 十 c=0 的根当 b2一 4ac0 时,抛物线与x 轴没有交点,此时方程无实数根;当 b2一 4ac0 时,抛物线与x 轴有两个交点,此时方程有两个不相等的实数根;当 b2一 4ac= 0时,抛物线与x 轴只有一个交
8、点,此时方程有两个相等的实数根;当 b2一 4ac0 时,抛物线与x 轴有两个交点,其解析式可写成交点式的形式:y= a (x一 x1)(x 一 x2) 反比例函数知识点 1反比例函数的概念:一般地,如果两个变量x、y 之间的关系可以表示成xky( k 是常数, k0)的形式,那么y就称为 x 的反比例函数 反比例函数的三种不同表达形式:xky; y=kx-1; xy=k说明: k 是不为 0 的常数;自变量x 取值范围是x0 的全体实数;函数 y 的取值范围是y0 的全体实数知识点 2反比例函数解析式的确定:确定函数解析式常用的方法是待定系数法在反比例函数式xky中,因为只有一个待定系数k,
9、所以只需要知道一对对应值或一个点的坐标,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数解析式知识点 3反比例函数的图象:反比例函数xky(k 0)的图象是由两支曲线组成的,这两支曲线常称为“双曲线”画反比例函数图象时,一般用描点法,即列表、描点、连线三大步骤说明:双曲线的两个分支不能够连接起来;两个分支无限靠近x 轴和 y 轴,但是永远与它们不相交;图象既是轴对称图形,也是中心对称图形;画反比例函数图象时通常先画出一个分支,然后根据对称性画出另一个分支知识点 4反比例函数的性质:自变量的取值范围是0x的实数函数的图象是双曲线(两个分支),是中心对称图形,对称中心是坐标原点;也是轴对称图形,对称轴有两条
10、,分别是直线xy和xy图象的变化趋势:函数图象无限靠近坐标轴,但是永远不会和坐标轴相交另:反比例函数xky(k 0)的图象与性质:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页学习必备欢迎下载反比例函数xky(k 0)k 的符号图象在坐标系中的位置图象图象特征增减性k0 图像位置一、三象限在每个象限内从左到右下降在每个象限内,y 随 x 增大而减小k0 y 随 x 增大而增大同一象限内y 随 x 增大而减小K0 必过一、三象限分布在一、三象限K0 必过二、四象限分布在二、四象限x y O x y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页