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1、1 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02cbxax根的分布情况设方程200axbxca的不等两根为12,x x且12xx,相应的二次函数为20fxaxbxc,方程的根即为二次函数图象与x轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0 120,0xx两个正根即两根都大于0 120,0xx一正根一负根即一个根小于0,一个大于0120xx大致图象(0a)得出的结论00200baf00200baf00f大致图象(0a)得出的结论00200baf00200baf00f综合结论(不
2、讨论a)00200baa f00200baaf00fa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页2 表二: (两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k,一个大于k即21xkx大致图象(0a)得出的结论020bkafk020bkaf k0kf大致图象(0a)得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论(不讨论a)020bkaa fk020bkaafk0kfakkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2
3、页,共 7 页3 表三: (根在区间上的分布)分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内(图象有两种情况,只画了一种)一根在nm,内,另一根在qp,内,qpnm大致图象(0a)得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq大致图象(0a)得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq综合结论(不讨论a)0nfmf00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间nm,外,即在区间两侧12,xm xn, (图形分别如下)需满足的条件是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
4、归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页4 (1)0a时,00fmfn;(2)0a时,00fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:(1)两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况:1若0fm或0fn,则此时0f mfng不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间nm,内,从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根,因为10f, 所以22212mxmxxmx, 另一根为2m, 由213m得223m即为所求;2方程有且只有一根,且这个根在区间nm,内,即0,此时由0可以求出参数的值,然后再将参数的值带入
5、方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程24260xmxm有且一根在区间3,0内, 求m的取值范围。 分析:由300ff g即141530mm得出15314m;由0即2164 260mm得出1m或32m,当1m时,根23,0x,即1m满足题意;当32m时,根33,0x,故32m不满足题意;综上分析,得出15314m或1m根的分布练习题例 1、已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根,求实数m的取值范围。解:由2100mfg即2110mm,从而得112m即为所求的范围。例 2、已知方程2210xmxm有两个不等正实根,求实数m的取值范围。解:由精选
6、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页5 0102 200mfg218010mmmm32 232 20mmm或032 2m或32 2m即为所求的范围。例 3、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围。解:由210mf g即2210mmg122m即为所求的范围。例 4、已知二次方程22340mxmx只有一个正根且这个根小于1,求实数m的取值范围。解: 由题意有方程在区间0,1上只有一个正根, 则010ffg4 310mg13m即为所求范围。(注:本题对于可能出现的特殊情况
7、方程有且只有一根且这个根在0,1内,由0计算检验,均不复合题意,计算量稍大)例 1、当关于x的方程的根满足下列条件时,求实数a的取值范围:(1)方程2270xaxa的两个根一个大于2,另一个小于2;(2)方程227(13)20xaxaa的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2)上;(3)方程022axx的两根都小于0;变题:方程022axx的两根都小于1(4)方程22(4)2530xaxaa的两根都在区间 1,3上;(5)方程042axx在区间(1,1)上有且只有一解;例 2、已知方程042mxx在区间 1,1上有解,求实数m 的取值范围例 3、已知函数f (x)1)3(2xmmx的图
8、像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m 的取值范围检测反馈:1若二次函数2( )(1)5f xxax在区间1(,1)2上是增函数,则(2)f的取值范围是_2若、是关于 x 的方程06kkx2x2的两个实根 , 则22)1()1(的最小值为3若关于x的方程2(2)210xmxm只有一根在(0,1)内,则m_ _4对于关于x 的方程 x2+(2m 1)x+4 2m=0 求满足下列条件的m 的取值范围:(1)有两个负根( 2) 两个根都小于1 (3)一个根大于2,一个根小于2 (4) 两个根都在(0 ,2)内(5)一个根在 ( 2,0)内,另一个根在(1,3)内(6)一个根小于2,一个根大于
9、4 (7) 在( 0, 2)内有根(8) 一个正根,一个负根且正根绝对值较大5已知函数1)(2xmxxf的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的取值范围。2、二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值问题探讨设002acbxaxxf,则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况:abnm2nabm2即nmab,2nmab2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页6 图象最大、最小值nfxfmfxfminmaxabfxfmfnfxf2,maxminmaxmfxfnfxfminmax对于开口向下的情况,
10、讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论:(1)若nmab,2,则nfabfmfxf,2,maxmax,nfabfmfxf,2,minmin;(2)若nmab,2,则nfmfxf,maxmax,nfmfxf,minmin另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开x轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开x轴越远,则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间,以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数2220fxaxaxb a在2,3上有最大值5 和最小值2,
11、求,a b的值。解:对称轴012,3x,故函数fx在区间2,3上单调。(1)当0a时,函数fx在区间2,3上是增函数,故maxmin32fxffxf32522abb10ab;(2)当0a时,函数fx在区间2,3上是减函数,故maxmin23fxffxf25322bab13ab例 2、求函数221,1,3fxxaxx的最小值。解:对称轴0xa(1) 当1a时,min122yfa(2) 当13a时,2min1yf aa;(3) 当3a时,min3106yfa改: 1本题若修改为求函数的最大值,过程又如何?解: (1)当2a时,max3106fxfa;(2)当2a时,max122fxfa。2本题若修
12、改为求函数的最值,讨论又该怎样进行?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页7 解: (1)当1a时,max3106fxfa,min122fxfa;( 2)当12a时,max3106fxfa,2min1fxfaa;( 3)当23a时,max122fxfa,2min1fxf aa;( 4)当3a时,max122fxfa,min3106fxfa。例 3、求函数243yxx在区间,1t t上的最小值。解:对称轴02x(1)当2t即2t时,2min43yfttt; (2)当21tt即12t时,min21yf;(3)当21t即1t时,2min12yf ttt例 4、讨论函数21fxxxa的最小值。解:2221,11,xaxxafxxxaxaxxa,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为直线12x,12x,当12a,1122a,12a时原函数的图象分别如下(1) , (2) , (3)因此, ( 1)当12a时,min1324fxfa; (2)当1122a时,2min1fxfaa;( 3)当12a时,min1324fxfa以上内容是自己研究整理,有什么错误的地方,欢迎各位指正,不胜感激!精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页