《2022年等差数列的性质、求和知识点及训练》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年等差数列的性质、求和知识点及训练(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、名师总结优秀知识点等差数列的性质、求和知识点及训练重点:掌握等差数列的通项公式、 求和公式以及等差中项的求法难点: 对等差数列的综合考察一知识梳理1. 定义:daann1(d为常数)(2n) ;2等差数列通项公式:*11(1)()naanddnad nN,首项 :1a,公差 :d ,末项 :na推广:dmnaamn)(从而mnaadmn;3等差中项(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项即:2baA或baA2( 2 ) 等 差 中 项 : 数 列na是 等 差 数 列)2(211-naaannn212nnnaaa4等差数列的前n 项和公式:1()2nnn aas1(1)2n
2、nnad211()22dnad n2AnBn(其中 A、B是常数)(当 d0时, Sn是关于 n的二次式且常数项为0)5等差数列的判定方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页名师总结优秀知识点(1)定义法:若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列( 2 ) 等 差 中 项 : 数 列na是 等 差 数 列)2(211-naaannn212nnnaaa(3)数列na是等差数列bknan(其中bk,是常数)。(4)数列na是等差数列2nSAnBn, (其中 A、B是常数)。6等差数列的证明方法定义法:若
3、daann1或daann 1(常数Nn)na是等差数列7. 提醒 : ( 1)等差数列的通项公式及前n和公式中, 涉及到 5 个元素:1a、d、n、na及nS,其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出其余 2 个,即知3 求 2。(2)通常把题中条件转化成只含1a和d的等式!8. 等差数列的性质:(1)若公差0d, 则为递增等差数列,若公差0d,则为递减等差数列,若公差0d,则为常数列。( 2) 当mnpq时 , 则 有qpnmaaaa, 特 别 地 , 当2mnp时 , 则 有2mnpaaa. (3) 若na 是等差数列,则232,nnnnnSSSSS,也成等
4、差数列(公差为md )图示:mmmmmmSSSmmSSmmSmaaaaaaaa323231221321精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页名师总结优秀知识点(4)若等差数列na、nb的前n和分别为nA、nB,且( )nnAf nB,则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. (5)若na、nb为等差数列,则nnab为等差数列(6) 求nS的最值法一: 直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,nS取最大值(或最小值) 。若S
5、p= S q则其对称轴为2pqn法二:“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和即当,001da由001nnaa可得nS达到 最大值 时的n值“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当,001da由001nnaa可得nS达到 最小值 时的n值或求na中正负分界项(7)设数列na是等差数列,奇S是奇数项的和,偶S是偶数项的和,nS是前 n 项的和,则:1. 当项数为偶数n2时,奇偶SSdn,其中 n 为总项数的一半,d 为公差;2、在等差数列na中,若共有奇数项12n项,则121111(1)(21)1nnnnnSnaSSSnaSnSnaSSaSn奇奇偶奇偶
6、奇偶偶注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页名师总结优秀知识点基本量法:即运用条件转化为关于1a和( )d q的方程;巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量【类型 1】求等差数列通项【例 1】 .等差数列na中,51210,31aa,求1, ,nd aa. 【变式 1】四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数. 【例 2】 等差数列na中,381312aaa,381324a a a,求通项公式na. 【变式 1】等差数
7、列na中,51510,25,aa则25a的值是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页名师总结优秀知识点【变式 2】已知等差数列 中61018aa31a,则13a【变式 3】 等差数列na中,135105aaa,24699aaa, 则20a【变式 4】若等差数列na的前 5 项和525S,且23a,则7a【例 3】 已知数列中,=1,则数列的通项公式为 _ 【变式1】已知数列 中,=2,=3,其前 n项和满足 (n2,nN ) ,则数列 的通项公式为 ( ) A =n B= C= n-l D=n+l 【例 4】在数列na
8、和数列nb中,nS为数列na的前 n 项和,且满足22nSnn,数nana1a1(1)2nnnaannana1a2anS1121nnnSSS*nanana2nnana精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页名师总结优秀知识点列nb的前 n 项和nT满足13nnTnb,且11b(1)求数列na的通项公式(2)求数列nb的通项公式【例 5】数列na中,11551,nnnaaaa,求数列na的通项公式;【类型 2】求等差数列前n 项和【例 1 已知na为等差数列,nS为其前n项和,*nN,若32016,20,aS则10S的值为
9、_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页名师总结优秀知识点【变式 1】如果是一个等差数列的前n 项和,其中a, b,c 为常数,则c的值为【例2】 ( 10 年全国文6)等差数列na中,34512aaa,那么na的前7 项和7S【变式 1】 已知数列na、nb都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为1a 、1b ,且511ba,*11,Nba设nbnac(*Nn) ,则数列nc的前 10 项和等于()A55B70C85D100 【例 3】na通项公式为21nann,则nS_2nSanbnc精选学习资料 - - - -
10、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页名师总结优秀知识点【变式 1】na通项公式为11nann则nSna通项公式为11nann,若其前n 项和为 10,则项数 n 为【例 4】 等差数列na中,249nan,前 n 项和记为nS,求nS取最小值时n 的值 .【变式 】差数列na中,213nan,则n时nS有最大值;【类型 3】等差数列性质的应用【例 1】 (1)等差数列na中,230,100,mmSS求3mS的值 .(2)等差数列na中,481,4SS,求17181920aaaa的值 . 【例 2】(2009 年辽宁理科14)等差数列na中,na
11、的前 n 项和为nS, 如果369,36SS,则789aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页名师总结优秀知识点【变式 1】 (2009 年辽宁文)等差数列na中,na的前 n 项和为nS,366,24,SS,则9a【变式 2】已知等差数列na中,12345612,18,aaaaaa则789aaa【变式 3】已知数列na和nb的前 n 项和分别为,nnAB,且7 + 1,42 7nnAnBn求1111ab的值 . 【例 3】 等差数列的前 n 项和记为,若为一个确定的常数,则下列各数中一定是常数的是()CBCD【变
12、式 1】等差数列中,则()nanS2610aaa6S11S12S13Sna1912,24,aa9S精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页名师总结优秀知识点C -36 B48 C54D72 【变式 2】等差数列中,已知前15 项的和,则等于()AB12 CD6 【变式 3】在等差数列中,若则【类型 4】证明数列是等差数列【例 1】 知数列na的前 n 项和为21+2nnnS,求通项公式na并判断是否为等差数列na9015S8a245445na99,S46aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
13、- - - - - - -第 10 页,共 12 页名师总结优秀知识点【例 2】在数列中,,设证明是等差数列【例 3】已知数列na的前 n 项和为nS,且满足)2(021nSSannn,211a,求证:数列nS1是等差数列;求数列na的通项公式。【变式 1】数列na中,11551,nnnaaaa,判断1na是否为等差数列. 【例 4】 数列na中,144nnaa,12nnab;1) 求证nb是等差数列;nannnaaa22,111,21nnnabnb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页名师总结优秀知识点2) 求na的通项公式 . 【变式 1】已知数列na满足152a,114122nnnaana(1)设11nnba,求证nb为等差数列;(2)求na通项;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页