《高考数学 第二章 第二节 函数的单调性与最值课件 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 第二章 第二节 函数的单调性与最值课件 理 苏教版（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 函数的单调性与最值1.1.函数的单调性函数的单调性(1)(1)单调函数的定义单调函数的定义一般地，设函数一般地，设函数y=f(xy=f(x) )的定义域为的定义域为A A，区间，区间I IA A，如果对于区，如果对于区间间I I内的任意两个值内的任意两个值x x1 1,x,x2 2，且，且x x1 1x x2 2, ,f(xf(x) )在区间在区间I I上是单调增函数上是单调增函数f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2).).f(xf(x) )在区间在区间I I上是单调减函数上是单调减函数f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2).).(2)(2)单调性、单调区间的定义单调性、单
2、调区间的定义如果函数如果函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间I I上是单调增函数或单调减函数，则称上是单调增函数或单调减函数，则称函数函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间I I上具有单调性上具有单调性. .单调增区间和单调减区间统单调增区间和单调减区间统称为单调区间称为单调区间. .2.2.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值最最 大大 值值 最最 小小 值值 前提前提 设设y=f(xy=f(x) )的定义域为的定义域为A A，如果存在，如果存在x x0 0A A 条件条件 对于任意的对于任意的xAxA，都有，都有_对于任意的对于任意的xAxA，都有，都有_结论结论 _为为y=
3、f(xy=f(x) )的最大值的最大值 _为为y=f(xy=f(x) )的最小值的最小值 表示法表示法 y ymaxmax= _= _y yminmin= _= _f(x)f(xf(x)f(x0 0) )f(x)f(xf(x)f(x0 0) )f(xf(x0 0) )f(xf(x0 0) )f(xf(x0 0) )f(xf(x0 0) )判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)函数函数y= y= 的单调递减区间是的单调递减区间是(-,0)(0,+).( )(-,0)(0,+).( )(2)(2)若某一函数的最大值是若某一函数的最大值
4、是1 1，最小值是，最小值是0 0，则此函数的值域是，则此函数的值域是0 0，1 1.( ).( )(3)(3)对于函数对于函数f(x),xDf(x),xD, ,若若x x1 1,x,x2 2DD且且(x(x1 1-x-x2 2) )f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0,0,则函数则函数f(xf(x) )在在D D上是单调增函数上是单调增函数.( ).( )(4)(4)函数函数y=|x|y=|x|是是R R上的单调增函数上的单调增函数.( ).( )(5)(5)函数函数y=xy=x2 2在在1,+)1,+)上是单调增函数上是单调增函数, ,则函数的单调增区间则函数的单调增区间是
5、是1,+).( )1,+).( )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .当当x x1 1=-1,x=-1,x2 2=1=1时时,x,x1 1x x2 2, ,但但f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2),),因因此此(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)不是函数的单调递减区间不是函数的单调递减区间. .(2)(2)错误错误. .函数的最大值是函数的最大值是1 1，最小值是，最小值是0 0，但不能保证它的函数，但不能保证它的函数值可以取遍区间值可以取遍区间0 0，1 1内的所有实数内的所有实数. .(3)(3)正确正确.(x.(x1 1-x-x2 2) )f(xf(x1 1)-f(x)-
6、f(x2 2) )0 0 因此函数因此函数f(xf(x) )是单调增函数是单调增函数. .(4)(4)错误错误. .函数函数y=|x|y=|x|在在(-,0)(-,0)上是单调减函数上是单调减函数, ,在在(0,+)(0,+)上是上是单调增函数单调增函数. .(5)(5)错误错误. .函数函数y=xy=x2 2的单调增区间是的单调增区间是(0,+).(0,+).答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (4) (3) (4) (5) (5)1.1.如图为函数如图为函数y=f(x),xy=f(x),x-5-5，4 4的图象，则它的最大值是的图象，则它的最大值是_，最小值是，最小值是_.
7、_.【解析【解析】由图可以知道：当由图可以知道：当 x=-2x=-2时，该函数取得最小值时，该函数取得最小值-2-2；当当x=-5x=-5时，函数取得最大值时，函数取得最大值3.3.答案：答案：3 -23 -22.2.如果二次函数如果二次函数f(xf(x)=3x)=3x2 2+2(a-1)x+b+2(a-1)x+b在区间在区间(-,1)(-,1)上是单调上是单调减函数减函数, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】二次函数的对称轴是二次函数的对称轴是x= ,x= ,由题意知由题意知 1,1,解得解得a-2.a-2.答案：答案：(-(-，-2-23.3.函数函数f(xf(x)
8、= )= ，xx1 1，3 3的最小值是的最小值是_._.【解析【解析】函数函数f(xf(x)= )= 在区间在区间(-(-，0)0)和和(0(0，+)+)上都是单调上都是单调减函数，所以在减函数，所以在xx1 1，3 3上也为减函数，所以当上也为减函数，所以当x=3x=3时取最时取最小值，小值，f(3)= .f(3)= .答案：答案：4.4.函数函数y=(2k+1)x+by=(2k+1)x+b在在R R上是单调减函数上是单调减函数, ,则则k k的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由题意知由题意知2k+12k+10,k0,k答案答案: :(-, )(-, )5.f(x)=x5.f(x
9、)=x2 2-2x,x-2x,x-2,3-2,3的单调增区间为的单调增区间为_, _, f(x)f(x)maxmax=_.=_.【解析【解析】f(xf(x)=(x-1)=(x-1)2 2-1,-1,故故f(xf(x) )的单调增区间为的单调增区间为1,31,3, , f(x)f(x)maxmax=f(-2)=8.=f(-2)=8.答案答案: :1,31,3 8 8 考向考向 1 1 确定函数的单调性或单调区间确定函数的单调性或单调区间 【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013南京模拟南京模拟) )函数函数f(xf(x)=log)=log2 2(x(x2 2-4)-4)的单调的单调减
10、区间为减区间为_._.(2)(2013(2)(2013苏州模拟苏州模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)= (x)= (x0)0)，判断，判断f(xf(x) )在在(0(0，+)+)上的单调性，并证明你的结论上的单调性，并证明你的结论. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据复合函数的单调性求解根据复合函数的单调性求解. .(2)(2)用定义法或导数法求解用定义法或导数法求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由由x x2 2-4-40 0得得x x2 2或或x x-2,-2,即函数即函数f(xf(x) )的定义的定义域为域为(-,-2)(2,+).(-,-2)(2,+).令令t=xt=
11、x2 2-4,-4,因为因为y=logy=log2 2t t在在t(0,+)t(0,+)上为单调增函数上为单调增函数,t=x,t=x2 2-4-4在在x(-,-2)x(-,-2)上是单调减函数上是单调减函数, ,所以函数所以函数f(xf(x)=log)=log2 2(x(x2 2-4)-4)的单调减区间为的单调减区间为(-,-2).(-,-2).答案答案: :(-,-2)(-,-2)(2)(2)方法一：任取方法一：任取x x1 1,x,x2 2(0(0，+)+)，且，且x x1 1x x2 2，则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=xx1 1x x2 2,x,x1 1,x,x
12、2 2(0,+),(0,+),xx2 2-x-x1 10,x0,x1 1x x2 20,0,从而从而 0 0，f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0 0，即，即f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )，f(xf(x) )在在(0(0，+)+)上单调递减上单调递减. .方法二：方法二：f(xf(x)= )= 0 0，在在(0(0，+)+)上恒成立，上恒成立，f(xf(x) )在在(0(0，+)+)上单调递减上单调递减. .【互动探究【互动探究】若将本例题若将本例题(1)(1)中的函数改为中的函数改为f(xf(x)= )= 试求函数试求函数f(xf(x) )的单调减区间的单调
13、减区间. .【解析【解析】函数函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为(-1,+),(-1,+),令令t=x+1,t=x+1,因为因为y= y= 在在t(0,+)t(0,+)上是减函数上是减函数,t=x+1,t=x+1在在x(-1,+)x(-1,+)上上为增函数为增函数, ,所以函数所以函数f(xf(x)= )= 的单调减区间为的单调减区间为(-1,+).(-1,+).【拓展提升【拓展提升】1.1.函数单调性的判断方法函数单调性的判断方法(1)(1)定义法定义法.(2).(2)图象法图象法.(3).(3)利用已知函数的单调性利用已知函数的单调性.(4).(4)导数法导数法. .2.2.复合函
14、数的单调性复合函数的单调性复合函数复合函数y=f(g(xy=f(g(x)的单调性应根据外层函数的单调性应根据外层函数y=f(ty=f(t) )和内层函和内层函数数t=g(xt=g(x) )的单调性判断的单调性判断, ,遵循遵循“同增异减同增异减”的原则的原则. .【变式备选【变式备选】用定义法判断函数用定义法判断函数y= y= 在定义域上的单在定义域上的单调性调性. .【解析【解析】由由x x2 2-10-10得得x1x1或或x-1,x-1,即函数的定义域为即函数的定义域为(-,-1(-,-11,+).1,+).设设x x1 1x x2 2, ,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2
15、)=)=x x1 1-x-x2 20, 0,0, 0,当当x x1 1,x,x2 2(-,-1(-,-1时时,x,x1 1+x+x2 20,0,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1) )f f(x(x2 2),),故函数在故函数在(-,-1(-,-1上是单调减函数上是单调减函数. .当当x x1 1,x,x2 21,+)1,+)时时,x,x1 1+x+x2 20,0,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2),),故函数在故函数在1,+)1,+)上是单调增函数上是单调增函数. .考向
16、考向 2 2 求函数的值域或最值求函数的值域或最值【典例【典例2 2】(1)(1)设函数设函数g(xg(x)=x)=x2 2-2(xR),f(x)=-2(xR),f(x)=则则f(xf(x) )的值域是的值域是_._.(2)(2)用用mina,b,cmina,b,c 表示表示a,b,ca,b,c三个数中的最小值，设三个数中的最小值，设f(xf(x)=min2)=min2x x,x+2,10-x(x0),x+2,10-x(x0),则则f(xf(x) )的最大值为的最大值为_._.【思路点拨【思路点拨】(1)(1)明确自变量的取值范围明确自变量的取值范围, ,先求每一部分的函数先求每一部分的函数值
17、范围值范围, ,再取并集求值域再取并集求值域. .(2)(2)明确明确f(xf(x) )的意义的意义, ,数形结合求数形结合求f(xf(x) )的最大值的最大值. .【规范解答【规范解答】(1)(1)解解x xg(xg(x)=x)=x2 2-2-2得得x x2 2-x-2-x-20 0，则，则x x-1-1或或x x2.2.因此因此xg(xxg(x)=x)=x2 2-2-2的解为：的解为：-1x2.-1x2.于是于是f(xf(x)=)=当当x x-1-1或或x x2 2时，时，f(xf(x)= )= 当当-1x2-1x2时，时，f(xf(x)=)=且且f(-1)=f(2)=0f(-1)=f(2
18、)=0， f(x)0.f(x)0.由以上可得由以上可得f(xf(x) )的值域是的值域是 ,0,0(2,+).(2,+).答案：答案： ，0 0(2(2，+)+)(2)(2)由题意知函数由题意知函数f(xf(x) )是三个函数是三个函数y y1 1=2=2x x，y y2 2=x+2,y=x+2,y3 3=10-x=10-x中的较中的较小者，作出三个函数在同一直角坐标系下的图象小者，作出三个函数在同一直角坐标系下的图象( (如图实线部如图实线部分为分为f(xf(x) )的图象的图象) )，可知，可知A(4A(4，6)6)为函数为函数f(xf(x) )图象的最高点，则图象的最高点，则f(x)f(
19、x)maxmax=6.=6.答案：答案：6 6【拓展提升【拓展提升】求函数最值的五种常用方法求函数最值的五种常用方法(1)(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. .(2)(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值求出最值. .(3)(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三一正二定三相等相等”的条件后用基本不等式求出最值的条件后用基本不等式求出最值. .(4)(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最
20、后结导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值合端点值，求出最值. .(5)(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值再用相应的方法求最值. .【提醒【提醒】分段函数的最大值是各段上最大值中的最大的一个，分段函数的最大值是各段上最大值中的最大的一个，最小值是各段上最小值中的最小的一个最小值是各段上最小值中的最小的一个. .【变式训练【变式训练】(1)(1)函数函数f(xf(x)= )= 在区间在区间a,ba,b上的最大值是上的最大值是1,1,最小值是最小值是 , ,则则a+ba+b
21、=_.=_.【解析【解析】易知易知f(xf(x) )在在a,ba,b上为减函数上为减函数, ,答案答案: :6 6(2)(2)设设f(xf(x)=x)=x2 2-2ax(0x1)-2ax(0x1)的最大值为的最大值为M(aM(a),),最小值为最小值为m(am(a),),试试求求M(aM(a) )及及m(am(a) )的表达式的表达式. .【解析【解析】f(x)=xf(x)=x2 2-2ax=(x-a)-2ax=(x-a)2 2-a-a2 2,x,x0,10,1. .当当a0a0时时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0.,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0.
22、当当0 0a a 时时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(a)=-a,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(a)=-a2 2. .当当 a1a1时时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(a)=-a,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(a)=-a2 2. .当当a a1 1时时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.综上知综上知, ,考向考向 3 3 函数单调性的应用函数单调性的应用【典例【典例3 3】(1)(1)已知函数已知函数f(xf(x) )是定义在区间是定义在区间0,+)0,+)上的函数，上的函数
23、，且在该区间上单调递增，则满足且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)f( )f(2x-1)f(h(xf(g(x)f(h(x)”的形式，再利用单调性，的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域. .2.2.函数值大小的比较方法函数值大小的比较方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解填空题能数形结合的尽量用图象法求解.
24、.3.3.分段函数单调性的关注点分段函数单调性的关注点对于分段函数的单调性对于分段函数的单调性, ,不仅要注意每一段上的单调性不仅要注意每一段上的单调性, ,还应注还应注意端点处函数值的大小关系意端点处函数值的大小关系. .【变式训练【变式训练】(1)(1)已知已知f(xf(x)= )= 是是(-,+)(-,+)上的单调减函数上的单调减函数, ,那么那么a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】由题意知由题意知答案：答案：(2)(2)已知函数已知函数f(xf(x)= )= 若若f(2-af(2-a2 2)f(a)f(a) )，则实数，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析
25、【解析】f(xf(x)=)=由由f(xf(x) )的图象可知的图象可知f(xf(x) )在在(-,+)(-,+)上是单调增函数，由上是单调增函数，由f(2-af(2-a2 2)f(a)f(a) )得得2-a2-a2 2a,a,即即a a2 2+a-20,+a-20,解得解得-2a1.-2a1.答案：答案：(-2(-2，1)1)【易错误区【易错误区】分段函数单调性的应用误区分段函数单调性的应用误区【典例【典例】(2013(2013无锡模拟无锡模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=则满足不等式则满足不等式f(1-xf(1-x2 2) )f(2x)f(2x)的的x x的取值范围是的取值范围是
26、_._.【误区警示误区警示】本题易出现以下错误：本题易出现以下错误：由由f(1-xf(1-x2 2) )f(2x)f(2x)得得1-x1-x2 22x,2x,忽视了忽视了1-x1-x2 20 0导致解答失误导致解答失误. .【规范解答【规范解答】画出画出f(xf(x)= )= 的图象，由图象可知的图象，由图象可知, ,若若f(1-xf(1-x2 2) )f(2x)f(2x)，答案答案: :(-1, -1)(-1, -1)【思考点评【思考点评】解决分段函数的单调性问题时解决分段函数的单调性问题时, ,应高度关注以下应高度关注以下几个方面几个方面(1)(1)强调单调性在解决不等式问题时的重要性强调
27、单调性在解决不等式问题时的重要性. .(2)(2)注意定义域对所求范围的影响注意定义域对所求范围的影响. .(3)(3)弄清最终结果取并还是取交弄清最终结果取并还是取交. .1.(20131.(2013扬州模拟扬州模拟) )已知函数已知函数f(xf(x) )在在0 0，+)+)上是增函数，上是增函数，g(x)=-f(|xg(x)=-f(|x|)|)，若，若g(lgg(lg x) x)g(1)g(1)，则，则x x的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】因为因为f(xf(x) )在在0 0，+)+)上是增函数，且上是增函数，且|x|0|x|0，所以，所以g(x)=-f(|xg(x)=-f(
28、|x|)|)在在(0(0，+)+)上是减函数，在上是减函数，在(-(-，0)0)上是增函数上是增函数. .g(lgg(lg x) x)g(1)g(1) f(|lgx|)f(|lgx|)f(1)f(1) |lg x|lg x|1 1 x x10.10.答案：答案：( ( ，10)10)2.(20132.(2013南京模拟南京模拟) )函数函数f(xf(x)=|x)=|x2 2+x-t|+x-t|在区间在区间-1-1，2 2上上最大值为最大值为4 4，则实数，则实数t=_.t=_.【解析【解析】当当=1+4t0=1+4t0，即，即t t 时，时，f(x)f(x)maxmax=f(2)=f(2)=|
29、4+2-t|=6-t=4|4+2-t|=6-t=4，t=2(t=2(舍去舍去).).当当0 0，即，即t t 时，时，f(2)=4f(2)=4或或f( )=4,f( )=4,即即|4+2-t|=|6-t|=4|4+2-t|=|6-t|=4或或t=2t=2或或t=t=答案：答案： 或或2 23.(20133.(2013镇江模拟镇江模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=其中其中c c0.0.且且f(xf(x) )的值域是的值域是 ，2 2，则，则c c的取值范围的取值范围是是_._.【解析【解析】当当0xc0xc时，时，f(xf(x)= )= 单调递增，单调递增，0f(x) ,0f(x)
30、,当当-2x-2x0 0时，时，f(xf(x) )在在-2-2， 上单调递减，上单调递减，在在 ，0)0)上单调递增，上单调递增， f(x)2. f(x)2.f(xf(x) )的值域是的值域是 ，2 2， 2 2，00c4.c4.答案：答案：(0(0，4 44.(20124.(2012安徽高考安徽高考) )若函数若函数f(xf(x)=|2x+a|)=|2x+a|的单调递增区间是的单调递增区间是3,+)3,+)，则，则a=_.a=_.【解析【解析】作出函数作出函数f(xf(x)=|2x+a|)=|2x+a|的图象，根据图象可得函数的图象，根据图象可得函数的单调递增区间为的单调递增区间为 ,+),
31、+),即即 =3,a=-6. =3,a=-6. 答案答案: :-6-61.1.已知已知f(x)= f(x)= 在区间在区间(-,+)(-,+)内是单调内是单调减函数，则减函数，则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】由题意由题意00a a0.5.0.5.答案：答案：(0(0，0.5)0.5)2.2.定义新运算定义新运算：当：当abab时，时，ababa a；当；当a ab b时，时，ababb b2 2，则函数则函数f(xf(x) )(1x)x(1x)x(2x)(2x)，xx-2,2-2,2的最大值等于的最大值等于_._.【解析【解析】由已知得当由已知得当-2x1-2x1时，时，f(xf(x) )x-2x-2，当当1 1x2x2时，时，f(xf(x) )x x3 32,2,f(xf(x)= )= 在在-2,1-2,1,(1,2,(1,2内为单调增函数内为单调增函数. .f(xf(x) )的最大值为的最大值为f(2)f(2)2 23 3-2-26. 6. 答案：答案：6 6
