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1、 理学理学 工程力学学习资料工程力学学习资料-21-21动能定理动能定理工工程程力力学学| |第第21 21 章章21-3 动能定理动能定理 一质点的动能定理：一质点的动能定理：工工程程力力学学| |第第21 21 章章l质点在运动的过程中，其动能改变量等于质点在运动的过程中，其动能改变量等于 作用在质点上的力在此过程中所作的功。作用在质点上的力在此过程中所作的功。 积分形式积分形式21-3 动能定理动能定理 质点动能的增量等于作用在质点动能的增量等于作用在 质点上力的元功质点上力的元功 微分形式微分形式工工程程力力学学| |第第21 21 章章二质点系的动能定理二质点系的动能定理 设设质质点
2、点系系由由n个个质质点点组组成成，第第i个个质质点点的的质质量量为为mi，速度为速度为vi ，根据质点的动能定理的微分形式，有，根据质点的动能定理的微分形式，有21-3 动能定理动能定理 工工程程力力学学| |第第21 21 章章 质点系在某一段运动过程中，其动质点系在某一段运动过程中，其动能改变量等于作用在质系上的所有力能改变量等于作用在质系上的所有力在运动过程中所作功的和在运动过程中所作功的和 积分形式积分形式 质点系动能的增量等于作用在质点系动能的增量等于作用在质点系上所有力的元功之和质点系上所有力的元功之和 微分形式微分形式21-3 动能定理动能定理 工工程程力力学学| |第第21 2
3、1 章章三三. 理想约束及内力作功理想约束及内力作功（2）可动铰支座、固定铰支座可动铰支座、固定铰支座（1）光滑固定面约束光滑固定面约束1 1、理想约束：、理想约束：FN其约束力作元功为零的约束。其约束力作元功为零的约束。21-3 动能定理动能定理 工工程程力力学学| |第第21 21 章章（3 ) 中间铰链中间铰链（4 ) 柔索约束（不可伸长的绳索）柔索约束（不可伸长的绳索）FT21-3 动能定理动能定理 工工程程力力学学| |第第21 21 章章FNFS（5 ) 纯滚动纯滚动纯滚动的接触点为理想约束纯滚动的接触点为理想约束21-3 动能定理动能定理 工工程程力力学学| |第第21 21 章
4、章OxyzABrArBdrBAFF 一般情况下，内力作功之和不为零。一般情况下，内力作功之和不为零。2、 内力做功内力做功刚体：刚体： ，内力作功之和为零。，内力作功之和为零。21-3 动能定理动能定理 工工程程力力学学| |第第21 21 章章例题：例题：均质圆盘均质圆盘A A：m m，r r, ,滑块滑块B B：m m；杆；杆ABAB：质量不质量不计，平行于斜面。斜面倾角计，平行于斜面。斜面倾角 ，摩擦，摩擦系数系数f f，圆盘，圆盘A A作纯滚动，系统初始静止。求：作纯滚动，系统初始静止。求：当圆盘当圆盘A A沿斜面下滑距离沿斜面下滑距离S S时，滑块时，滑块B B的加速的加速度。度。工
5、工程程力力学学| |第第21 21 章章解：选系统为研究对象解：选系统为研究对象运动学关系：运动学关系：圆盘圆盘A作平面运动作平面运动滑块滑块B作平移作平移圆盘圆盘A作纯滚动作纯滚动工工程程力力学学| |第第21 21 章章由动能定理由动能定理：对对求导，得求导，得工工程程力力学学| |第第21 21 章章例题例题: :均质圆柱质量为均质圆柱质量为m, ,半径为半径为r，绳绕，绳绕在圆柱体上，固定于在圆柱体上，固定于A A点，若圆柱体与点，若圆柱体与斜面的摩擦系数斜面的摩擦系数 , ,求质心求质心C C 沿斜面下沿斜面下落的加速度。落的加速度。CAB工工程程力力学学| |第第21 21 章章S
6、CAB解：选圆柱体为研究对象解：选圆柱体为研究对象圆柱体作平面运动圆柱体作平面运动wD为圆柱体的速度瞬心为圆柱体的速度瞬心工工程程力力学学| |第第21 21 章章SCABw将上式两端对时间求一阶导数得到：将上式两端对时间求一阶导数得到： 工工程程力力学学| |第第21 21 章章例题例题: :长同为长同为 l 的两根均质杆用铰链的两根均质杆用铰链B B相连，相连，C C端沿光滑铅直墙壁下滑，当端沿光滑铅直墙壁下滑，当ABAB由水平位置到达铅直位置时，由水平位置到达铅直位置时，BCBC到达到达水平位置，求该瞬时水平位置，求该瞬时C C点的速度，系统点的速度，系统初始静止。初始静止。BCBAC工
7、工程程力力学学| |第第21 21 章章BCBACvBvCBC杆速度瞬心为杆速度瞬心为B点，即点，即则则AB杆瞬时静止，杆瞬时静止，解解：取整个系统为研究对象取整个系统为研究对象AB杆作定轴转动杆作定轴转动BC作平面运动作平面运动工工程程力力学学| |第第21 21 章章BCBACvBvC由由得得工工程程力力学学| |第第21 21 章章例例： 在在对对称称连连杆杆的的A点点，作作用用一一铅铅垂垂方方向向的的常常力力F，开开始始时时系系统统静静止止，如如图图。求求连连杆杆OA运运动动到到水水平平位位置置时时的的角角速速度度。设设连连杆杆长长均均为为l，质质量量均为均为m，均质圆盘质量为，均质圆
8、盘质量为m1，且作纯滚动。，且作纯滚动。OaAFBwvB工工程程力力学学| |第第21 21 章章解：以系统为研究对象解：以系统为研究对象,受力如图受力如图OaAFBwOA杆定轴转动，杆定轴转动，AB、圆盘、圆盘B平面运动平面运动运动学关系运动学关系：OA运动到水平位置时：运动到水平位置时：vBvA工工程程力力学学| |第第21 21 章章在运动过程中所有的力所作的功为在运动过程中所有的力所作的功为解得解得由由得得wvBOaAFB工工程程力力学学| |第第21 21 章章作业：作业：2111，15，16工工程程力力学学| |第第21 21 章章质点系动量定理的投影形式质点系动量定理的投影形式质
9、点系动量定理质点系动量定理质心运动定理质心运动定理 动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用工工程程力力学学| |第第21 21 章章质点系动量矩定理质点系动量矩定理定轴转动微分方程定轴转动微分方程刚体的平面运动刚体的平面运动微分方程微分方程质点系动量矩定理投影式质点系动量矩定理投影式工工程程力力学学| |第第21 21 章章质点系的动能定理：质点系的动能定理： 微分形式微分形式 积分形式积分形式工工程程力力学学| |第第21 21 章章 动动量量定定理理和和动动量量矩矩定定理理是是矢矢量量形形式式，因因质质点点系系的的内内力力不不能能改改变变系系统统的的动动量量和和动动量量矩矩，应应用用
10、时时只只需需考考虑虑质质点点系系所所受受的的外外力力；动动能能定定理理是是标标量量形形式式，在在很很多多问问题题中中约约束束力力不不作作功功，因因而而应应用用它它分分析析系系统统速速度变化是比较方便的。度变化是比较方便的。工工程程力力学学| |第第21 21 章章下面就只用一个定理就能求解的题目，如下面就只用一个定理就能求解的题目，如何选择定理，说明如下：何选择定理，说明如下： (1 1 )与路程有关的问题用动能定理，与路程有关的问题用动能定理，与时间有关的问题用动量定理或动量矩定理。与时间有关的问题用动量定理或动量矩定理。 (2 2 )已知主动力求质点系的运动用动已知主动力求质点系的运动用动
11、能定理，能定理，已知质点系的运动求约束力用动量定已知质点系的运动求约束力用动量定理或质心运动定理或动量矩定理。理或质心运动定理或动量矩定理。工工程程力力学学| |第第21 21 章章 (3) 如果问题是要求加速度或角加速如果问题是要求加速度或角加速度，度，可用动能定理求出速度可用动能定理求出速度(或角速度或角速度) ，然后再对时间求导，求出加速度，然后再对时间求导，求出加速度(或角加速度或角加速度) 。也可用动量定理或动。也可用动量定理或动量矩定理求解。量矩定理求解。在用动能定理，不作在用动能定理，不作功的未知力在方程中不出现，给问题功的未知力在方程中不出现，给问题的求解带来很大的方便。的求解
12、带来很大的方便。(4)(4) 对于定轴转动问题，可用定轴转动对于定轴转动问题，可用定轴转动的微分方程求解。的微分方程求解。对于刚体的平面运动对于刚体的平面运动问题，可用平面运动微分方程求解。问题，可用平面运动微分方程求解。工工程程力力学学| |第第21 21 章章 例例题题: 如如图图均均质质杆杆质质量量为为m，长长为为l，可可绕绕距距端端点点l/3的的转转轴轴O转转动动，求求杆杆由由水水平平位位置置静静止止开开始始转转动动到到任任一一位位置置时时的的角角速速度度、角角加速度以及加速度以及O处处的约束力。的约束力。jCOmgw工工程程力力学学| |第第21 21 章章转动到任一位置时的动能为转
13、动到任一位置时的动能为在此过程中所有的力所作的功为在此过程中所有的力所作的功为解法解法1：用动能定理求运动：用动能定理求运动FOyFOx以杆为研究对象。以杆为研究对象。 作定轴转动作定轴转动jCOmgw工工程程力力学学| |第第21 21 章章 将前式两边对时间求导，得将前式两边对时间求导，得jCOmgw由得工工程程力力学学| |第第21 21 章章解法解法2：用微分方程求运动：用微分方程求运动COmg由定轴转动微分方程由定轴转动微分方程即即所以所以即即所以所以FOyFOxa工工程程力力学学| |第第21 21 章章由质心运动定理由质心运动定理 求约束力求约束力jCOwaaCxaCyatCan
14、CCOmgFOyFOxxy工工程程力力学学| |第第21 21 章章COmgxyaCxaCyFOyFOx得：得：解得：解得：工工程程力力学学| |第第21 21 章章 例例 均均质质细细杆杆长长为为l，质质量量为为m，静静止止直直立立于于光光滑滑水水平平面面上上。当当杆杆受受微微小小干干扰扰而而倒倒下下时时，求求杆杆刚刚刚刚到到达达地地面面时时质质心心C的的速速度和杆的角速度以及地面约束力。度和杆的角速度以及地面约束力。ACqw工工程程力力学学| |第第21 21 章章 解：以杆为研究对象，作平面运动解：以杆为研究对象，作平面运动 受力如图受力如图杆任意时刻的动能为杆任意时刻的动能为PACqw
15、vCvAACqwmgFNA由由于于地地面面光光滑滑，直直杆杆沿沿水水平平方方向向不不受受力力，水水平平方方向向质质心心运运动动守守恒恒，倒倒下下过过程程中中质质心心将将铅铅直直下下落落。杆杆运运动动到到任任一一位位置置 (与与水水平平方方向向夹夹角角为为 )时时的的角角速速度为度为xy工工程程力力学学| |第第21 21 章章 此过程只有重力作功此过程只有重力作功当当 0时解出时解出PACqwvCvA工工程程力力学学| |第第21 21 章章 杆刚达到地面时受力如图所示杆刚达到地面时受力如图所示以以A为基点，则为基点，则C点的加速度为点的加速度为沿铅垂方向投影，得沿铅垂方向投影，得联立求解方程联立求解方程(1)(3)，得，得ACaaCmgFNAACaCa a w wanCAaAatCA由刚体平面运动微分方程得由刚体平面运动微分方程得结束结束
