2022年数列与不等式教师版

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1、精品资料欢迎下载数列数列：等 差 数 列 定 义 、 通 项 公 式 及 变 形nmaanm d、 等 差 数 列 通 项 的 性 质（152432aaaaa） 、等差数列求和公式；等比数列的定义、通项公式及变形n mnmaa q、等差数列通项的性质（215243a aa aa） 、等差数列求和公式（注意q是否等于 1）数列的和：求和方法（分组求和、裂项求和、错位相减求和）；前n项和nS与na关系的运用数列求通项：累差叠加、累积相消、121nnaa型、利用归纳法得通项数学归纳法的简单运用典型例题：1. 定义在 (,0)(0,)上的函数( )f x ，如果对于任意给定的等比数列na，()nf a

2、仍是等比数列，则称( )f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)上的如下函数：2( )f xx ；( )2xf x；( )|f xx ；( )ln |f xx . 则其中是“保等比数列函数”的( )f x 的序号为A. BCD解析： 等比数列性质，212nnnaaa，122212222nnnnnnafaaaafaf； 12221222222naaaaannafafafnnnnn；122122nnnnnnafaaaafaf；122122lnlnlnnnnnnnafaaaafaf.选 C2. 已知等比数列na为递增数列， 且2510+2+1=,2+=5nnnaaaaa，则数列na

3、的通项公式=na_【 解 析 】 设 等 比 数 列na的 公 比 为q， 则 由+2+12+= 5nnnaaa得 ，222+2=5 ,2-5 +2=0qqqq， 解得1=2q或q 2，又由2510=aa知，24911=a qa q，所以1=aq，因为na为递增数列，所以1= =2aq，=2nna3. 已知等差数列na的前n项和为55,5,15nSaS，则数列11nna a的前 100 项和为A100101B99101C99100D101100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页精品资料欢迎下载答案 A 【解析】由5

4、5,5,15nSaS可得1114515415152nadaandad11111(1)1nna an nnn100111111100(1)()()1223100101101101S4. 已知na为等比数列，472aa，568a a，则110aa（）()A7()B5()C()D【解析】选D472aa，56474784,2a aa aaa或472,4aa471101104,28,17aaaaaa471011102,48,17aaaaaa5. 数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN.若则32b，1012b，则8a（A）0 （B）3 （C） 8 （D）11 B解析：由已知知128,

5、28,nnnbnaan由叠加法21328781()()()642024603aaaaaaaa6. 已知数列 an 的通项公式为an2n1.令 bn1n(a1a2 an)，则数列 bn的前 10 项和 T10() A70 B75 C80 D85 解析： 因为an2n1，所以数列 an 是个等差数列，其首项a13，其前n项和Sna1a2ann a1an2n32n12n22n， 所以bn1nSn1n(n22n) n2， 故数列 bn也是一个等差数列，其首项为b1 3，公差为d1，所以其前10 项和T1010b11092d10 345 75，故选 B. 精选学习资料 - - - - - - - - -

6、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页精品资料欢迎下载7. 已知数列 an 的前n项和21()2nSnkn kN,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求 an；（2）求数列922nna的前 n 项和 Tn。解: （1） 当nkN时，212nSnkn取最大值， 即22211822kkk， 故4k，从而19(2)2nnnaSSn n，又1172aS，所以92nan（1）因为19222nnnnanb，1222123112222nnnnnnTbbb所以21211111222 144222222nnnnnnnnnnnTTT8.函数2( )23f xxx。 定义数列nx如下：

7、112,nxx是过两点(4,5),(,()nnnPQxf x的直线nPQ与x轴交点的横坐标。（1）证明：23nx；解： （1）为2(4)4835f，故点(4,5)P在函数( )f x的图像上，故由所给出的两点(4,5),(,()nnnPQxf x，可知，直线nPQ斜率一定存在。故有直线nPQ的直线方程为()55(4)4nnfxyxx，令0y，可求得2284355(4)4422nnnnnnxxxxxxxxx所以1432nnnxxx下面用数学归纳法证明23nx当1n时，12x，满足123x假设nk时，23kx成立，则当1nk时，1435422kkkkxxxx，由551152342512432442

8、kkkkxxxx即123kx也成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页精品资料欢迎下载综上可知23nx对任意正整数恒成立。不等式：不等式的基本性质（作差比较、传递性）、基本不等式：常见公式利用基本不等式求最值注意取等条件不等式的解法：重要的为含参数的一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式简单的不等式证明问题线性规划：三种形式（截距型、斜率型、距离型）1. 下列不等式一定成立的是（）A)0(lg)41lg(2xxxB),(2sin1sinZkkxxxC)(|212RxxxD)( 1112Rxx解答： A 中，)410

9、(4122xxxxx时，当。B 中，)1 , 0(sin2sin1sinxxx；)0, 1(sin2sin1sinxxx。 C 中，)(0)1|(|1|222Rxxxx。D 中，)(1 ,0(112Rxx。2. 不等式0121xx的解集为A.1 ,21 B.1 ,21 C., 121. D., 121,【解析】选A(21)(1)01101210212xxxxxx3. 设, , , , ,a b c x y z 是正数，且22210abc，22240xyz，20axbycz，则abcxyzA14B13C12D34解析： 由于222222)()(2czbyaxzyxcba等号成立当且仅当, tzc

10、ybxa则 a=t x b=t y c=t z ，10)(2222zyxt所以由题知2/1t,又2/1,tzyxcbazyxcbazcybxa所以，答案选C. 4. 设ABC的内角,A B C所对的边为, ,a b c；则下列命题正确的是_若2abc，则3C若2abc，则3C若333abc，则2C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页精品资料欢迎下载若()2ab cab，则2C若22222()2abca b；则3C【解析】正确的是_方法一、222221cos2223abcabababcCCabab2222224()()

11、12cos2823abcabababcCCabab当2C时，22232233cabca cb cab与333abc矛盾取2,1abc满足()2ab cab得：2C; 或者22222222222224cos222ababababa babcabCababab ab2222222224022abababab aba bab abab ab，所以2C或者2222ababab cabcababab，即2abc，转化为取2,1abc满足22222()2abca b得：3C因为2222222222222222a ba babca bcababab，即2abc，转化为方法二、对于，由2222coscabab

12、Cab得222cos12abbaCabab，则1cos2C，因为0C，所以3C，故正确；对于，由222224448cos2cababCabab得228cos23abCab，即8cos236abCba，则1cos2C，因为0C，所以3C，故正确；对于 对 于 ，333abc可 变 为331abcc， 可 得01,01abcc， 所 以33221ababcccc， 所 以222cab， 故2C， 正 确 ； 对 于 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页精品资料欢迎下载2ab cab可 变 为11122cabab， 可

13、得a bc， 所 以2abc， 因 为2222abababc，所以2C，错误；对于，222222abca b可变为222112abc，即211cab，所以2222abcab，所以2212cos22abCab，所以3C，故错误 . 答案为5.若 a、b 是正常数， ab，x、y(0， )，则a2xb2ya b2xy，当且仅当axby时上式取等号利用以上结论，可以得到函数f(x)4x912xx 0，12的最小值为 _解析： 由题意知， f(x)22x3212x，x 0，12，23 且均为正常数，x 0，12， 12x(0,1)， 22x321 2x2321x， 当且仅当2x312x时，即 x27时

14、等号成立， 即 f(x)35. 答案： 35 6. 已知)3)(2()(mxmxmxf，22)(xxg，若同时满足条件：Rx，0)(xf或0)(xg；, 4x, )(xf0)(xg。则 m 的取值范围是_。【解析】解法一、根据022)(xxg，可解得1x。由于题目中第一个条件的限制Rx，0)(xf或0)(xg成立的限制，导致)(x在1x时必须是0)(xf的。当0m时，0)(xf不能做到)(xf在1x时0)(xf，所以舍掉。 因此，)(xf作为二次函数开口只能向下，故0m，且此时两个根为mx21，32mx。为保证此条件成立，需要421131221mmmxmx，和大前提0m取交集结果为04m；又由

15、于条件2：要求)4,(x，)()(xgxf0 的限制，可分析得出在)4,(x时，g x恒负，因精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页精品资料欢迎下载此就需要在这个范围内fx有得正数的可能，即4应该比21, xx两根中小的那个大，当)0, 1(m时，43m，解得，交集为空，舍。当1m时，两个根同为42，舍。当)1,4(m时，42m，解得2m，综上所述)2,4(m解法二、根据022)(xxg，可解得1x。由于题目中第一个条件的限制Rx，0)(xf或0)(xg成立的限制，导致在1x时必须是0)(xf的。当0m时，在1,x内，

16、必存在0001fxx，因此，)(xf作为二次函数开口只能向下，故0m，此时230m xmxm恒成立，即230xmxm恒成立，此时只需2131mm，解得40m；又由于条件2：存在)4,(x，)()(xgxf0 即为4x时，23220xm xmxm有解， 而4x时，220x成立，故只需在4x时，230m xmxm有解即可，由条件知40m，因而230m xmxm有 解 ， 即230xmxm有 解 即 可 ， 需 满 足2324mmm或3234mmm，解得2m，综上)2,4(m解法三、当1x时，0g x，当1x时，0g x，当1x时，0g x0m时，不符合题意当0m时，根据函数fx和g x的单调性，一

17、定存在区间,a使0fx且0g x，故0m时不符合第条的要求当0m时，如图所示，如果符合的要求，则函数fx的两个零点都得小于1，如果符合第条要求， 则函数fx至少有一个零点小于4，问题等价于函数fx有两个不相等的 零 点 ， 其 中 较 大 的 零 点 小 于1， 较 小 的 零 点 小 于4， 函 数fx的 两 个 零 点 是2 ,3mm，故m满足002323,24213134mmmmmmmmmm或者精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页精品资料欢迎下载解第一个不等式组得)2,4(m，第二个不等式无解，综上)2,4(m

18、7. 设 aR，若 x0 时均有 (a 1)x1( x 2ax1)0，则 a_【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：(A)2(1)1010axxax， 无解； (B)2(1)1010axxax， 无解因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题其实在 x0 的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负(如下答图 ) 我们知道：函数y1(a1)x1，y2x 2ax1 都过定点P(0，1)考查函数y1(a1)x1：令 y0，得 M(11a，0)，还可分析得：a1；考查函数y2x 2ax1：显然过点M(11a，0)，代入得：211011aaa

19、，解之得：23a0或者a，舍去0a，得答案：23a【答案】23a8. 设变量 x，y 满足约束条件x2y50xy2 0x0，则目标函数z 2x3y1 的最大值为 () A11 B 10 C9 D8.5 解析： 可行域如图当目标函数过点A 时，取最大值，由xy20x2y50精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页精品资料欢迎下载得 A(3,1)，故最大值为10. 9.设 m1，在约束条件yx，ymx，xy1下，目标函数zx 5y 的最大值为4，则m 的值为_解析： 作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影OAB.目标函数可化

20、为y15x15z. 它在 y 轴上的截距最大时z 最大当目标函数线过点A 时 z 最大由xy1ymx解得 A1m1，mm 1， zmax1m15mm15m1m 14，m3.答案： 3 10.若实数 x，y 满足4x3y0，x y 14，x y7，则x2y2的取值范围是_解析： 如图所示，不等式组4x3y0x y14x y7所表示的可行域为线段AB，x2y2可看作是可行域内的点P(x， y)到原点 O 的距离，由图易知 |PO|min0，|PO|max|AO|，由4x 3y0，xy 14，得 A(6,8)，故|PO|max6282 10，即x2y2的取值范围为 0,1011.已知正数a b c，

21、 ，满足：4ln53lnbcaacccacb，则ba的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页精品资料欢迎下载解析： 条件4ln53lnbcaacccacb ，可化为354acabccabccbec。设=abxycc，则题目转化为：已知x y，满足35400xxyxyyexy，求yx的取值范围。作出（xy，）所在平面区域（如图）。求出=xy e的切线的斜率 e ，设过切点00P xy，的切线为=0y exm m，则00000=yexmmexxx，要使它最小，须=0m。yx的最小值在00P xy，处，为 e。此时

22、，点00P xy，在=xy e上,A B之间。当（x y，）对应点C时，=45 =205=7=7=534 =2012yxyxyyxyxyxx，yx的最大值在C处，为 7。yx的取值范围为 7e，即ba的取值范围是 7e ，。12. 已知函数2( )ln(2)f xxaxa x讨论( )f x 的单调性；( )f x的定义域为(0,)，1(21)(1)( )2(2).xaxfxaxaxx（ i ）若0a，则( )0fx，所以( )f x在(0,)单调增加 . （ ii ）若0a，则由( )0fx得1xa，且当1(0,)xa时，( )0fx，当1xa时，( )0fx.所以1( )(0,)f xa在

23、单调增加，在1(,)a单调减少 . 13. 已知cba,均为正数，证明：36)111(2222cbacba，并确定cba,为何精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页精品资料欢迎下载值时，等号成立。（证法一）因为a，b，c 均为正数，由平均值不等式得22223133()1113()abcabcabcabc所以2231119()abcabc故22222233111()3()9()abcabcabcabc. 又22333()9()2 276 3abcabc所以原不等式成立.当且仅当a=b=c 时，式和式等号成立。当且仅当2

24、2333()9()abcabc时，式等号成立。即当且仅当a=b=c=143时，原式等号成立。（证法二）因为 a， b，c 均为正数，由基本不等式得222222222ababbcbccaac所以222abcabbcac同理222111111abcabbcac故2222111()abcabc1113336 3abbcacabbcac所以原不等式成立.当且仅当a=b=c 时，式和式等号成立，当且仅当a=b=c ，222()()()3abbcac时，式等号成立。即当且仅当a=b=c=143时，原式等号成立。13. 已知=+1fxaxaR，不等式3fx的解集为-21xx（1）求a的值（2）若-22xfxfk恒成立，求k的取值范围（1）由+13ax得-42ax，又3fx的解集为-21xx，所以当0a时，不合题意当0a时，42-xaa，得=2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精品资料欢迎下载（2）记=-22xh xfxf，则1,-11=-4 -3,-1 -21-1,-2xh xxxx，所以1h x，因此1k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页