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1、精品资料欢迎下载数列数列:等 差 数 列 定 义 、 通 项 公 式 及 变 形nmaanm d、 等 差 数 列 通 项 的 性 质(152432aaaaa) 、等差数列求和公式;等比数列的定义、通项公式及变形n mnmaa q、等差数列通项的性质(215243a aa aa) 、等差数列求和公式(注意q是否等于 1)数列的和:求和方法(分组求和、裂项求和、错位相减求和);前n项和nS与na关系的运用数列求通项:累差叠加、累积相消、121nnaa型、利用归纳法得通项数学归纳法的简单运用典型例题:1. 定义在 (,0)(0,)上的函数( )f x ,如果对于任意给定的等比数列na,()nf a
2、仍是等比数列,则称( )f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)上的如下函数:2( )f xx ;( )2xf x;( )|f xx ;( )ln |f xx . 则其中是“保等比数列函数”的( )f x 的序号为A. BCD解析: 等比数列性质,212nnnaaa,122212222nnnnnnafaaaafaf; 12221222222naaaaannafafafnnnnn;122122nnnnnnafaaaafaf;122122lnlnlnnnnnnnafaaaafaf.选 C2. 已知等比数列na为递增数列, 且2510+2+1=,2+=5nnnaaaaa,则数列na
3、的通项公式=na_【 解 析 】 设 等 比 数 列na的 公 比 为q, 则 由+2+12+= 5nnnaaa得 ,222+2=5 ,2-5 +2=0qqqq, 解得1=2q或q 2,又由2510=aa知,24911=a qa q,所以1=aq,因为na为递增数列,所以1= =2aq,=2nna3. 已知等差数列na的前n项和为55,5,15nSaS,则数列11nna a的前 100 项和为A100101B99101C99100D101100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精品资料欢迎下载答案 A 【解析】由5
4、5,5,15nSaS可得1114515415152nadaandad11111(1)1nna an nnn100111111100(1)()()1223100101101101S4. 已知na为等比数列,472aa,568a a,则110aa()()A7()B5()C()D【解析】选D472aa,56474784,2a aa aaa或472,4aa471101104,28,17aaaaaa471011102,48,17aaaaaa5. 数列na的首项为3,nb为等差数列且1(*)nnnbaanN.若则32b,1012b,则8a(A)0 (B)3 (C) 8 (D)11 B解析:由已知知128,
5、28,nnnbnaan由叠加法21328781()()()642024603aaaaaaaa6. 已知数列 an 的通项公式为an2n1.令 bn1n(a1a2 an),则数列 bn的前 10 项和 T10() A70 B75 C80 D85 解析: 因为an2n1,所以数列 an 是个等差数列,其首项a13,其前n项和Sna1a2ann a1an2n32n12n22n, 所以bn1nSn1n(n22n) n2, 故数列 bn也是一个等差数列,其首项为b1 3,公差为d1,所以其前10 项和T1010b11092d10 345 75,故选 B. 精选学习资料 - - - - - - - - -
6、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精品资料欢迎下载7. 已知数列 an 的前n项和21()2nSnkn kN,且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,求 an;(2)求数列922nna的前 n 项和 Tn。解: (1) 当nkN时,212nSnkn取最大值, 即22211822kkk, 故4k,从而19(2)2nnnaSSn n,又1172aS,所以92nan(1)因为19222nnnnanb,1222123112222nnnnnnTbbb所以21211111222 144222222nnnnnnnnnnnTTT8.函数2( )23f xxx。 定义数列nx如下:
7、112,nxx是过两点(4,5),(,()nnnPQxf x的直线nPQ与x轴交点的横坐标。(1)证明:23nx;解: (1)为2(4)4835f,故点(4,5)P在函数( )f x的图像上,故由所给出的两点(4,5),(,()nnnPQxf x,可知,直线nPQ斜率一定存在。故有直线nPQ的直线方程为()55(4)4nnfxyxx,令0y,可求得2284355(4)4422nnnnnnxxxxxxxxx所以1432nnnxxx下面用数学归纳法证明23nx当1n时,12x,满足123x假设nk时,23kx成立,则当1nk时,1435422kkkkxxxx,由551152342512432442
8、kkkkxxxx即123kx也成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精品资料欢迎下载综上可知23nx对任意正整数恒成立。不等式:不等式的基本性质(作差比较、传递性)、基本不等式:常见公式利用基本不等式求最值注意取等条件不等式的解法:重要的为含参数的一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式简单的不等式证明问题线性规划:三种形式(截距型、斜率型、距离型)1. 下列不等式一定成立的是()A)0(lg)41lg(2xxxB),(2sin1sinZkkxxxC)(|212RxxxD)( 1112Rxx解答: A 中,)410
9、(4122xxxxx时,当。B 中,)1 , 0(sin2sin1sinxxx;)0, 1(sin2sin1sinxxx。 C 中,)(0)1|(|1|222Rxxxx。D 中,)(1 ,0(112Rxx。2. 不等式0121xx的解集为A.1 ,21 B.1 ,21 C., 121. D., 121,【解析】选A(21)(1)01101210212xxxxxx3. 设, , , , ,a b c x y z 是正数,且22210abc,22240xyz,20axbycz,则abcxyzA14B13C12D34解析: 由于222222)()(2czbyaxzyxcba等号成立当且仅当, tzc
10、ybxa则 a=t x b=t y c=t z ,10)(2222zyxt所以由题知2/1t,又2/1,tzyxcbazyxcbazcybxa所以,答案选C. 4. 设ABC的内角,A B C所对的边为, ,a b c;则下列命题正确的是_若2abc,则3C若2abc,则3C若333abc,则2C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精品资料欢迎下载若()2ab cab,则2C若22222()2abca b;则3C【解析】正确的是_方法一、222221cos2223abcabababcCCabab2222224()()
11、12cos2823abcabababcCCabab当2C时,22232233cabca cb cab与333abc矛盾取2,1abc满足()2ab cab得:2C; 或者22222222222224cos222ababababa babcabCababab ab2222222224022abababab aba bab abab ab,所以2C或者2222ababab cabcababab,即2abc,转化为取2,1abc满足22222()2abca b得:3C因为2222222222222222a ba babca bcababab,即2abc,转化为方法二、对于,由2222coscabab
12、Cab得222cos12abbaCabab,则1cos2C,因为0C,所以3C,故正确;对于,由222224448cos2cababCabab得228cos23abCab,即8cos236abCba,则1cos2C,因为0C,所以3C,故正确;对于 对 于 ,333abc可 变 为331abcc, 可 得01,01abcc, 所 以33221ababcccc, 所 以222cab, 故2C, 正 确 ; 对 于 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精品资料欢迎下载2ab cab可 变 为11122cabab, 可
13、得a bc, 所 以2abc, 因 为2222abababc,所以2C,错误;对于,222222abca b可变为222112abc,即211cab,所以2222abcab,所以2212cos22abCab,所以3C,故错误 . 答案为5.若 a、b 是正常数, ab,x、y(0, ),则a2xb2ya b2xy,当且仅当axby时上式取等号利用以上结论,可以得到函数f(x)4x912xx 0,12的最小值为 _解析: 由题意知, f(x)22x3212x,x 0,12,23 且均为正常数,x 0,12, 12x(0,1), 22x321 2x2321x, 当且仅当2x312x时,即 x27时
14、等号成立, 即 f(x)35. 答案: 35 6. 已知)3)(2()(mxmxmxf,22)(xxg,若同时满足条件:Rx,0)(xf或0)(xg;, 4x, )(xf0)(xg。则 m 的取值范围是_。【解析】解法一、根据022)(xxg,可解得1x。由于题目中第一个条件的限制Rx,0)(xf或0)(xg成立的限制,导致)(x在1x时必须是0)(xf的。当0m时,0)(xf不能做到)(xf在1x时0)(xf,所以舍掉。 因此,)(xf作为二次函数开口只能向下,故0m,且此时两个根为mx21,32mx。为保证此条件成立,需要421131221mmmxmx,和大前提0m取交集结果为04m;又由
15、于条件2:要求)4,(x,)()(xgxf0 的限制,可分析得出在)4,(x时,g x恒负,因精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精品资料欢迎下载此就需要在这个范围内fx有得正数的可能,即4应该比21, xx两根中小的那个大,当)0, 1(m时,43m,解得,交集为空,舍。当1m时,两个根同为42,舍。当)1,4(m时,42m,解得2m,综上所述)2,4(m解法二、根据022)(xxg,可解得1x。由于题目中第一个条件的限制Rx,0)(xf或0)(xg成立的限制,导致在1x时必须是0)(xf的。当0m时,在1,x内,
16、必存在0001fxx,因此,)(xf作为二次函数开口只能向下,故0m,此时230m xmxm恒成立,即230xmxm恒成立,此时只需2131mm,解得40m;又由于条件2:存在)4,(x,)()(xgxf0 即为4x时,23220xm xmxm有解, 而4x时,220x成立,故只需在4x时,230m xmxm有解即可,由条件知40m,因而230m xmxm有 解 , 即230xmxm有 解 即 可 , 需 满 足2324mmm或3234mmm,解得2m,综上)2,4(m解法三、当1x时,0g x,当1x时,0g x,当1x时,0g x0m时,不符合题意当0m时,根据函数fx和g x的单调性,一
17、定存在区间,a使0fx且0g x,故0m时不符合第条的要求当0m时,如图所示,如果符合的要求,则函数fx的两个零点都得小于1,如果符合第条要求, 则函数fx至少有一个零点小于4,问题等价于函数fx有两个不相等的 零 点 , 其 中 较 大 的 零 点 小 于1, 较 小 的 零 点 小 于4, 函 数fx的 两 个 零 点 是2 ,3mm,故m满足002323,24213134mmmmmmmmmm或者精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精品资料欢迎下载解第一个不等式组得)2,4(m,第二个不等式无解,综上)2,4(m
18、7. 设 aR,若 x0 时均有 (a 1)x1( x 2ax1)0,则 a_【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:(A)2(1)1010axxax, 无解; (B)2(1)1010axxax, 无解因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题其实在 x0 的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负(如下答图 ) 我们知道:函数y1(a1)x1,y2x 2ax1 都过定点P(0,1)考查函数y1(a1)x1:令 y0,得 M(11a,0),还可分析得:a1;考查函数y2x 2ax1:显然过点M(11a,0),代入得:211011aaa
19、,解之得:23a0或者a,舍去0a,得答案:23a【答案】23a8. 设变量 x,y 满足约束条件x2y50xy2 0x0,则目标函数z 2x3y1 的最大值为 () A11 B 10 C9 D8.5 解析: 可行域如图当目标函数过点A 时,取最大值,由xy20x2y50精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精品资料欢迎下载得 A(3,1),故最大值为10. 9.设 m1,在约束条件yx,ymx,xy1下,目标函数zx 5y 的最大值为4,则m 的值为_解析: 作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影OAB.目标函数可化
20、为y15x15z. 它在 y 轴上的截距最大时z 最大当目标函数线过点A 时 z 最大由xy1ymx解得 A1m1,mm 1, zmax1m15mm15m1m 14,m3.答案: 3 10.若实数 x,y 满足4x3y0,x y 14,x y7,则x2y2的取值范围是_解析: 如图所示,不等式组4x3y0x y14x y7所表示的可行域为线段AB,x2y2可看作是可行域内的点P(x, y)到原点 O 的距离,由图易知 |PO|min0,|PO|max|AO|,由4x 3y0,xy 14,得 A(6,8),故|PO|max6282 10,即x2y2的取值范围为 0,1011.已知正数a b c,
21、 ,满足:4ln53lnbcaacccacb,则ba的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精品资料欢迎下载解析: 条件4ln53lnbcaacccacb ,可化为354acabccabccbec。设=abxycc,则题目转化为:已知x y,满足35400xxyxyyexy,求yx的取值范围。作出(xy,)所在平面区域(如图)。求出=xy e的切线的斜率 e ,设过切点00P xy,的切线为=0y exm m,则00000=yexmmexxx,要使它最小,须=0m。yx的最小值在00P xy,处,为 e。此时
22、,点00P xy,在=xy e上,A B之间。当(x y,)对应点C时,=45 =205=7=7=534 =2012yxyxyyxyxyxx,yx的最大值在C处,为 7。yx的取值范围为 7e,即ba的取值范围是 7e ,。12. 已知函数2( )ln(2)f xxaxa x讨论( )f x 的单调性;( )f x的定义域为(0,),1(21)(1)( )2(2).xaxfxaxaxx( i )若0a,则( )0fx,所以( )f x在(0,)单调增加 . ( ii )若0a,则由( )0fx得1xa,且当1(0,)xa时,( )0fx,当1xa时,( )0fx.所以1( )(0,)f xa在
23、单调增加,在1(,)a单调减少 . 13. 已知cba,均为正数,证明:36)111(2222cbacba,并确定cba,为何精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精品资料欢迎下载值时,等号成立。(证法一)因为a,b,c 均为正数,由平均值不等式得22223133()1113()abcabcabcabc所以2231119()abcabc故22222233111()3()9()abcabcabcabc. 又22333()9()2 276 3abcabc所以原不等式成立.当且仅当a=b=c 时,式和式等号成立。当且仅当2
24、2333()9()abcabc时,式等号成立。即当且仅当a=b=c=143时,原式等号成立。(证法二)因为 a, b,c 均为正数,由基本不等式得222222222ababbcbccaac所以222abcabbcac同理222111111abcabbcac故2222111()abcabc1113336 3abbcacabbcac所以原不等式成立.当且仅当a=b=c 时,式和式等号成立,当且仅当a=b=c ,222()()()3abbcac时,式等号成立。即当且仅当a=b=c=143时,原式等号成立。13. 已知=+1fxaxaR,不等式3fx的解集为-21xx(1)求a的值(2)若-22xfxfk恒成立,求k的取值范围(1)由+13ax得-42ax,又3fx的解集为-21xx,所以当0a时,不合题意当0a时,42-xaa,得=2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精品资料欢迎下载(2)记=-22xh xfxf,则1,-11=-4 -3,-1 -21-1,-2xh xxxx,所以1h x,因此1k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页