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1、学习必备欢迎下载考研积分上限的函数（变上限积分）知识点( )( )xaF xf t dt形如上式的积分，叫做变限积分。注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t在积分区间,xa上变动。（即在积分内的 x 作为常数，可以提到积分之外。 ）关于积分上限函数的理论定理 1 如果)(xf在,ba上连续，则)(xf在 （a，b） 上可积，而)(xf可积，则xadttfxF)()(在,ba上连续。定理 2 如果)(xf在,ba上有界，且只有有限个间断点，则)(xf在（a，b）上可积。定 理3 如 果)(xf在,ba上 连 续 ， 则xad
2、ttfxF)()(在,ba上 可 导 ， 而 且 有).()()(xfdttfdxdxFxa= 注： （）从以上定理可看出，对)(xf作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(xf经过求导后，其导函数)(xf甚至不一定是连续的。（）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数 ，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一
3、个整体，有重要意义。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载重要推论及计算公式：推论 1 )()(xfdttfdxdbx 推论 2 )()()()(xxfdttfdxdxc 推论 3 )()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx 题型中常见积分限函数的变形和复合情况：（1）比如xdttftxxF0)()()(被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来 .) 在求)(xF时，先将右端化为xxxxdtttfdttfxdtttfdttxf0000)()()()(的形式，再对x求导。分离后左边的
4、部分要按照(uv)=uv + uv 进行求导！（重点）（2）比如xdtxttfxF0)()( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面来 ) 在求)(xF时， 先对右端的定积分 做变量代换xtu（把x看作常数）， 此时，dudt，0t时，xu；xt时，0u，这样，)(xF就化成了以u作为积分变量的积分下限函数：000)()()()()(xxxduuufduufxduufuxxF，然后再对 x求导。( 3 ) 比如10)()(dtxtfxF(这是含参数 x 的定积分 , 可通过变量代换将x 变换到积分限的位置上去) 在求)(xF时，先对右端的定积分做变量代换xtu（把x看
5、作常数），此时，xdudt，0t时，0u；1t时，xu，于是，)(xF就化成了以u作为积分变量的积分上限函数：xduufxxF0)(1)(，然后再对 x 求导。有积分限函数参与的题型举例（1） 极限问题：例 1 xxxdtttttdt00230)sin(sinlim2（提示： 0/0 型，用洛必达法则，答： 12）例 2 xdttxx0sinlim（提示：洛必达法则求不出结果，用夹逼准则，0=|sinx|=1。 答：2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载例 3 已知极限1sin1lim00xxxdtc
6、ttabxe，试确定其中的非零常数.,cba（答：.1, 1, 1cba）（2） 求导问题例 4 已知.sin,)cos1(00ttuduyduux求.dxdy(参数方程，你懂的！答 :)cos1 (2sinttt) 例 5 已知.0cos00xyyttdtdte求.dxdy(答: )cos()cos(xyxexyyy) 例 6 求xdttxdxd02)sin(答: 2sin x) 例 7 设)(xf在),(内连续且,0)(xf求证xxdttfdtttfx00)()()(在), 0(内单调增加 . （同济高数课本 Unit5-3 例题 7）（3） 最大最小值问题例 8 在区间, 1e上求一点,
7、 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小. (提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:exxdtttdtxA)ln1 (ln)(1, 然后求出)(xA,再求出其驻点 . 答:e.) 例 9 设0x，n为正整数 . 证明xntdtttxf022sin)()(的最大值不超过.)32)(22(1nne y = ln xx y 1 1 O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载(提示:先求出函数的最大值点 , 然后估计函数最大值的上界.) (4) 积分问题例 10 计算10)(dxxxf，其中21sin)(xdt
8、ttxf. (提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求解 , 且取)(xu为积分上限函数 . 答: ).11(cos21) 例 11 设)(xf在),(内连续 , 证明.)()(000xuxdudttfduuxuf(提示: 对右端的积分施行分部积分法.) 例 12 设.2,00,212, 10)(xxxxxxxf求xdttfx0)()(在),(内的表达式 . (说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时 , 注意对任一取定的x, 积分变量t在,0x内变动. 答: .21,21)2(211,1021,00)(22xxxxxxx) (
9、5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题例 13 设函数)(x连续，且满足.)()()(00xxxdttxdtttex求).(x(答: )sin(cos21)(xexxx) （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解. 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: xxxsincos)(）例 14 设)(xf为正值连续函数 , , 1)0(f且对任一0x, 曲线)(xfy在区间,0x上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程 . (说明: 根据题设列出的方程将含有)(xf的积分上限函数 . 精选学习资料 - - - - - - - -
10、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载答: )0(2)(xeexfxx(6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等. 例 15 设)(),(xgxf均在,ba上连续 , 证明以下的 Cauchy-Swartz 不等式 : .)()()()(222bababadxxgdxxfdxxgxf说明: 本题的通常证法是从不等式0)()(badxxtgxf出发, 由关于t的二次函数非负的判别条件即可证得结论 . 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下 : 令.)()()()()(222xaxaxadttgdttfdttgtf
11、xF则.0)(aF求出)(xF并证明.0)(xF从而)(xF单调减少 , 于是得.0)()(aFbF由此可得结论 . 这种证法有一定的通用性. 例如下例 . 例 16 设)(xf在0,1上连续且单调减少 . 证明: 对任一, 10有.)()(100dxxfdxxf(提示: 即证.1)()(100dxxfdxxf于是作,)()(0xdttfxFx只需证)(xF单调减少即可得结论 .) 利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关的某些结论 . 比如下题 . 例 17 设)(),(xgxf在,ba上连续 . 求证: 存在),(ba, 使abdxxfgdxxgf)()()()(.
12、(提示: 令bxxadttgdttfxF)()()(. 对)(xF在,ba上用 Rolle 定理即可证得结论 ) 关于积分限函数的奇偶性与周期性定理 4 设xf连续，xdttfx0.如果xf是奇（偶）函数，则x 是偶（奇）函数；如果xf是周期为 T 的函数，且00Tdxxf,则x 是相同周期的周期函数 . 证设xf奇, 则xduufduufudufdttfxxfxxutx0000奇, 即x 为偶函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载设xf偶, 则xduufduufudufdttfxxfxxutx0000偶, 即x 为奇函数 . 若00Tdxxf，则xdttfxdttfdttfdttfTxTTxxxTx000, 即)(x为周期为 T 的周期函数 . 例 18 设)(xf在),(内连续 , xdttfxtxF0)()2()(. 证明: (a) 如果)(xf是偶函数 , 则)(xF也是偶函数 ; (b) 如果)(xf是单调减少函数 , 则)(xF也是单调减少函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
