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1、计量经济学课件第计量经济学课件第6章章第六章第六章 联立方程计量经济模型理论方法联立方程计量经济模型理论方法Theory and Methodology of Simultaneous-Theory and Methodology of Simultaneous-Equations Econometrics ModelEquations Econometrics Model6.1 6.1 联立方程计量经济学模型的提出联立方程计量经济学模型的提出 6.2 6.2 联立方程计量经济学模型的基本概念联立方程计量经济学模型的基本概念 6.3 6.3 联立方程计量经济学模型的识别联立方程计量经济学模型的
2、识别 6.4 6.4 联立方程计量经济学模型的估计联立方程计量经济学模型的估计 6.5 6.5 联立方程计量经济学模型的讨论联立方程计量经济学模型的讨论 6.1 6.1 问题的提出问题的提出一、经济研究中的联立方程计量经济学问题一、经济研究中的联立方程计量经济学问题二、计量经济学方法中的联立方程问题二、计量经济学方法中的联立方程问题 一、经济研究中的联立方程计量经一、经济研究中的联立方程计量经济学问题济学问题 研究对象研究对象经济系统，而不是单个经济活动经济系统，而不是单个经济活动 “系统系统”的相对性的相对性相互依存、互为因果，而不是单向因果关系相互依存、互为因果，而不是单向因果关系必须用一
3、组方程才能描述清楚必须用一组方程才能描述清楚 一个简单的宏观经济系统一个简单的宏观经济系统由国内生产总值由国内生产总值Y Y、居民消费总额、居民消费总额C C、投资总额、投资总额I I和和政府消费额政府消费额G G等变量构成简单的宏观经济系统。等变量构成简单的宏观经济系统。将政府消费额将政府消费额G G由系统外部给定，其他内生。由系统外部给定，其他内生。 在消费方程和投资方程中，在消费方程和投资方程中，国内生产总值决定居国内生产总值决定居民消费总额和投资总额；民消费总额和投资总额；在国内生产总值方程中，它又由居民消费总额和在国内生产总值方程中，它又由居民消费总额和投资总额所决定。投资总额所决定
4、。二、计量经济学方法中的联立方程二、计量经济学方法中的联立方程问题问题随机解释变量问题随机解释变量问题 解释变量中出现随机变量，而且与误差项相关。解释变量中出现随机变量，而且与误差项相关。为什么？为什么？损失变量信息问题损失变量信息问题 如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损失变量信息。失变量信息。为什么？为什么？损失方程之间的相关性信息问题损失方程之间的相关性信息问题 联立方程模型系统中每个随机方程之间往往存在联立方程模型系统中每个随机方程之间往往存在某种相关性。某种相关性。表现于不同方程随机误差项之间。表现于不同方程随机误差项之间。如果用单方程
5、模型的方法估计某一个方程，将损如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损失失不同方程之间相关性信息。不同方程之间相关性信息。 结论结论必须发展新的估计方法估计联立方程计量经济学必须发展新的估计方法估计联立方程计量经济学模型，以尽可能避免出现这些问题。模型，以尽可能避免出现这些问题。这就从计量经济学理论方法上提出了联立方程问这就从计量经济学理论方法上提出了联立方程问题。题。 6.26.2联立方程计量经济学模型的若干联立方程计量经济学模型的若干基本概念基本概念 一、变量一、变量二、结构式模型二、结构式模型三、简化式模型三、简化式模型四、参数关系体系四、参数关系体系一、变量一、变量内生变量内生变量
6、（Endogenous Variables）对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变量，而将变量分为内变量与解释变量来划分变量，而将变量分为内生变量和外生变量两大类。生变量和外生变量两大类。内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素。的参数是联立方程系统估计的元素。内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。系统产生影响。内生变量一般都是经济变量。内生变量一般都是经济变量。 一般情况下，内生变量与随机项相关，即一般情
7、况下，内生变量与随机项相关，即 在联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量，在联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量，又可以在不同的方程中作为解释变量。又可以在不同的方程中作为解释变量。外生变量外生变量 (Exogenous Variables)外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。元素。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变
8、量。虚变量。一般情况下，外生变量与随机项不相关。一般情况下，外生变量与随机项不相关。 先决变量先决变量（Predetermined Variables） 外生变量与滞后内生变量外生变量与滞后内生变量(Lagged Endogenous Variables)统称为先决变量。统称为先决变量。滞滞后后内内生生变变量量是是联联立立方方程程计计量量经经济济学学模模型型中中重重要要的的不不可可缺缺少少的的一一部部分分变变量量，用用以以反反映映经经济济系系统统的的动态性与连续性。动态性与连续性。先决变量只能作为解释变量。先决变量只能作为解释变量。 二、结构式模型二、结构式模型Structural Model
9、Structural Model定义定义根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模直接结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。型。 结构式模型中的每一个方程都是结构方程结构式模型中的每一个方程都是结构方程（ Structural Equations Structural Equations ）。各个结构方程的参数被称为结构参数各个结构方程的参数被称为结构参数（ Structural Structural Parameters or Coefficients Parameters or Coeffici
10、ents ） 。将一个内生变量表示为其它内生变量、先决变量和将一个内生变量表示为其它内生变量、先决变量和随机误差项的函数形式，被称为结构方程的正规形随机误差项的函数形式，被称为结构方程的正规形式。式。 结构方程的方程类型结构方程的方程类型 完备的结构式模型完备的结构式模型具有具有g个内生变量、个内生变量、k个先决变量、个先决变量、g个结构方程个结构方程的模型被称为完备的结构式模型。的模型被称为完备的结构式模型。在完备的结构式模型中，独立的结构方程的数目在完备的结构式模型中，独立的结构方程的数目等于内生变量的数目，每个内生变量都分别由一等于内生变量的数目，每个内生变量都分别由一个方程来描述。个方
11、程来描述。 完备的结构式模型的矩阵表示完备的结构式模型的矩阵表示习惯上用习惯上用Y Y表示内生变量，表示内生变量，X X表示先决变量，表示先决变量，表示随机项，表示随机项，表示内生变量的结构参数，表示内生变量的结构参数，表示先决变量的结构参数，如果模型中有常数表示先决变量的结构参数，如果模型中有常数项，可以看成为一个外生的虚变量，它的观测项，可以看成为一个外生的虚变量，它的观测值始终取值始终取1。 简单宏观经济模型的矩阵表示简单宏观经济模型的矩阵表示三、简化式模型三、简化式模型 Reduced-Form ModelReduced-Form Model定义定义用所有先决变量作为每个内生变量的解释
12、变量，用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量，所形成的模型称为简化式模型。所形成的模型称为简化式模型。简化式模型并不反映经济系统中变量之间的直接简化式模型并不反映经济系统中变量之间的直接关系，并不是经济系统的客观描述。关系，并不是经济系统的客观描述。由于简化式模型中作为解释变量的变量中没有内由于简化式模型中作为解释变量的变量中没有内生变量，可以采用普通最小二乘法估计每个方程生变量，可以采用普通最小二乘法估计每个方程的参数，所以它在联立方程模型研究中具有重要的参数，所以它在联立方程模型研究中具有重要的作用。的作用。简化式模型中每个方程称为简化式方程简化式模型中每个方程称为简化式方程(Reduc
13、ed-(Reduced-Form Equations)Form Equations)，方程的参数称为简化式参数，方程的参数称为简化式参数(Reduced-Form Coefficients)(Reduced-Form Coefficients) 。 简化式模型的矩阵形式简化式模型的矩阵形式 简单宏观经济模型的简化式模型简单宏观经济模型的简化式模型四、参数关系体系四、参数关系体系定义定义该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，称为参数关系体系。称为参数关系体系。 作用作用利用参数关系体系，首先估计简化式参数，然利用参数关系体系，首先估计简化式参数，
14、然后可以计算得到结构式参数。后可以计算得到结构式参数。从参数关系体系还可以看出，简化式参数反映从参数关系体系还可以看出，简化式参数反映了先决变量对内生变量的直接与间接影响之和，了先决变量对内生变量的直接与间接影响之和，这是简化式模型的另一个重要作用。这是简化式模型的另一个重要作用。 例如，在上述模型中存在如下关系：例如，在上述模型中存在如下关系： 21反映反映Yt-1对对It的的直接与间接影响之和；直接与间接影响之和； 而其中而其中的的2正是结构方程中正是结构方程中Yt-1对对It的结构参数，显然，的结构参数，显然，它只反映它只反映Yt-1对对It的的直接影响直接影响。在这里，在这里，2是是Y
15、t-1对对It的部分乘数，的部分乘数，21反映反映Yt-1对对It的完全乘数。的完全乘数。注意：简化式参数与结构式参数之间的区别与联注意：简化式参数与结构式参数之间的区别与联系。系。6.36.3联立方程计量经济学模型的识别联立方程计量经济学模型的识别The Identification ProblemThe Identification Problem 一、识别的概念一、识别的概念二、从定义出发识别模型二、从定义出发识别模型 三、结构式识别条件三、结构式识别条件 四、简化式识别条件四、简化式识别条件 五、实际应用中的经验方法五、实际应用中的经验方法 一、识别的概念一、识别的概念为什么要对模型进
16、行识别？为什么要对模型进行识别？从一个例子看从一个例子看 消费方程是包含消费方程是包含C C、Y Y和常数项的直接线性方程。和常数项的直接线性方程。 投资方程和国内生产总值方程的某种线性组合投资方程和国内生产总值方程的某种线性组合（消去（消去I I）所构成的新方程也是包含）所构成的新方程也是包含C C、Y Y和常数项的和常数项的直接线性方程。直接线性方程。如果利用如果利用C C、Y Y的样本观测值并进行参数估计后，的样本观测值并进行参数估计后，很难判断得到的是消费方程的参数估计量还是新很难判断得到的是消费方程的参数估计量还是新组合方程的参数估计量。组合方程的参数估计量。只能认为原模型中的消费方
17、程是不可估计的。只能认为原模型中的消费方程是不可估计的。这种情况被称为不可识别。这种情况被称为不可识别。只有可以识别的方程才是可以估计的。只有可以识别的方程才是可以估计的。 识别的定义识别的定义 3种定义：种定义：“如如果果联联立立方方程程模模型型中中某某个个结结构构方方程程不不具具有有确确定定的的统计形式，则称该方程为不可识别。统计形式，则称该方程为不可识别。”“如如果果联联立立方方程程模模型型中中某某些些方方程程的的线线性性组组合合可可以以构构成成与与某某一一个个方方程程相相同同的的统统计计形形式式，则则称称该该方方程程为为不可识别。不可识别。”“根根据据参参数数关关系系体体系系，在在已已
18、知知简简化化式式参参数数估估计计值值时时，如如果果不不能能得得到到联联立立方方程程模模型型中中某某个个结结构构方方程程的的确确定定的的结结构构参参数数估估计计值值，则则称称该该方方程程为为不不可可识识别别。”以是否具有确定的统计形式作为识别的基本定义。以是否具有确定的统计形式作为识别的基本定义。什么是什么是“统计形式统计形式”？什么是什么是“具有确定的统计形式具有确定的统计形式”？ 模型的识别模型的识别 上述识别的定义是针对结构方程而言的。上述识别的定义是针对结构方程而言的。模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。别问题。如果一个模型中的所有
19、随机方程都是可以识别的，如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。反过则认为该联立方程模型系统是可以识别的。反过来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随机方程，则认为该联立方程模型系统是不可以识机方程，则认为该联立方程模型系统是不可以识别的。别的。恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。但是，在判断随机方程的识别性问在识别问题。但是，在判断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。题时，应该将恒等方程考虑在内。 恰好识别恰好识别(Just Ident
20、ification)与过度识别与过度识别 (Overidentification)如果某一个随机方程具有一组参数估计量，称其如果某一个随机方程具有一组参数估计量，称其为恰好识别；为恰好识别；如果某一个随机方程具有多组参数估计量，称其如果某一个随机方程具有多组参数估计量，称其为过度识别。为过度识别。 二、从定义出发识别模型二、从定义出发识别模型例题例题1 1第第2与第与第3个方程的线性组合得到的新方程具有与个方程的线性组合得到的新方程具有与消费方程相同的统计形式，所以消费方程也是不消费方程相同的统计形式，所以消费方程也是不可识别的。可识别的。 第第1与第与第3个方程的线性组合得到的新方程具有个方
21、程的线性组合得到的新方程具有与投资方程相同的统计形式，所以投资方程也与投资方程相同的统计形式，所以投资方程也是不可识别的。是不可识别的。于是，该模型系统不可识别。于是，该模型系统不可识别。 参参数数关关系系体体系系由由3个个方方程程组组成成，剔剔除除一一个个矛矛盾盾方方程程，2个个方方程程不不能能求求得得4 4个个结结构构参参数数的的确确定定值值。也证明消费方程与投资方程都是不可识别的。也证明消费方程与投资方程都是不可识别的。 例题例题2 2消费方程是可以识别的，因为任何方程的线性消费方程是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式。组合都不能构成与它相同的统计形式。投资方
22、程仍然是不可识别的，因为第投资方程仍然是不可识别的，因为第1、第、第2与与第第3个方程的线性组合（消去个方程的线性组合（消去C C）构成与它相同）构成与它相同的统计形式。的统计形式。于是，该模型系统仍然不可识别。于是，该模型系统仍然不可识别。 参参数数关关系系体体系系由由6个个方方程程组组成成，剔剔除除2个个矛矛盾盾方方程程，由由4个个方方程程是是不不能能求求得得所所有有5个个结结构构参参数数的的确确定定估估计值。计值。可可以以得得到到消消费费方方程程参参数数的的确确定定值值，证证明明消消费费方方程程可可以以识识别别；因因为为只只能能得得到到它它的的一一组组确确定定值值，所所以以消消费费方程是
23、恰好识别的方程。方程是恰好识别的方程。 投资方程都是不可识别的。投资方程都是不可识别的。注注意意：与与例例题题1 1相相比比，在在投投资资方方程程中中增增加加了了1 1个个变变量量，消费方程变成可以识别。消费方程变成可以识别。例题例题3 3消费方程仍然是可以识别的，因为任何方程的线消费方程仍然是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式。性组合都不能构成与它相同的统计形式。投资方程也是可以识别的，因为任何方程的线性投资方程也是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式。组合都不能构成与它相同的统计形式。于是，该模型系统是可以识别的。于是，该模型系统是可以
24、识别的。 参参数数关关系系体体系系由由9个个方方程程组组成成，剔剔除除3个个矛矛盾盾方方程程，在在已已知知简简化化式式参参数数估估计计值值时时，由由6个个方方程程能够求得所有能够求得所有6个结构参数的确定估计值。个结构参数的确定估计值。所所以以也也证证明明消消费费方方程程和和投投资资方方程程都都是是可可以以识识别别的。的。而而且且，只只能能得得到到所所有有6个个结结构构参参数数的的一一组组确确定定值值，所所以以消消费费方方程程和和投投资资方方程程都都是是恰恰好好识识别别的的方程。方程。注注意意：与与例例题题2 2相相比比，在在消消费费方方程程中中增增加加了了1 1个个变量，投资方程变成可以识别
25、。变量，投资方程变成可以识别。例题例题4 4消费方程和投资方程仍然是可以识别的，因为任消费方程和投资方程仍然是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它们相同的统计何方程的线性组合都不能构成与它们相同的统计形式。形式。于是，该模型系统是可以识别的。于是，该模型系统是可以识别的。 参参数数关关系系体体系系由由12个个方方程程组组成成，剔剔除除4个个矛矛盾盾方方程程，在在已已知知简简化化式式参参数数估估计计值值时时，由由8个个方方程程能能够够求求得得所有所有7个结构参数的确定估计值。个结构参数的确定估计值。所以也证明消费方程和投资方程都是可以识别的。所以也证明消费方程和投资方程都是可以识别的
26、。但但是是，求求解解结结果果表表明明，对对于于消消费费方方程程的的参参数数，只只能能得到一组确定值，所以消费方程是恰好识别的方程；得到一组确定值，所以消费方程是恰好识别的方程；而而对对于于投投资资方方程程的的参参数数，能能够够得得到到多多组组确确定定值值，所所以投资方程是过度识别的方程。以投资方程是过度识别的方程。 注意：注意：在求解线性代数方程组时，如果方程数目大于未知在求解线性代数方程组时，如果方程数目大于未知数数目，被认为无解；如果方程数目小于未知数数数数目，被认为无解；如果方程数目小于未知数数目，被认为有无穷多解。目，被认为有无穷多解。但是在这里，无穷多解意味着没有确定值，所以，但是在
27、这里，无穷多解意味着没有确定值，所以，如果参数关系体系中有效方程数目小于未知结构参如果参数关系体系中有效方程数目小于未知结构参数估计量数目，被认为不可识别。数估计量数目，被认为不可识别。如果参数关系体系中有效方程数目大于未知结构参如果参数关系体系中有效方程数目大于未知结构参数估计量数目，那么每次从中选择与未知结构参数数估计量数目，那么每次从中选择与未知结构参数估计量数目相等的方程数，可以解得一组结构参数估计量数目相等的方程数，可以解得一组结构参数估计值，换一组方程，又可以解得一组结构参数估估计值，换一组方程，又可以解得一组结构参数估计值，这样就可以得到多组结构参数估计值，被认计值，这样就可以得
28、到多组结构参数估计值，被认为可以识别，但不是恰好识别，而是过度识别。为可以识别，但不是恰好识别，而是过度识别。 如何修改模型使不可识别的方程变成可以如何修改模型使不可识别的方程变成可以识别识别或者在其它方程中增加变量；或者在其它方程中增加变量；或者在该不可识别方程中减少变量。或者在该不可识别方程中减少变量。必须保持经济意义的合理性。必须保持经济意义的合理性。三、结构式识别条件三、结构式识别条件结构式识别条件结构式识别条件直接从结构模型出发直接从结构模型出发一种规范的判断方法一种规范的判断方法每次用于每次用于1个随机方程个随机方程具体描述为：具体描述为： 一般将该条件的前一部分称为一般将该条件的
29、前一部分称为秩条件（秩条件（Rank Condition），用以判断结构方程是否识别；，用以判断结构方程是否识别；将后一部分称为将后一部分称为阶条件（阶条件（Order Conditon），用，用以判断结构方程恰好识别或者过度识别。以判断结构方程恰好识别或者过度识别。 例题例题判断第判断第1个结构方程的识别状态个结构方程的识别状态 所以，该方程可以识别。所以，该方程可以识别。因为因为所以，第所以，第1个结构方程为恰好识别的结构方程。个结构方程为恰好识别的结构方程。 判断第判断第2个结构方程的识别状态个结构方程的识别状态 所以，该方程可以识别。所以，该方程可以识别。因为因为所以，第所以，第2个结
30、构方程为过度识别的结构方程。个结构方程为过度识别的结构方程。 第第3个方程是平衡方程，不存在识别问题。个方程是平衡方程，不存在识别问题。综合以上结果，该联立方程模型是可以识别的。综合以上结果，该联立方程模型是可以识别的。与从定义出发识别的结论一致。与从定义出发识别的结论一致。 四、简化式识别条件四、简化式识别条件简化式识别条件简化式识别条件如果已经知道联立方程模型的简化式模型参数，如果已经知道联立方程模型的简化式模型参数，那么可以通过对简化式模型的研究达到判断结构那么可以通过对简化式模型的研究达到判断结构式模型是否识别的目的。式模型是否识别的目的。 由于需要首先估计简化式模型参数，所以很少实由
31、于需要首先估计简化式模型参数，所以很少实际应用。际应用。例题例题 需要识别的结构式模型需要识别的结构式模型已知其简化式模型参数矩阵为已知其简化式模型参数矩阵为判断第判断第1个个结构方程结构方程的识别状态的识别状态 所以该方程是可以识别的。又因为所以该方程是可以识别的。又因为所以该方程是恰好识别的。所以该方程是恰好识别的。判断第判断第2个个结构方程结构方程的识别状态的识别状态 所以该方程是可以识别的。又因为所以该方程是可以识别的。又因为所以该方程是过度识别的。所以该方程是过度识别的。判断第判断第3个个结构方程结构方程的识别状态的识别状态 所以该方程是不可识别的。所以该方程是不可识别的。 所以该模
32、型是不可识别的。所以该模型是不可识别的。可以从数学上严格证明，简化式识别条件和结构可以从数学上严格证明，简化式识别条件和结构式识别条件是等价的。式识别条件是等价的。 计量经济学计量经济学方法与应用方法与应用（李子奈编著，清华大学出（李子奈编著，清华大学出版社，版社，1992年年3月）第月）第104107页。页。讨论：阶条件是确定过度识别的充分必要条件吗讨论：阶条件是确定过度识别的充分必要条件吗？（李子奈，（李子奈，数量经济技术经济研究数量经济技术经济研究，1988年第年第10期）期）五、实际应用中的经验方法五、实际应用中的经验方法当一个联立方程计量经济学模型系统中的方程当一个联立方程计量经济学
33、模型系统中的方程数目比较多时，无论是从识别的概念出发，还数目比较多时，无论是从识别的概念出发，还是利用规范的结构式或简化式识别条件，对模是利用规范的结构式或简化式识别条件，对模型进行识别，困难都是很大的，或者说是不可型进行识别，困难都是很大的，或者说是不可能的。能的。理论上很严格的方法在实际中往往是无法应用理论上很严格的方法在实际中往往是无法应用的，在实际中应用的往往是一些经验方法。的，在实际中应用的往往是一些经验方法。关于联立方程计量经济学模型的识别问题，实关于联立方程计量经济学模型的识别问题，实际上不是等到理论模型已经建立了之后再进行际上不是等到理论模型已经建立了之后再进行识别，而是在建立
34、模型的过程中设法保证模型识别，而是在建立模型的过程中设法保证模型的可识别性。的可识别性。 “在建立某个结构方程时，要使该方程包含前面每在建立某个结构方程时，要使该方程包含前面每一个方程中都不包含的至少一个方程中都不包含的至少1个变量（内生或先决个变量（内生或先决变量）；同时使前面每一个方程中都包含至少变量）；同时使前面每一个方程中都包含至少1个个该方程所未包含的变量，并且互不相同。该方程所未包含的变量，并且互不相同。”该原则的该原则的前一句话是保证该方程的引入不破坏前面已有方前一句话是保证该方程的引入不破坏前面已有方程的可识别性。程的可识别性。只要新引入方程包含前面每一个方程中都只要新引入方程
35、包含前面每一个方程中都不包含的至少不包含的至少1个变量，那么它与前面方程的任意线性组合个变量，那么它与前面方程的任意线性组合都不能构成与前面方程相同的统计形式，原来可以识别的都不能构成与前面方程相同的统计形式，原来可以识别的方程仍然是可以识别的。方程仍然是可以识别的。该原则的该原则的后一句话是保证该新引入方程本身是可以识别的。后一句话是保证该新引入方程本身是可以识别的。只要前面每个方程都包含至少只要前面每个方程都包含至少1个该方程所未包含的变量，个该方程所未包含的变量，并且互不相同。那么所有方程的任意线性组合都不能构成并且互不相同。那么所有方程的任意线性组合都不能构成与该方程相同的统计形式。与该方程相同的统计形式。 在实际建模时，将每个方程所包含的变量记录在实际建模时，将每个方程所包含的变量记录在如下表所示的表式中，将是有帮助的。在如下表所示的表式中，将是有帮助的。
