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1、学习必备欢迎下载初一数学竞赛系列讲座 (9) 应用题(一)一、知识要点1、 应用题是中学数学的重要内容之一,它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力,解应用题最主要的方法是列方程或方程组。2、 列方程 (组)解应用题的一般步骤是:(1) 弄清题意和题目中的数量关系,用字母表示题目中的一个未知数;(2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系;(3) 根据这个相等关系列出方程;(4) 解这个方程,求出未知数的值;(5) 写出答案 (包括单位名称 )。3、行程类问题行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式:速度时间 =路程4、数字类问题数字类问题常用十进制来表
2、示数,然后通过相等关系列出方程。解数字类问题应注意数字间固有的关系,如:连续整数,一般设中间数为x,则相邻两数分别为x-1、 x+1;连续奇 (偶 )数,一般设中间数为x,则相邻两数分别为x-2、x+2。二、例题精讲例 1 从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20 千米, 下坡时每小时行驶35 千米, 。车从甲地开往乙地需9 小时,乙地开往甲地需217小时,问:甲、乙两地间的公路有多少千米?从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?(第五届华杯赛复赛题) 分析本题用方程来解简单自然。解设从甲地到乙地的上坡路为x 千米,下坡路为y 千米,根据题意得方程组(2)21
3、72035(1)93520yxyx解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、 加减消元法等。 由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数,而y 的系数351也恰好是第二个方程中 x 的系数 ),也可以采用如下的解法:(1)+(2) 得(x+y)( 201+351)=9+217所以x+y=2103512012179(3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载(1)-(2)得(x- y)( 201-351)=9-217所以x-y=703512012179(4) 由(3)
4、、(4)得x=140270210所以甲、乙两地间的公路长210 千米,从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路。例 2 公共汽车每隔x 分钟发车一次,小宏在大街上行走,发现从背后每隔6 分钟开过来一辆公共汽车, 而每隔724分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的,则x 等于分钟。 (第六届迎春杯初赛试题) 分析:此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a 米/每秒,小宏速度为 b 米/每秒,则当一辆汽车追上小宏时,另一辆汽车在小宏后面ax 米处,它用6 分钟追上小宏。 另一方面, 当一辆汽车与小宏相遇时,另一辆汽车在小宏前面ax 米处, 它经过724分钟
5、与小宏相遇。由此可列出两个方程。解:设汽车速度为a米/每秒,小宏速度为b 米/每秒,根据题意得)(724)(6baaxbaax两式相减得12a=72b 即 a=6b 代入可得 x=5 评注: 行程问题常分为同向运动和相向运动两种,相遇问题就是相向运动,而追及问题就是同向运动。 解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图,以便帮助我们直观、形象地理解题意。例 3 摄制组从A 市到 B 市有一天的路程,计划上午比下午多走100 千米到 C 市吃午饭。 由于堵车, 中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一,过了小镇, 汽车赶了400 千米,傍晚才停下来休息。司机说,再走从C 市到这里路程的二分之一
6、就到达目的地了。问A、B两市相距多少千米?(第五届华杯赛决赛试题) 分析:本题条件中只有路程,没有时间和速度,因而应当仔细分析各段路程之间的关系。解:如图,设小镇为D,傍晚汽车在 E 休息A D C E B 由已知,AD 是 AC 的三分之一,也就是AD =21DC 又由已知, EB=21CE 两式相加得:AD+ EB=21DE 因为 DE=400 千米,所以AD+ EB=21400=200 千米,从而 A、B 两市相距400+200=600 千米评注:行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页
7、,共 5 页学习必备欢迎下载例 4 有编号为、的3 条赛艇,其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米,且满足v1 v2 v3 v 0 ,其中 v 为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛,规则如下:(1) 3 条赛艇在同一起跑线上同时出发,逆流而上,在出发的同时,有一浮标顺流而下;(2) 经过 1 小时,、号赛艇同时掉头,追赶浮标,谁先追上谁为冠军。在整个比赛期间各艇的速度保持不变,则比赛的冠军为解:经过1 小时,、号赛艇同时掉头,掉头时,各艇与浮标的距离为:S i=(vi-v) 1+v 1= vi1(i=1 、2、 3) 第 i 号赛艇追上浮标的时间为:11iiiiivvvvvSt(
8、小时 ) 由此可见,掉头后各走1 小时,同时追上浮标,所以3 条赛艇并列冠军。评注:顺流速度=静水速度 +水流速度;逆流速度 =静水速度 -水流速度。例 5 在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10 秒钟时追上乙,在第 30 秒时追上丙,第60 秒时甲再次追上乙,并且在第70 秒时再次追上丙,问乙追上丙用了多少时间? ( 第 11 届希望杯竞赛培训题)解:设甲的运动速度是甲,V乙的运动速度是乙V,丙的运动速度是丙V设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50 秒,故有甲V乙V50L甲比丙多运动一圈用时40 秒,故有甲V丙V40L可得到乙V丙V40L50L200L4丙乙乙甲VV
9、VV5丙乙丙甲VVVV甲、乙、丙初始位置时,乙、丙之间的距离甲、丙之间距离甲、乙之间距离(甲V丙V) 30(甲V乙V) 10; 乙追上丙所用时间丙乙乙、丙之间距离VV丙乙丙甲30VVVV1104015010丙乙乙甲VVVV秒所以第110 秒时,乙追上丙评注:相遇问题的关系式是:路程和=速度和时间;追及 问题的关系式是:追及 路程 =速度差时间。例 6 一个三位数,三个数位上的数字和为17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上数的3 倍,求这个三位数。解:设十位上的数为x,则个位上的数为3 x,百位上的数是x+7 由题意得: 3 x+x+ x+7=17 , x=2 这个三位数是:100
10、(x+7)+10 x+3 x=926 答:这个三位数是926 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载评注:数字问题常设出数位上的数字,再用十进制把数表示出来。例 7 两个三位整数,它们的和加1 得 1000,如果把大数放在小数的左边,并在这两数之间点上一个小数点, 则所成的数正好等于把小数放在大数的左边,中间点一个小数点所成的数的 6 倍,求这两个数。解:设大数为x,则小数为999-x,由题意得)1 0 0 09 9 9(61 0 0 09 9 9xxxx解这个方程得:x=857, 999-x=142 答
11、:大数为857,小数为142。例 8 一辆卡车在公路上匀速行驶,起初看到里程碑上的数字为AB,过了1 小时里程碑上的数字为BA,又行驶了1 小时里程碑上的数字为A0B,求每次看到的数字和卡车的速度。分析:相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。解:依题意得:BA-AB=A0B-BA,即AB+A0B=2BA,所以(10A+B)+(100A+B)=2(10B+A),整理得6A=B 因为 A、B 取 1 到 9 的自然数,所以只有A=1 ,B=6 故 3 次看到的数字分别是16,61,106,卡车的速度为45 千米 /时。评注:本题得到的是一个不定方程,通过A、B 是 1 到 9 的自然数来求
12、出A、B。三、巩固练习选择题1、甲、乙二人从M 地同时出发去N 地,甲用一半的时间以每小时a 千米的速度行走,另一半的时间以每小时b 千米的速度行走;乙以每小时a千米的速度行走一半的路程,另一半路程以每小时b 千米的速度行走。若ab,则 ( )先到达 N 地。A、甲B、乙C、二人同时到达D、不确定2、已知游艇在静水中的航速为每小时10 千米,某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时,又用3 小时返回出发地,求该团所走的航程是( ) A、24 千米B、12 千米C、 48 千米D、40 千米3、某人从 A 地步行到B 地,当走到预定时间时,离B 地还有 0.5 千米;若把步行速度提高 25%,则可
13、比预定时间早半小时到达B 地。已知AB 两地相距12.5 千米,则某人原来步行的速度是 ( ) A、2 千米 /时B、4 千米 /时C、5 千米 /时D、6 千米 /时4、一个两位数,十位上的数与个位上的数的和是7,若十位上的数与个位上的数对换,现在的两位数与原来的两位数的差是9,则现在的两位数是( ) A、43 B、 34 C、25 D、52 5、在由两个不同数字组成的所有两位数中,每个两位数被其两个数字之和除时,所得的商的最小值是( ) A、1.5 B、1.9 C、3.25 D、4.375 6、一个插入一个一位数(包括 0),就变成一个三位数,如:72 中间插入6后变成了762。有些两位数
14、中间插入某个一位数后变成的三位数,是原来两位数的9 倍,这样的两位数有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载( ) (第六届祖冲之杯数学邀请赛试题) A、1 个B、4 个C、10 个D、超过 10 个填空题7、早晨 8 点多钟,有两辆汽车先后离开化肥厂,向幸福村开去。两辆汽车的速度都是每小时 60 千米, 8 点 32 分时, 第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的3 倍。到了 8 点 39分时,第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2 倍。则第一辆车是8 点分离开化肥厂的 . 8、甲、乙两个同学从A 地到
15、B 地,甲步行的速度为每小时3 千米,乙步行的速度为每小时 5 千米,两人骑自行车的速度都是每小时15 千米。现在甲先步行,乙先骑自行车,两人同时出发。走了一段路程后,乙放下车步行,甲走到乙放车处改骑自行车,以后不断交替行进,两人恰好同时到达B 地。甲走全程的平均速度是千米 /小时。 (第六届迎春杯初赛试题 ) 9、一船从重庆到上海要5 昼夜,而从上海到重庆要7 昼夜,那么有一木排从重庆顺流漂到上海要昼夜10、一个六位数9abcde的 4 倍是abcde9,则这个六位数是11、有四个正整数,其中任三个数的算术平均数与第四个数的和,分别等于29、23、21、 19,则这四个数中最大的一个是12、
16、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3 倍,则这样的两位自然数的个数是解答题13、一列客车的速度是60 千米 /时,一列货车的速度是45 千米 /时,货车比客车长135米,如果两车在平行的轨道上同向行驶,客车从后面赶上货车,它们交叉的时间是1 分 30秒,求各车的长度;如果这两车在平行的轨道上相向行驶,它们交叉时需要多少时间?14、甲、乙两人在一条长400 米的环形跑道上跑步,若同向跑步每隔313分钟相遇一次,若反向跑步则每隔40 秒相遇一次,求甲、乙两人的速度(甲比乙跑得快 )。15、某人由甲地去乙地,如果他从甲地先骑摩托车行12 小时, 再换骑自行车行9 小时,恰好到达乙地。如果
17、他从甲地先骑自行车行21 小时,再换骑摩托车行8 小时,恰好也到达乙地。问:全程骑摩托车需要几小时到达乙地?(第四届华杯赛初赛试题) 16、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6 分钟、 10 分钟、 12 分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24 千米, 中车每小时走 20 千米,问慢车每小时走多少千米?(第一届华杯赛决赛试题) 17、有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是8,并且这个两位数除以十位上的数字与个位上的数字的差,所得的商为11,余数为 5,求这个两位数。18、一个十位数字为0 的三位数,它恰好等于它的数字和的67 倍;交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数,它恰好又是它的数字和的m 倍,求 m 的值。19、一个两位数的十位数字小于个位数字,当数字交换位置后所得的新的两位数与原数之和大于70 而小于 90,求这样的两位数。20、今有一个三位数,其各位数字均不相同,如将此三位数的各位数字重新排列,必得一个最大数和一个最小数,且此两数之差恰为原来的那个三位数,求原来的三位数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页