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1、第一节第一节 导数的概念导数的概念第二章 导数与微分 导数导数 :记为记为考研辅导考研辅导 第二章 求分段函数在分段处的导数时求分段函数在分段处的导数时,常常后面还要给出一种后面还要给出一种简便方法简便方法常识：导函数的常识：导函数的奇偶性奇偶性与与周期性周期性,若若f (x)为奇为奇函数函数,则其导函数必为偶函数则其导函数必为偶函数.若若f (x)为偶为偶函数函数,则则其导函数其导函数必为必为奇奇函数函数.若若f (x)以以T为周期为周期,则则其导函数也其导函数也 以以T为周期为周期.已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线切线方程切线方程法线方程法线方程若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为故在
2、点故在点切线方程切线方程法线方程法线方程在点在点有有有有因因 关于平面曲线的切（法）线问题关于平面曲线的切（法）线问题!平面光滑曲线平面光滑曲线F(x,y)=0在点在点 P0(x0,y0)处处切线方程切线方程法线方程法线方程光滑曲面光滑曲面 : F(x,y,z)=0在点在点 P0 (x0,y0,z0)处处法线方程法线方程:切平面方程切平面方程:仅数学一要求仅数学一要求设非退化的实设非退化的实二次曲线二次曲线C：处的切线方程为：处的切线方程为：在在 即用即用分别替换二次曲线方程中的分别替换二次曲线方程中的项项.（非退化是指行列式（非退化是指行列式 )1、四则运算求导法则、四则运算求导法则(略略)
3、 第二节 函数的求导法则 3. 复合函数求导法则复合函数求导法则4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数2、反函数的求导法则、反函数的求导法则(略略) 复合函数求导法则复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形可推广到多个中间变量的情形.关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.事实上，事实上，求求因为因为 在在x=0处不可导处不可导,求导法则不成立求导法则不成立所以在所以在x=0处处sinx与与乘积的乘积的初等函数的求导问题初等函数的求导问题利用公式和法则利用公式和法则 =0.例例1.1.设设存在存
4、在, ,求求解解: : 原式原式= =也可用泰勒展开也可用泰勒展开例例2.2.若若且且存在存在 , 求求解解: 原式原式 =联想到凑联想到凑f(x)在在x=1处导数的定义式处导数的定义式原式原式= =例例3.3.设设在在处连续处连续, ,且且求求解解:否则否则或直接求出或直接求出在在的某邻域内有定义，则的某邻域内有定义，则f ( x)在在 x=a 处处可导充要条件是下列四个极限中的可导充要条件是下列四个极限中的 存在存在.设设D(A)仅保证右导数存在仅保证右导数存在(B)(C) 看函数看函数两极限均为零两极限均为零,但函数在但函数在x=a处不可导处不可导(88年考研年考研)同济同济P125 题
5、题3在在的某邻域内有定义，且的某邻域内有定义，且f (0)=0,则则f (x)在在 x=0 处处可导充要条件是下列四个极限中的可导充要条件是下列四个极限中的 存在存在.设设类似的问题类似的问题,01年又考到年又考到 考研考研P28 二二 3不需要存在极限不需要存在极限只要只要有界即可有界即可原式=原式=看函数看函数上述极限为零上述极限为零,但函数在但函数在x=0处不可导处不可导B所以选则所以选则当然在做本题时当然在做本题时,显然显然B是正确的是正确的,其他选项不必考虑其他选项不必考虑.做做P125 题题3也是如此也是如此, 只要知道选择项只要知道选择项D是对的是对的其他选项不必考虑其他选项不必
6、考虑.试确定常数试确定常数 a , b 使使 f (x) 处处可导处处可导, ,并并求求解解: :据题意得据题意得, ,即即例例(常有极限表示的函数常有极限表示的函数)年考研有年考研有类似的题目类似的题目1,的不可导点的个数选择的不可导点的个数选择（，）（，）=xy数列极限与函数极限的关系数列极限与函数极限的关系两个不可导点两个不可导点注意极限的求法注意极限的求法!若若在在且且则则：（）当时，（）当时，可导，可导，分段函数在分段点处的导数与导函数极限定理分段函数在分段点处的导数与导函数极限定理在在U(x0)内连续！内连续！（）当（）当时，时，（）当、有一个不存在时，失效（）当、有一个不存在时，
7、失效证证：(导函数在导函数在x0处的左右极限处的左右极限)所以所以(1)(2)显然成立显然成立(3)举反例如下举反例如下f(x)在在x0处不可导处不可导;所以，所以， 在在x=0处的可导性处的可导性 首先在首先在x=0处的连续处的连续 不存在不存在但此时，不能说明不可导但此时，不能说明不可导事实上事实上注注. 导函数极限定理的条件是充分的；导函数极限定理的条件是充分的；. 解选择题填空题是用之则非常方便解选择题填空题是用之则非常方便例例5所以，所以，n=2,选选(B)(A)；(B)；(C)；(D)（92选择选择）不可导不可导存在的最高阶数为（）存在的最高阶数为（）例例6再看下面两个题目再看下面
8、两个题目( ).( ).例例7看一看同济看一看同济P87 17,18不存在不存在.( ).不可导不可导例例9 9解解分析分析:不能用公式求导不能用公式求导. .已知已知求求(左右极限均为左右极限均为0) 导函数的奇偶性、周期性导函数的奇偶性、周期性奇奇(偶偶)函数的导函数为偶函数的导函数为偶(奇奇)函数；周期函数的导函数函数；周期函数的导函数仍为周期函数仍为周期函数例例10函数函数为周期为周期T=5的的 连续的函数，且满足连续的函数，且满足 在在x=1处可导，求曲线在处可导，求曲线在(6, f(6)处的切线方程处的切线方程 解解:f(1)= f(6)=f(5+1)=0(1)式两边取极限式两边取
9、极限(x0)得得, f(1)=0再由再由(1)式得式得0=则切线方程则切线方程:(2000年数二年数二)P126 142000考研考研关于切线问题关于切线问题(几道考研题几道考研题)曲线曲线在在(,)处的切线交处的切线交轴于点轴于点（）（）解解： 斜率斜率切线方程切线方程则则例例11例例12因为过原点所以因为过原点所以曲线曲线过原点作其切线，求此切线与曲线过原点作其切线，求此切线与曲线及及x 轴围成的平面图形绕所得旋转体的表面积轴围成的平面图形绕所得旋转体的表面积(8(8分分9898）解解：设切点为，则切线方程为设切点为，则切线方程为则切线方程为：则切线方程为：下面是定积分应用的问题，以后再谈
10、下面是定积分应用的问题，以后再谈练习练习:求曲线求曲线y=lnx过过(-1,0)点的切线点的切线.例例13据题意：据题意：曲线曲线与曲线与曲线及及解解：设切点为设切点为在某点相切，求此在某点相切，求此点点解得，解得，涉及到切线的题目是很多的涉及到切线的题目是很多的(1)曲线的凹凸性曲线的凹凸性;(2)过过(-1,0)点引曲线的切线点引曲线的切线,求切点求切点 坐标及切线方程坐标及切线方程;(3)求切线、曲线、求切线、曲线、x轴围成的图形面积轴围成的图形面积.（2010又考）又考）例例1414解解(95选择改选择改)考研P2 3所以所以 在在 x=a 处可导的充要条件为：处可导的充要条件为：可导
11、的充要条件是( )例例15所以不可导点为所以不可导点为x=0与与x=1不可导点的个数为（）不可导点的个数为（）(A) 3；(B) 2；(C) 1；(D) 0可能的不可导点为可能的不可导点为B例例16(98年数一、数二年数一、数二)P2 1但在但在x=1处可导处可导解解:例例17.设设另解另解:其中两边对两边对x求导得求导得一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念第三节 高阶导数定义定义. 若函数若函数的导数的导数可导可导, ,或或即即或或类似地类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,或或的的二阶导数二阶导数 , 记作
12、记作的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称(四阶及以上的记法四阶及以上的记法)二二. 几个高阶导数公式（几个高阶导数公式（记住记住） 均可用数学归纳法证明均可用数学归纳法证明三、高阶导数的运算法则三、高阶导数的运算法则都有都有 n 阶导数阶导数 , 则则(C为常数为常数)莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式及及设函数设函数（二项式定理）（二项式定理）它特别适用于它特别适用于u或或v中有一个为多项式且次数不高的情况中有一个为多项式且次数不高的情况用数学归纳法证明用数学归纳法证明例例1 1解解另解另解:求求则则例例2 2解解另解另解:可利用莱布尼茨公式可利用莱布尼茨公
13、式,但不如利用泰勒公式简单但不如利用泰勒公式简单求求所以所以(x,x2的系数为零的系数为零)(2000年数二年数二)注注:见下页例例2 2另解另解:求求(2000年数二年数二)时时,例例3. 求下列函数的求下列函数的 n 阶导数阶导数解解: 解解: (3) 解解: 解解:例例4 (1) 设设则则解解:各项均含因各项均含因子子 ( x 2 )(2) 已知已知任意阶可导任意阶可导, 且且时时解解:则当则当(90选择数一、二选择数一、二)例例5. 设设求求解解:则则0(下列做法对数二不要求下列做法对数二不要求)的系数:例例5. 设设求求另解另解:则则0的系数:的系数:=0一、隐函数的导数一、隐函数的
14、导数隐函数隐函数求导方法求导方法: 两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)2.4 隐函数和由参数方程确定的 函数的导数 相关变化率 解出解出FFyx 1) 对幂指函数对幂指函数可用对数求导法求导可用对数求导法求导 :说明说明: :按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2) 有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对 x 求导求导又如又如, 对对 x 求导求导(扩大了扩大了的范围的范围)或或x1时时,同理同理,当当1x2; 2x3;3x4; 40,存在存在X0,当当xX时
15、时,直观上容易回答直观上容易回答,时时,函数单增很快函数单增很快.所以所以另外另外,前三个选项举反例很容易前三个选项举反例很容易,所以选所以选D.例例. f(x)在在R+有界且可导，则有界且可导，则 当当f(+)=0时，必有时，必有 当当f(0+)=0时，必有时，必有 当当 存在时，必有存在时，必有 当当 存在存在 时，必有时，必有（02数二选择）数二选择）(反证反证,设设 )(矛盾矛盾)直观上很容易回答直观上很容易回答,存在但不为零时存在但不为零时, 函数将无界函数将无界.(D) f(0)=1且且 （06选择选择 数三）数三）例例. f(x) 在在x=0处连续，且处连续，且 则：则：(A)
16、f(0)=0,且且 (B) f(0)=1,且且 (C) f(0)=0,且且 存在存在;存在存在;存在存在;存在存在;关于微分的问题关于微分的问题02年数一年数一6分分例例函数函数f(x)在在x=a处可微的充要条件处可微的充要条件:即即f(x)具有一阶连续导数具有一阶连续导数 , 且且当当求求: a、b解：解：（）（）（）（）式两边取极限得，式两边取极限得，（）（）（）（）有有（）（）两边除以两边除以h并取极限得并取极限得,0=0即即(3)连立连立(2)(3)式得式得,另解另解:并注意并注意所以所以解得解得否则否则o(h)则则f(0)与与的系数均为零的系数均为零,一阶泰勒公式一阶泰勒公式02年数
17、二年数二8分分例例具有二阶连续导数具有二阶连续导数,且且证明证明:当当证法一：证法一：（1）使得使得(1)a+ (2)b+ (3)c- f(0) 得得,（2）（3）（4）得得并注意到并注意到而系数行列式而系数行列式D=20 (范德蒙行列式范德蒙行列式)所以有唯一解所以有唯一解.系数行列式系数行列式02年数二年数二8分分例例具有二阶连续导数具有二阶连续导数,且且证明证明:当当证法二证法二: ()式式两边取极限得两边取极限得（1）使得使得()式式两边除以两边除以h并取极限得并取极限得()得，得，（）()式式两边除以两边除以h 2并取极限得并取极限得()(利用罗必塔法则利用罗必塔法则)得，得，（3）注注：若函数二阶可导则前面的运算存在错误若函数二阶可导则前面的运算存在错误看一看在何处？看一看在何处？（下面解法同前面）（下面解法同前面）应按下面的做法应按下面的做法得，得，（3）显然不如证法一简便显然不如证法一简便! （看出利用泰勒公式的作用了吗（看出利用泰勒公式的作用了吗?）
