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1、中考数学复习资料,精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持,感激不尽!初 中数学竞赛精品标准教程及练习(37) 不等关系一、内容提要1. 不等式三个基本性质: 不等式两边都加上 ( 或减去 )同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 不等式两边都乘 ( 或除以) 同一个正数,不等号的方向不变。 不等式两边都乘 ( 或除以) 同一个负数,不等号的方向改变。2. 一元一次不等式组的解集:几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。设 ab,不等式组bxax的解集是 xa bxax的解集是 xb axbx的解集是 bxa bxax的解集是空集3. 几何中证明线段或角的
2、不等关系常用以下定理 三角形任意边两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。 在一个三角形中,大边对大角,大角对大边。直角三角形中,斜边大于任一直角边。 有两组边对应相等的两个三角形中如果这两边的夹角大,那么第三边也大;如果第三边大,那么它所对的角也大。任意多边形的每一边都小于其他各边的和二、例题例 1. 已知: x2,求下列代数式的取值范围:73x, xx1解: x2,两边乘以 3,得3x6 两边加上 7,得73x76 73x1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页设x
3、x1y, x+1=xy, (y1)x=1 x=11y2,在两边乘以 y1 时,根据不等式基本性质2 和 3,得不等式组:) 1(2101yy或)1(2101yy231yy或231yyy1.5 或 y1 即xx11.5 或xx11 例 2. 设实数 a,b 满足不等式)(baabaa,试决定 a,b 的符号。解:不等式两边都是非负数,两边平方不等号方向不变两边平方得, a22 a (a+b)+(a+b)2aba, 可知a0,a+b0 两边除以 a 得,a+babaa显然不等式要成立,只有1aa, 故 aba,显然只有 a+b0, 又a0 a,b 的符号是: a0 例 3. 已知: O是ABC 内
4、的一点求证:2 .1CABCABOCOBOA1 分析:本题实质是要证明2(OA OA OC )AB BC CA 且 OA OB OC AB BC CA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页证明: OA OB AB OB OC BC OC OA CA 2(OA OB OC )AB BC CA 延长 BO交 AC于 D ,AB AD OB OD ,OD DC OC AB AC OB OC ,同理 AB BC OA OC ,BC CA OA OB 即 2(AB BC CA )2(OA OB OC )2.1CABCABOCOB
5、OA1 例 4. 求证直角三角形两条直角边的和,小于斜边与斜边上的高的和已知: ABC 中, ACB Rt,CD AB于 D 求证:CA CB AB CD 证明:设 CD h, a,b,c是A,B,C的对边根据勾股定理, a2+b2=c2, a2+b2c2h2根据三角形面积公式21ab=21ch 2ab2ch :(a+b)20, c+h0 a+b0, a c0 ( 直角三角形中斜边大于任一直角边) (a+b)(c+h) 0 (a+b) (c+h) 再证明:学完四点共圆后,可证CA CD AB CB 在 AB上截取 BE BC ,在 AC上取 CF CD ,两等腰 BCE 和CDF 顶角B=DC
6、F 底角 21 ABCODhbacABCD21ABCDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页四边形 CDEF 是圆内接四边形EFA CDE RtAFAE ,即 AF CFAB BE , ACCDAB CB CA CB AB CD 例 5. 已知: ABC中,D ,E分别在 BC ,AC上, B12 如果 ABC ,ADC ,EBD 的周长依次为 m,n,p 求证:45mpn证明:设 BC a,AC b,AB c 12 ,DE AC ,ABC EBD DAC BCACACDC,即 DC ab2BD BC DC aab2
7、=aba22222abaBCBDmp,abmn22221abababaabmpn221ab4545例 6. 已知: ABC中,AB AC ,D是三角形内的一点, ADB ADC 求证: DBC DCB 分析:为使已知条件 ADB ADC 集中在一起,把 ABD绕着点 A 旋转,使 AB和 AC重合,即作ABD 的全等三角形 ACE 证明:作 CAE ABD ,使 AE AD ,连结 CE ,DE 那么 ACE ABD ,A CE BD ,ACE ADB ADC ADE AED ,DEC EDC ,D E DC CE ,即 DC BD DBC DCB B C 三、练习 37 A21BCDE精选学
8、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页1. 已知 a35,那么96a 的值是2. 已知 b= aa2, 当 a3 时,b 的取值范围是3. 已知 aBC , 求证 A CAO 8. 已知: AD ,BE ,CF三条高相交于一点H,求证:1ABCABCCFBEAD219. 已知: ABC 中, A90 ,ABAC ,边 AB ,AC的中垂线,分别交BC于 D和 E 求证: BD B,则 AD 11.在ABC 中, 若 AD是中线,则 DACDAB 若 AD是角平分线,则AB+CDAC+BD 12.已知: ABC 中 AB=AC
9、,点这点 P是三角形内的一点, PBC PCB 求证: PAB APC 13.已知: ABC 中 M是 BC的中点, D,E分别在 AB ,AC上,DME=Rt 求证 :BD+CE DE 14.ABC 中,AC 2AB ,则 B2C 15.已知:正有理数 a1是3. 的一个近似值,设a2=1+121a求证 :3介于 a1和 a2之间提示:设3 a1 证3a2 证3a1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页练习 37 参考答案:1.两边乘以 6,再加上 9 得 96a1 2.仿例 1,31a-2 4. 1ADAB,PB+PCBC,PC+PAAC得 PA PB PC 1.5 过点 P作 EFBC , AEP AFP APE ,PA AE PB BE EP ,PC CF FP 6. 作 CE AD交 AB于 E8. 直角三角形斜边大于任一直角边6.证明AD AE 7. 延长 AD到 E使 DE AD ,在 AB上取 AE AC 12. 运用内容提要的 313. 延长 DM到 F,使 MF DM 14. 延长 CB到 D使 BD AB ,15. 设 a13, 则132121a13,ABCPEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页