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1、学习必备欢迎下载相似三角形知识点与经典题型知识点 1 有关相似形的概念(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) 知识点 2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段ba,的长度分别为nm,，那么就说这两条线段的比是nmba，或写成nmba:注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段dcba,中，如果ba和的比等于dc和的比，那么这四条线段dcba,叫做成比例线段，简称比例线段 注： 比例线段是有顺序的，如果
2、说a是dcb,的第四比例项， 那么应得比例式为：adcb ()acabcdbd在比例式：中，a、d 叫比例外项， b、c 叫比例内项 , a、c 叫比例前项， b、d 叫比例后项， d 叫第四比例项，如果b=c，即abbd：那么 b 叫做 a、 d 的比例中项，此时有2bad。（ 3）黄金分割：把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使AC是BCAB和的比例中项，即2ACAB BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ABAC2150.618AB即512ACBCABAC简记为：512长短全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的
3、矩形知识点 3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：bcaddcba:；2:a bb cba c注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bcad，除了可化为dcba:，还可化为dbca:，badc:，cadb:，cdab:，bdac:，abcd:，acbd:（ 2） 更比性质 ( 交换比例的内项或外项)：()()()abcdacdcbdbadbca， 交换内项， 交换外项 同时交换内外项（ 3）反比性质 (把比的前项、后项交换) ：acbdbdac（ 4）合、分比性质：acabcdbdbd注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左
4、右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如：dcdcbabaccdaabdcba等等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载（5）等比性质：如果)0(nfdbnmfedcba，那么banfdbmeca注：此性质的证明运用了“设k法” （即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法应用等比性质时，要考虑到分母是否为零可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如：bafdbecafedcbafedcba32323322；其
5、中032fdb知识点 4 比例线段的有关定理1. 三角形中平行线分线段成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例 . 由 DE BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或注：重要结论：平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例 . 那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法, 即：利用比例式证平行线. 平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往
6、往做平行线, 但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比. 2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例. 已知 AD BECF, 可得ABDEABDEBCEFBCEFABBCBCEFACDFABDEACDFDEEF或或或或等. 注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。知识点 5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于”相似三角形对应边的比叫做相似比( 或相似系数 ) 相似三角形
7、对应角相等，对应边成比例注：对应性： 即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样，但大小不一定一样全等三角形是相似比为1 的相似三角形 二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例知识点 6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1) 相似三角形的等价关系：反身性：对于任一ABC有ABCABC对称性：若ABCCBA，则CBAABC传递性：若ABCCBA，且CBACBA，则ABCCBAFEDCBAEABCD精选学习资料 - - - - - - - -
8、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边( 或两边延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形：用数学语言表述是：BCDE /，ADEABC知识点 7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边( 或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2
9、：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1) 以上各种判定均适用(2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边
10、在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图， Rt ABC中， BAC=90， AD是斜边BC上的高，则 AD2=BDDC ， AB2=BDBC ， AC2=CD BC 。知识点 8 相似三角形常见的图形(1)EABCD(3)DBCAE(2)CDEABDBCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载特殊一般翻折 180平移特殊一般一般翻折 180双垂直双垂直斜交型斜交型斜交型平行型平行型特殊一边平移翻折 180旋转 180平移1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角
11、形（有“A型”与“ X型”图）(2) 如图：其中 1=2，则 ADE ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反 A共角共边型”、“蝶型”）（3）如图：称为“垂直型” （有“双垂直共角型” 、 “双垂直共角共边型（也称“射影定理型”） ” “三垂直型” ）ABCDE12AABBCCDDEE12412ECABDEABC(D)EADCB(1)EABCD(3)DBCAE(2)CDEAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载(4) 如图： 1=2， B=D，则 ADE ABC ，称为“旋转型”的
12、相似三角形。2、几种基本图形的具体应用：（1）若 DE BC （A型和 X型）则 ADE ABC （2）射影定理若 CD为 RtABC斜边上的高（双直角图形）则 RtABC RtACD RtCBD且 AC2=AD AB， CD2=AD BD，BC2=BD AB；EADCBEADCBADCB（3）满足 1、AC2=AD AB ， 2、 ACD= B ， 3、 ACB= ADC ，都可判定 ADC ACB （4）当ADAEACAB或 AD AB=AC AE时， ADE ACB ADCBEADCB知识点 9 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AA
13、S) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS) 直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL) 相似判定的预备定理两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例知识点 10 相似三角形的性质(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3) 相似三角形周长的比等于相似比(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等知识点 11 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)
14、 线段成比例的定义(2) 三角形相似的预备定理(3) 利用相似三角形的性质(4) 利用中间比等量代换(5) 利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路 : “等积”变“比例” ， “比例”找“相似”BEACD12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载(2) 找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论. (3) 找
15、中间比：若没有三角形( 即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上) ，则需要进行“转移”( 或“替换” ) ，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换. 即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。)(,为中间比nmnmdcnmba,nnnmdcnmba),(,nmnmnnmmnmdcnmba或(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线( 通常是添加平行线) 构成比例 . 以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止. 注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系
16、中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（ 5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k; 对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。（ 6） 对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。知识点 12 相似多边形的性质(1) 相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比(2) 相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比(3) 相似多边形面积比等于相似比的平方注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键知识点 13 位似图形有关的概念与性质及作法1. 如果两个图形不仅是相似图形，
17、而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形. 2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 注：（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线. 3. 位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 注：位似图形具有相似图形的所有性质. 4. 画位似图形的一般步骤：（1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）. （3） 根据已知的位似比
18、，确定所画位似图形中关键点的位置. （4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. 注：位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k（k0）, 原图形上点的坐标为（x,y ）, 那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky), 精选学习资料 - - - - - -
19、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载经典例题透析类型一、相似三角形的概念1判断对错：(1) 两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2) 两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3) 两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4) 两个等边三角形一定相似吗？为什么？(5) 两个全等三角形一定相似吗？为什么？举一反三【变式 1】两个相似比为1 的相似三角形全等吗？【变式 2】下列能够相似的一组三角形为( ) A. 所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C. 所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形类型二、相似三角形的判定2如图所示，已
20、知中， E为 AB延长线上的一点，AB=3BE ，DE与 BC相交于 F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载3已知在RtABC中， C=90，AB=10 ，BC=6.在 RtEDF中， F=90，DF=3 ，EF=4 ，则 ABC和 EDF相似吗？为什么？4如图所示，点D在 ABC的边 AB上，满足怎样的条件时，ACD与 ABC相似？试分别加以列举. 举一反三【变式 1】已知：如图正方形ABCD中， P是 BC上的点 ，且 BP=3PC ，Q是 CD的
21、中点求证： ADQ QCP 【变式 2】如图，弦和弦相交于内一点，求证：. 【变式3】已知：如图，AD是 ABC的高， E、F 分别是 AB 、 AC的中点求证：DFE ABC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载类型三、相似三角形的性质5 ABC DEF ，若 ABC的边长分别为5cm、6cm 、7cm，而 4cm是 DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 6如图所示，已知ABC中， AD是高，矩形EFGH 内接于 ABC中，且长边FG在 BC上，矩形相邻两边的比为1：2
22、，若 BC=30cm ，AD=10cm.求矩形 EFGH 的面积 . 举一反三【变式 1】ABC中，DE BC ，M为 DE中点， CM交 AB于 N ，若，求. 类型四、相似三角形的应用7如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、 B之间的距离 ( 即河宽 ) ，你有什么方法？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载举一反三【变式 1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2
23、m(1) 图中 ABC与 ADE是否相似 ?为什么 ? (2) 求古塔的高度【变式 2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m 宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m ，求窗口底边离地面的高BC ？类型五、相似三角形的周长与面积8已知：如图，在ABC与 CAD中， DA BC ，CD与 AB相交于 E点，且 AE EB=12，EFBC交 AC于 F 点，ADE的面积为1，求 BCE和 AEF的面积举一反三【变式 1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1200 和 1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比 . 精选学习资料 -
24、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载【变式 2】如图，已知：ABC中， AB=5 ，BC=3 ，AC=4，PQ/AB，P点在 AC上( 与点 A、C不重合 ) ，Q点在 BC上(1) 当 PQC 的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2) 当 PQC 的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；类型六、综合探究9如图， AB CD ， A=90， AB=2 ，AD=5 ，P是 AD上一动点 ( 不与 A、D重合 ) ，PE BP ，P为垂足， PE交 DC于点 E，(1) 设 AP=x，DE=y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2) 请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由. 10如图，在ABC中， BC=2 ，BC边上的高AD=1 ， P是 BC上任意一点，PE AB交 AC于 E，PF AC交 AB于 F. (1) 设 BP=， PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；(2) 当 P在 BC边上什么位置时，值最大 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
