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1、学习必备欢迎下载勾股定理易错题分析勾股定理是初中几何的重要知识，是几何中的常用工具。初学时，很多同学常易犯各种各样的错误。下面仅选择几例，供同学们参考和借鉴，以免犯这类错误。【例 1】在 RtABC 中， a=3，b=4，求 c错解由勾股定理，得c=22ab=2243=5 诊断这里默认了C 为直角其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b a时， B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况当 B 为直角时， c=22ba=2243=7【例 2】已知RTABC 中， B=RT ,a=2,c=2 2,求 b. 错解由勾股定理，得B=22ca=22(2 2)( 2)=6诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a
2、2 b2=c2”殊不知，只有当C=Rt 时， a2b2=c2才能成立，而当B=Rt 时，则勾股定理的表达式应为a2c2=b2正确解答 B=Rt ，由勾股定理知a2 c2=b2b=22ca=22(2 2)( 2)=10【例 3】若直角三角形的两条边长为6cm、 8cm，则第三边长为_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载错解设第三边长为xcm由勾股定理，得x2=6282x=2268=3664=10 即第三边长为10cm诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边
3、，所以第三边可能是斜边，也可能是直角边正确解法设第三边长为xcm若第三边长为斜边，由勾股定理，得x=2268=3664=10(cm) 若第三边长为直角边，则8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得x=2286=28=2 7(cm) 因此，第三边的长度是10cm 或者2 7cm. 【例 4】如图，已知RtABC 中， BAC=90 ， AD 是高， AM 是中线，且AM=12BC=2 33AD. 又 RT ABC 的周长是 (6+23)cm.求 AD 错解 ABC 是直角三角形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备
4、欢迎下载AC:AB:BC=3:4:5 AC AB BC=3 4 5AC=312(6+23)=332AB=412(6+23)=62 33BC=512(6+23)=155 36又12ACAB=12BCADAD=ACABBC=3362 323155 36=(33)2(33)5(33)=25(3+3)(cm) 诊断我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系上述解法犯了以特殊代替一般的错误正确解法 AM=2 33ADMD=222(3)3ADAD=33AD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
5、3 页，共 6 页学习必备欢迎下载又 MC=MA ， CD=MD 点 C 与点 M 关于 AD 成轴对称AC=AM ， AMD=60 = C B=30 ,AC=12BC,AB=32BC AC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+2 3. BC=4 12BC=2 33AD, AD=12233BC=3(cm) 【例 5】在 ABC 中， abc=9 1512， 试判定 ABC 是不是直角三角形错解依题意，设a=9k，b=15k ，c=12k(k 0)a2b2=(9k)2 (15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，a2b2 c2 ABC 不是直角三角形诊断我们知道“如果一个三角
6、形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理正确解法由题意知b 是最长边设a=9k，b=15k ，c=12k(k 0)a2c2=(9k)2(12k)2=81k2144k2=225k2b2=(15k)2=225k2， a2c2=b2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载 ABC 是直角三角形【例 6】已知在ABC 中， AB AC ，AD 是中线， AE 是高求证：AB2AC2=2BCDE错证如图AEBC 于 E，AB2
7、=BE2AE2，AC2=EC2AE2AB2AC2=BE2EC2=(BE EC)(BEEC) =BC(BE EC)BD=DC ， BE=BC EC=2DC ECAB2AC2=BC (2DC ECEC)=2BC DE诊断题设中既没明确指出ABC 的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形所以高AE 既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误。剩下的两种情况如图所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页
8、学习必备欢迎下载，正确证明由读者自己完成【例 7】已知在ABC 中，三条边长分别为a，b， c， a=n，b=24n-1,c=244n(n 是大于 2 的偶数 )。求证 :ABC 是直角三角形。错证 1 n 是大于 2 的偶数，取n=4，这时a=4，b=3，c=5a2b2=4232=25=52=c2， ABC 是直角三角形(勾股定理的逆定理)由勾股定理知ABC 是直角三角形正解a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1 c2=(244n)2=(214n)2=416n+22n+1 由勾股定理的逆定理知，ABC 是直角三角形。诊断证明 1 错在以特殊取代一般精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
