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1、第1章 行列式 1.1 二阶与三阶行列式1.2 逆序与对换1.4 行列式的性质1.3 阶行列式的定义1.5 行列式按行（列）展开1.6 克莱姆法则1.1 二阶与三阶行列式对于二元一次方程组1.1.1 二阶行列式定义二阶行列式则当时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程组的解为即可用二阶行列式表示为例例1 解二元一次方程组解解：1.1.2 三阶行列式三阶行列式定义三阶行列式为:则三元一次方程组当时方程组的解可用三阶行列式表示为例例2 计算行列式解解:1.2 逆序与对换1.2.1 排列与逆序自然数组成的有序数组称为一个元排列,记为规定按从小到大的顺序排列的叫做标准排列（自然排列）.即排
2、列 为标准排列.定义定义1 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列 .的逆序数记为.计算排列逆序数的方法:对于排列,其逆序数为每个元素的逆序数之和.即对于排列中元素 ，如果比大且排在前面的元素有个，就说的逆序数为 ,全体元素的逆序数之和为 即例例3 求排列, 的逆序数.解解: 在排列, 中定义2 逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列.1.2.2 对换定义定义3 把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动就得到另一个排列,这样一个变换称为一个对换.对换改变排列的
3、奇偶性. 将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换,将一个偶排列变成标准排列需要偶数次对换.,是偶排列；,是奇排列.1.3 阶行列式的定义定义定义4 由个数组成数表从中选取处在不同行不同列的个元素相乘,其中为的一 个全排列,并冠以符号,则称和为阶行列式,记作或简记为 ,其中表示处在第行,第列位置的元素.例例4 计算行列式其中未写出部分全为零.解：解：在行列式的展开式中共有个乘积,显然如果 则必为零, 从而这个项也必为零,因此只须考虑的项.同理只须考虑 ,也即行列式的展开式中只有(其他的项乘积均为零),而 因而其符号为正.因此定义定义5 对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为下（上）三角行列式.
4、 由例4还可得出关于上、下三角行列式的如下结论:例例5 计算行列式解解: 在行列式的展开式中共有个乘积显然如果则必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑 的项.同理只须考虑,也即行列式的展开式中只有(其他的项乘积均为零),而，因此由例5还可得出下三角行列式的如下结论：因而其符号为 以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式加以注意并加强对它们的理解和应用. 行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.对于阶行列式,当 很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算几乎是不可能的.为此有必要对行列式的性质进行研究,从而简化行列式的计算.记 为行列式的转置行列式.1.4 行列式的性质称
5、行列式性质性质1 行列式与其转置行列式相等,即性质性质2 互换行列式的两行(列)元素,则行列式变号. 推论推论1 若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零.性性质3 行列式某行元素都乘以数等于用乘以行列式,即推推论2 由性质3知若行列式中某行(列)元素含有公因数可以将数提到行列式外.,则推论推论3 若行列式的某两行(列)元素对应成比例,则此行列式的性质性质4 若行列式的某一行(列)是两组数之和,则这个行列式可值为零.以写成两个行列式的和,即此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式.倍加到另外一行(列)的对应元素上去,行列式的值不变.即性质性质5 把行列式中某行(列)元素的的值,其中解
6、解: 例例6 计算行列式例例7 计算行列式的值,其中解法一解法一: 分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第一行得例例8 计算行列式的值,其中解法二解法二: 利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得的值,其中解解:例例9 计算行列式加到后一列上去得再将第三列乘以加到第四列上去，第二列乘以第三列上去得性质可得 .解解: 把前一列乘以加到由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的定义定义6 在 阶行列式 中划去元素所在的第 行和第 列的元素,剩下的阶的行列式,称为元素的余子式,.对 冠以符号后称为元素 的代数余子式,记为 ,即1.5.1 余子式与代数余子式1.5 行列式按行（列）
7、展开个元素按原来的排法构成一个记作引理引理 设是一个阶行列式，如果其中第 行所有元素除外都为零，那么这个行列式的值等于乘以它的代数，即余子式积之和,即这个定理称为行列式按行(列)展开法则1.5.2 行列式按行（列）展开定理定理1 行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘例例10 算行列式的值,其中解：解： 例例11 计算行列式的值，其中解：解： 为求的值.解: 为行列式按第二行的展开式,因此的值等于行列式例例12 设行列式而因此:推推论 阶行列式的的任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即或或作为定理1的推论,我们有：例13：设多项式.试求 的根.解法一
8、： 解得 的解为：解法二：由性质2推论3知，当时，故为的根。为由于的4次多项式，因此，只有4个根。 现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理定理2 如果线性方程组1.6 克莱姆法则1.6.1 克莱姆（Cramer）法则的系数构成的行列式那么线性方程组有解,并且解是惟一的,解可以由下式给出其中是行列式中第列换成方程组的常数项而得到的行列式. 此定理称为克莱姆法则,克莱姆法则主要解决方程个数与未知量个数相等的方程组的求解问题，而这类方程组又是非常特殊、非常重要的方程组.例例14 解方程组解解: 方程组的系数行列式所以方程组的唯一解为:.由克莱姆法则得:那么它只有零解.定理定理3 如果齐次线性方程组的系数构成的行列式1.6.2 克莱姆法则的推论定理定理4 若非齐次线性方程组无解或有多个解，则其系数行列式推推论 :如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式例例15 为何值时,方程组 有非零解. 解：解： 由以上推论知, 当齐次线性方程组有非零解时它的系数行列式,即.所以.不难验证,当时方程组确有非零解.例16 问取何值时，齐次线性方程组 有非零解？ 解：解： 由以上推论知, 当齐次线性方程组有非零解时它的系数行列式,即由得.不难验证，当时，该齐次线性方程组有非零解.
