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1、第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析一、系统稳定的充分与必要条件一、系统稳定的充分与必要条件稳定性：稳定性：传递函数的一般表达式：传递函数的一般表达式：(s)=b0sm+b1sm-1+bm-1s+bma0sn +a1sn-1+an-1s+anR(s)C(s)nmC(s)=1sK0(s z1)(s z2)(s zm)(s s1)(s s2)(s sn)系统输出拉系统输出拉 氏变换：氏变换： 系系统统受受外外作作用用力力后后,其其动动态态过过程程的的振振荡荡倾倾向向和和系系统统恢恢复复平衡的能力。平衡的能力。r(t)t0c(t)
2、稳定稳定不稳定不稳定A0=ss-s1+A1Ans-sn+系统单位阶跃响应：系统单位阶跃响应：c(t)=A0+A1es1t+Anesnt 稳定的系统其瞬态稳定的系统其瞬态 分量应均为零。分量应均为零。 即：即：lim esit0t 系统稳定的充分与必要条件：系统稳定的充分与必要条件： 系统所有特征根的实部小于零系统所有特征根的实部小于零,即特即特征方程的根位于征方程的根位于S左半平面。左半平面。二、劳斯稳定判据二、劳斯稳定判据 根根据据稳稳定定的的充充分分与与必必要要条条件件,求求得得特特征征方方程程的的根根,就就可可判判定定系系统统的的稳稳定定性性.但但对对于高阶系统求解方程的根比较困难。于高
3、阶系统求解方程的根比较困难。第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析 劳劳斯斯稳稳定定判判据据是是根根据据闭闭环环传传递递函函数数特特征征方方程程式式的的各各项项系系数数,按按一一定定的的规规则则排排列列成成劳劳斯斯表表，根根据据表表中中第第一一列列系系数数正正负负符符号的变化情况来判别系统的稳定性。号的变化情况来判别系统的稳定性。下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。 根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：设系统的特征方程为设系统的特征方程为a0sn +a1sn-1
4、+ +an-1s+an=0 a0 a2 a4 a1 a3 a5 b42 sn-3 s0 sn sn-1 sn-2 b31 b32 b33 b31= a1a2 -a0a3 a1 b41 b32= a1a4 -a0a5 a1 b41= b31a3 -b32a1 b31 b42= b31a5 -b33a1 b31 b43 bn+1 第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析系统稳定的条件：系统稳定的条件： (1) 特征方程式各项特征方程式各项 系数都大于零。系数都大于零。 (2) 劳斯表中第一劳斯表中第一列列 元元 素均为正值。素均为正
5、值。 第一列元素符号改变的次第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。数等于不稳定根的个数。 例例 已知系统的特征方程，试判断该系统已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。的稳定性。解：解： s4+2s3+3s2+4s+5=0劳斯表如下：劳斯表如下： 1 3 5 s1 s0 s4 s3 s2 b31 b32 b41 b51 2 4 b31= 2*3 -1*4 2 =11 b32= 2*5 -1*0 2 = 55 b41= 1*4 -2*5 1 =-6-6 b51= -6*5 -1*0 -6 = 55有两个正实部根，系统不稳定。有两个正实部根，系统不稳定。第五节第五节第五节第五节 控制系统
6、的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析例例 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数数K的取值范围。的取值范围。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)-R(s)C(s)闭环传递函数闭环传递函数(s)=s(0.1s+1)(0.25s+1)+KK特征方程特征方程:s3+14s2+40s+40K=0第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析解：解： 劳斯表劳斯表: 1 40 s3 s2 14 40K s1 b31 b31= 14*40 -1*40K 14 s0 b41 40
7、K 系统稳定的条件系统稳定的条件:0560-40K040K014K0 如如果果劳劳斯斯表表中中某某行行的的第第一一个个元元素素为为零零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。表示系统中有纯虚根，系统不稳定。第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析下面举例说明下面举例说明: 该该行行中中其其余余各各元元素素不不等等于于零零或或没没有有其他元素，将使得劳斯表无法排列。其他元素，将使得劳斯表无法排列。 此此时时，可可用用一一个个接接近近于于零零的的很很小小的的正正数数来代替零，完成劳斯表的排列。来代替零，完成劳斯表的排列。例例 已知系统的特
8、征方程，试判断系已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。统的稳定性。劳斯表为劳斯表为:系统有一对纯虚根系统有一对纯虚根 s3+2s2+s+2=0解：解： 1 1 s3 s2 2 2 s1 b31 =0 s0 b41 2 通过因式分解验证通过因式分解验证:s3+2s2+s+2=0(s+2)(s2+1)=0s1=-2s2.3=j第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析 b31= 2*1 -2*1 2 ( ) =2 b41= -2*0 2* 不稳定不稳定 例例 已知系统的特征方程已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定试用劳斯判据确定
9、方程的根在方程的根在s平面上的分布。平面上的分布。解：解：s3-3s+2=0方程中的系数有负值，系统不稳定。方程中的系数有负值，系统不稳定。劳斯表为劳斯表为: 1 -3 s3 s2 0 2 s1 b31 b31= s0 b41 2 通过因式分解验证通过因式分解验证:s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0s1.2=1s3=-2第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析- -2-30 b31 - = - 第一列元素的符号变化了第一列元素的符号变化了 两次两次,有一对不稳定根。有一对不稳定根。 如如果果劳劳斯斯表表中中某某一一行行的
10、的元元素素全全为为零零，表表示示系系统统中中含含有有不不稳稳定定的的实实根根或或复复数数根根。系统不稳定。系统不稳定。第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析下面举例说明下面举例说明: 此此时时，应应以以上上一一行行的的元元素素为为系系数数，构构成成一一辅辅助助多多项项式式，该该多多项项式式对对s求求导导后后，所所得得多多项项式式的的系系数数即即可可用用来来取取代代全全零零行行。同时由辅助方程可以求得这些根。同时由辅助方程可以求得这些根。例例 已知控制系统特征方程已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。判断系统稳定性。由为零上一行
11、的元素由为零上一行的元素 组成辅助多项式：组成辅助多项式：s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：解：劳斯表为劳斯表为: 1 8 20 16 s6 s5 2 12 16 s4 2 s3 0 1612P(s)=2s4+12s2+16dP(s)ds=8s3+24s代入代入0824s2 1668/3s1 s0 16劳斯表中某行同乘以某正数，劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。不影响系统稳定性的判断。系统有虚根系统有虚根,不稳定。不稳定。第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析三、结构性不稳定系统
12、的改进措施三、结构性不稳定系统的改进措施 调整系统的参数无法使其稳定，则称调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。这类系统为结构不稳定系统。Ks2(Ts+1)-R(s)C(s)如：如：(s)=Ts3+s2+KK闭环传递函数：闭环传递函数：Ts3+s2+K=0特征方程是式：特征方程是式： 由于特征方程中少了由于特征方程中少了s项，无论项，无论K取何值取何值系统总是不稳定。系统总是不稳定。第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析解决的方法有以下两种：解决的方法有以下两种：1改变环节的积分性质改变环节的积分性质积分环
13、节外加单位负反馈积分环节外加单位负反馈,系统结构图为系统结构图为:Ks(Ts+1)-R(s)1s-C(s)G(s)=s(Ts+1)(s+1)K1s+1=第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析11+s1sC(s)R(s)=s(Ts+1)(s+1)+KK系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为特征方程式特征方程式:Ts3+(1+T)s2+s+K=0劳斯表劳斯表: T 1 s3 1+T K s2 s1 K s0 1+T-TK 1+T 系统稳定的条件系统稳定的条件1+T-TK0K0K0 1+T T 2加入比例微分环节加入比例微分环节
14、系统中加入比例微分环节结构图系统中加入比例微分环节结构图系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数:第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析Ks2(Ts+1)R(s)s+1-C(s)G(s)=)(K Ks+1s2(Ts+1)(s)=Ts3+s2+Ks+1)K(s+K劳斯表劳斯表:s3 T K 1 K s2 s1 K( -T) K s0 系统稳定的条件系统稳定的条件:K0-T0即即TK0精品课件精品课件！精品课件精品课件！作业习题：作业习题：3-11 (1) (3)3-14第五节第五节第五节第五节 控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分控制系统的稳定性分析析析析返回返回3-13
