《第02讲 轴对称-最短路径问题（知识解读+达标检测）-2023-2024学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）【含答案】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第02讲 轴对称-最短路径问题（知识解读+达标检测）-2023-2024学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）【含答案】（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、试卷第 1 页，共 12 页第第 02 讲讲 轴对称轴对称-最短路径问题最短路径问题【题型【题型 1：两定一动：两定一动-作图】作图】【题型【题型 2：两定一动：两定一动-求周长求周长/线段和最小值线段和最小值/角度】角度】【题型【题型 3：一定两动：一定两动-求线段和求线段和/周长周长/角度最小】角度最小】【题型【题型 4：一定两动：一定两动-求角度】求角度】基本图模基本图模1已知：如图，定点 A、B 分布在定直线 l 两侧；要求：在直线 l 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小的值最小 解：连接连接 AB 交直线交直线 l 于点于点 P，点，点 P 即为所求即为所求，PA+PB 的最小值
2、即为线段 AB 的长度理由：在 l 上任取异于点 P 的一点 P，连接 AP、BP，在ABP中，AP+BPAB，即 AP+BPAP+BPP 为直线 AB 与直线 l 的交点时，PA+PB 最小2已知：如图，定点 A 和定点 B 在定直线 l 的同侧要求：在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 值最小值最小（或（或ABP 的周长最小）的周长最小）#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 2 页，共 12 页解：作点作点 A 关于直线关于直线 l 的对称点的对称点 A，连接，连接 AB 交交 l 于于 P，点，点 P 即
3、为所求即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线 l 为线段 AA的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA，要使 PA+PB 最小，则需 PA+PB 值最小，从而转化为模型 1方法总结：方法总结：1两点之间，线段最短；两点之间，线段最短；2三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3中垂线上的点到线段两端点的距离相等；中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4垂线段最短垂线段最短【题型【题型 1：两定一动：两定一动-作图】作图】【典例 1】1人教版八年级上册课本第 85 页中有下面这道题：小明同学按照下面的方法解决了这个问题：如图，过点 A 作AEl，延
4、长AE至 D，使AEDE=，连接BD，交直线 l 于点 C，连接AC，此时BD最短，根据对称可知：ACCD=，此时ACBCBD+=最短请你帮助小明解决如下问题：过点 B 作BFl，垂足为 F，若100AE=米，300BF=米，#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 3 页，共 12 页300EF=米，求BD的长 【变式 1-1】2如图：直线 m 表示一条公路，A、B 表示两所大学，要在公路 m 上修建一个车站 P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点 P 的位置【变式 1-2】3在OA、OB分别有两个动点M、N
5、，网格内有一固定点P，要使得PMNV周长最小，请在图中规范地做出M、N两点的位置，并说明理由【变式 1-3】4如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为2km和7km，且A、B两村相距13km (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 4 页，共 12 页(2)若铺设水管的费用为每千米4500元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？【题型【题型 2：两定一动：两定一动-求周长求周长/
6、线段和最小值线段和最小值/角度】角度】【典例 2】5如图，ABCV是等腰三角形，底边BC的长为 6，面积是 30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点 E、F若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDMV周长的最小值是（）A11B13C18D24【变式 2-1】6如图，在ABCV中，2AC=，3AB=，3.5BC=，BC的垂直平分线MN交AB于点 D，P 是直线MN上的任意一点，则PAPC+的最小值是（）A2B3C3.5D4.5【变式 2-2】（2023 春老城区校级月考）7如图，等腰三角形ABC的底边BC长为 4，面积是 16，腰AC的垂直平分线EF分别交ACAB，边于 E，
7、F 点若点 D 为BC边的中点，点 M 为线段EF上一动点，则CDMV周长的最小值为（）#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 5 页，共 12 页A6B8C10D12【变式 2-3】8如图，等腰ABCV的底边BC的长为 6，面积是 18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于 E，F 点若点 D 为BC边的中点，点 M 为线段EF上一动点，则CDMV的周长的最小值为（）A6B8C9D10【变式 2-4】（2023新荣区三模）9如图，ABCV是等边三角形，AD是BC边上的高，点 E 是AC边的中点，点 P 是AD上
8、的一个动点，当PCPE+最小时，PCD的度数是（）A90B60C45D30【题型【题型 3：一定两动：一定两动-求线段和求线段和/周长周长/角度最小】角度最小】【典例 3】10 已知30AOB=，在AOB内有一定点 P，点 M，N 分别是OA，OB上的动点，若PMNV的周长最小值为 3，则OP的长为（）#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 6 页，共 12 页A1.5B3C3 3D3 2【变式 3-1】（2023紫金县校级开学）11如图，点 P 是AOB 内任意一点，OP=6cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA
9、和射线 OB 上的动点，若PMN 周长的最小值是 6 cm，则AOB 的度数是（）A15B30C45D60【典例 4】（2023 春市中区期末）12如图，在RtABC中，90,6,8ACBACBC=，10,ABAD=是BAC的平分线若,P Q分别是AD和AC上的动点，则PCPQ+的最小值是（）A2.4B4.8C4D5【变式 4-1】（2023 春高州市月考）13如图，在ABC 中，ABAC10，BC12，AD8，AD 是BAC 的平分线若 P，Q分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是（）#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg
10、0KPhlATCA=#试卷第 7 页，共 12 页A4.8B9.6C8D6【变式 4-2】14如图，在Rt ABCV中，90ACB=，3AC=，4BC=，5AB=，AD是BAC的平分线，若 P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PCPQ+的最小值是（）A2.4B3C4.8D5【题型【题型 4：一定两动：一定两动-求角度】求角度】【典例 5】15如图，在四边形ABCD中，Ca=，90BD=，E，F 分别是BC，DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为（）AaB2aC180a-D1802a-【变式 6-1】16如图，在四边形 ABCD 中，72,90CBD=，M，N 分别是 BC，DC 上的
11、点，当AMNV的周长最小时，MAN的度数为（）#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 8 页，共 12 页A72B36C108D38【变式 6-2】17如图，在四边形ABCD中，9040BDA=，M，N 分别是边ABAD，上的动点，当MCN的周长最小时，MCN的大小是（）A50B70C90D100【变式 6-3】18如图，在四边形 ABCD 中，A=C=90，B=，在 AB、BC 上分别找一点 E、F，使DEF 的周长最小此时，EDF=()AB1902a-C2aD180-2一选择题（共一选择题（共 9 小题）小题）19
12、如图，A、B 是两个居民小区，快递公司准备在公路 l 上选取点 P 处建一个服务中心，使 PA+PB 最短下面四种选址方案符合要求的是（）#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 9 页，共 12 页A B C D 20如图，在RtABC中，90ACB=，6AC=，8BC=，10AB=，如果点 D，E 分别为BC，AB上的动点，那么ADDE+的最小值是（）A8.4B9.6C10D10.821四边形ABCD中，122=BAD，90BD=，在BCCD、上分别找一点 M、N，当AMNV的周长最小时，MAN的度数为（）#QQAB
13、T4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 10 页，共 12 页 A58B64C61D7422如图，45MON=，P 为MON内一点，A 为OM上一点，B 为ON上一点，当PABV的周长取最小值时，APB的度数为（）A45B90C100D13523如图，在ABCV中，ABAC=，90A=，点 D，E 是边AB上的两个定点，点 M，N分别是边AC，BC上的两个动点当四边形DEMN的周长最小时，DNMEMN+的大小是（）A45B90C75D13524 如图，A 村和 B 村之间有一条河流，为实现乡村振兴，某乡镇想在河堤两岸搭建一座桥，
14、搭建路线最短的是（）APMBPNCPCDPQ25如图，在等边ABCV中，点 E 是AC边的中点，点 P 是ABCV的中线AD上的动点，且#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 11 页，共 12 页8AD=，则EPCP+的最小值是（）A10B9C8D726如图，60AOB=，点M为AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上、当PMNV周长最小时，MPN的度数是（）A120B60C30D9027如图，在锐角ABCV中，40C=；点 P 是边AB上的一个定点，点 M、N 分别是AC和BC边上的动点，当PMNV的周长最小时，M
15、PN的度数是（）A90oB100C110D80二填空题（共二填空题（共 2 小题）小题）28如图，在四边形ABCD中，105BAD=，90BD=，在BC，CD上分别找一个点 M，N，使AMNV的周长最小，则AMNANM+=29如图，在锐角ABC 中，BC=4，ABC=30，ABD=15，直线 BD 交边 AC 于点 D，点 P、Q 分别在线段 BD、BC 上运动，则 PQ+PC 的最小值是#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 12 页，共 12 页三解答题（共三解答题（共 2 小题）小题）30如图，某小区的两个喷泉
16、A，B 位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250m现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点 M 在小路AC上，供水点 M 到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m(1)求供水点 M 到喷泉 A，B 需要铺设的管道总长；(2)求喷泉 B 到小路AC的最短距离31 如图，两个村庄 A、B 在河CD的同侧，A、B 两村到河的距离分别为1AC=千米，3BD=千米，3CD=千米.现要在河边CD上建造一水厂，向 A、B 两村送自来水（水管需直接到A、B 村）.(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）：(2)如果铺设水管的工程费用为每千米 20000 元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#答案第 1 页，共 23 页1500 米【分析】过点 D 作DGBF交BF的延长线于点 G，然后根据勾股定理求解即可【详解】如图所示，过点 D 作DGBF交BF的延长线于点 G，由题意可得，300DGEF=米，100FGDEA
