《第02讲 轴对称-最短路径问题(知识解读+达标检测)-2023-2024学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》(北师大版)【含答案】》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第02讲 轴对称-最短路径问题(知识解读+达标检测)-2023-2024学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》(北师大版)【含答案】(35页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、试卷第 1 页,共 12 页第第 02 讲讲 轴对称轴对称-最短路径问题最短路径问题【题型【题型 1:两定一动:两定一动-作图】作图】【题型【题型 2:两定一动:两定一动-求周长求周长/线段和最小值线段和最小值/角度】角度】【题型【题型 3:一定两动:一定两动-求线段和求线段和/周长周长/角度最小】角度最小】【题型【题型 4:一定两动:一定两动-求角度】求角度】基本图模基本图模1已知:如图,定点 A、B 分布在定直线 l 两侧;要求:在直线 l 上找一点 P,使 PA+PB 的值最小的值最小 解:连接连接 AB 交直线交直线 l 于点于点 P,点,点 P 即为所求即为所求,PA+PB 的最小值
2、即为线段 AB 的长度理由:在 l 上任取异于点 P 的一点 P,连接 AP、BP,在ABP中,AP+BPAB,即 AP+BPAP+BPP 为直线 AB 与直线 l 的交点时,PA+PB 最小2已知:如图,定点 A 和定点 B 在定直线 l 的同侧要求:在直线 l 上找一点 P,使得 PA+PB 值最小值最小(或(或ABP 的周长最小)的周长最小)#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 2 页,共 12 页解:作点作点 A 关于直线关于直线 l 的对称点的对称点 A,连接,连接 AB 交交 l 于于 P,点,点 P 即
3、为所求即为所求;理由:根据轴对称的性质知直线 l 为线段 AA的中垂线,由中垂线的性质得:PA=PA,要使 PA+PB 最小,则需 PA+PB 值最小,从而转化为模型 1方法总结:方法总结:1两点之间,线段最短;两点之间,线段最短;2三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;3中垂线上的点到线段两端点的距离相等;中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4垂线段最短垂线段最短【题型【题型 1:两定一动:两定一动-作图】作图】【典例 1】1人教版八年级上册课本第 85 页中有下面这道题:小明同学按照下面的方法解决了这个问题:如图,过点 A 作AEl,延
4、长AE至 D,使AEDE=,连接BD,交直线 l 于点 C,连接AC,此时BD最短,根据对称可知:ACCD=,此时ACBCBD+=最短请你帮助小明解决如下问题:过点 B 作BFl,垂足为 F,若100AE=米,300BF=米,#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 3 页,共 12 页300EF=米,求BD的长 【变式 1-1】2如图:直线 m 表示一条公路,A、B 表示两所大学,要在公路 m 上修建一个车站 P,使其到两所大学的距离之和最小,请在图上确定点 P 的位置【变式 1-2】3在OA、OB分别有两个动点M、N
5、,网格内有一固定点P,要使得PMNV周长最小,请在图中规范地做出M、N两点的位置,并说明理由【变式 1-3】4如图,要在河边修一个水泵站,分别向A、B两村送水,已知A、B两村到江边的距离分别为2km和7km,且A、B两村相距13km (1)水泵站应修建在何处,可使所用水管最短,请在图中设计出水泵站P的位置;#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 4 页,共 12 页(2)若铺设水管的费用为每千米4500元,为了使铺设水管费用最节省,请求出最节省铺设水管的费用为多少元?【题型【题型 2:两定一动:两定一动-求周长求周长/
6、线段和最小值线段和最小值/角度】角度】【典例 2】5如图,ABCV是等腰三角形,底边BC的长为 6,面积是 30,腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点 E、F若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则CDMV周长的最小值是()A11B13C18D24【变式 2-1】6如图,在ABCV中,2AC=,3AB=,3.5BC=,BC的垂直平分线MN交AB于点 D,P 是直线MN上的任意一点,则PAPC+的最小值是()A2B3C3.5D4.5【变式 2-2】(2023 春老城区校级月考)7如图,等腰三角形ABC的底边BC长为 4,面积是 16,腰AC的垂直平分线EF分别交ACAB,边于 E,
7、F 点若点 D 为BC边的中点,点 M 为线段EF上一动点,则CDMV周长的最小值为()#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 5 页,共 12 页A6B8C10D12【变式 2-3】8如图,等腰ABCV的底边BC的长为 6,面积是 18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于 E,F 点若点 D 为BC边的中点,点 M 为线段EF上一动点,则CDMV的周长的最小值为()A6B8C9D10【变式 2-4】(2023新荣区三模)9如图,ABCV是等边三角形,AD是BC边上的高,点 E 是AC边的中点,点 P 是AD上
8、的一个动点,当PCPE+最小时,PCD的度数是()A90B60C45D30【题型【题型 3:一定两动:一定两动-求线段和求线段和/周长周长/角度最小】角度最小】【典例 3】10 已知30AOB=,在AOB内有一定点 P,点 M,N 分别是OA,OB上的动点,若PMNV的周长最小值为 3,则OP的长为()#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 6 页,共 12 页A1.5B3C3 3D3 2【变式 3-1】(2023紫金县校级开学)11如图,点 P 是AOB 内任意一点,OP=6cm,点 M 和点 N 分别是射线 OA
9、和射线 OB 上的动点,若PMN 周长的最小值是 6 cm,则AOB 的度数是()A15B30C45D60【典例 4】(2023 春市中区期末)12如图,在RtABC中,90,6,8ACBACBC=,10,ABAD=是BAC的平分线若,P Q分别是AD和AC上的动点,则PCPQ+的最小值是()A2.4B4.8C4D5【变式 4-1】(2023 春高州市月考)13如图,在ABC 中,ABAC10,BC12,AD8,AD 是BAC 的平分线若 P,Q分别是 AD 和 AC 上的动点,则 PC+PQ 的最小值是()#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg
10、0KPhlATCA=#试卷第 7 页,共 12 页A4.8B9.6C8D6【变式 4-2】14如图,在Rt ABCV中,90ACB=,3AC=,4BC=,5AB=,AD是BAC的平分线,若 P,Q 分别是AD和AC上的动点,则PCPQ+的最小值是()A2.4B3C4.8D5【题型【题型 4:一定两动:一定两动-求角度】求角度】【典例 5】15如图,在四边形ABCD中,Ca=,90BD=,E,F 分别是BC,DC上的点,当AEF的周长最小时,EAF的度数为()AaB2aC180a-D1802a-【变式 6-1】16如图,在四边形 ABCD 中,72,90CBD=,M,N 分别是 BC,DC 上的
11、点,当AMNV的周长最小时,MAN的度数为()#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 8 页,共 12 页A72B36C108D38【变式 6-2】17如图,在四边形ABCD中,9040BDA=,M,N 分别是边ABAD,上的动点,当MCN的周长最小时,MCN的大小是()A50B70C90D100【变式 6-3】18如图,在四边形 ABCD 中,A=C=90,B=,在 AB、BC 上分别找一点 E、F,使DEF 的周长最小此时,EDF=()AB1902a-C2aD180-2一选择题(共一选择题(共 9 小题)小题)19
12、如图,A、B 是两个居民小区,快递公司准备在公路 l 上选取点 P 处建一个服务中心,使 PA+PB 最短下面四种选址方案符合要求的是()#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 9 页,共 12 页A B C D 20如图,在RtABC中,90ACB=,6AC=,8BC=,10AB=,如果点 D,E 分别为BC,AB上的动点,那么ADDE+的最小值是()A8.4B9.6C10D10.821四边形ABCD中,122=BAD,90BD=,在BCCD、上分别找一点 M、N,当AMNV的周长最小时,MAN的度数为()#QQAB
13、T4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 10 页,共 12 页 A58B64C61D7422如图,45MON=,P 为MON内一点,A 为OM上一点,B 为ON上一点,当PABV的周长取最小值时,APB的度数为()A45B90C100D13523如图,在ABCV中,ABAC=,90A=,点 D,E 是边AB上的两个定点,点 M,N分别是边AC,BC上的两个动点当四边形DEMN的周长最小时,DNMEMN+的大小是()A45B90C75D13524 如图,A 村和 B 村之间有一条河流,为实现乡村振兴,某乡镇想在河堤两岸搭建一座桥,
14、搭建路线最短的是()APMBPNCPCDPQ25如图,在等边ABCV中,点 E 是AC边的中点,点 P 是ABCV的中线AD上的动点,且#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 11 页,共 12 页8AD=,则EPCP+的最小值是()A10B9C8D726如图,60AOB=,点M为AOB内一点,点M、N分别在OA、OB上、当PMNV周长最小时,MPN的度数是()A120B60C30D9027如图,在锐角ABCV中,40C=;点 P 是边AB上的一个定点,点 M、N 分别是AC和BC边上的动点,当PMNV的周长最小时,M
15、PN的度数是()A90oB100C110D80二填空题(共二填空题(共 2 小题)小题)28如图,在四边形ABCD中,105BAD=,90BD=,在BC,CD上分别找一个点 M,N,使AMNV的周长最小,则AMNANM+=29如图,在锐角ABC 中,BC=4,ABC=30,ABD=15,直线 BD 交边 AC 于点 D,点 P、Q 分别在线段 BD、BC 上运动,则 PQ+PC 的最小值是#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#试卷第 12 页,共 12 页三解答题(共三解答题(共 2 小题)小题)30如图,某小区的两个喷泉
16、A,B 位于小路AC的同侧,两个喷泉的距离AB的长为250m现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点 M 在小路AC上,供水点 M 到AB的距离MN的长为120m,BM的长为150m(1)求供水点 M 到喷泉 A,B 需要铺设的管道总长;(2)求喷泉 B 到小路AC的最短距离31 如图,两个村庄 A、B 在河CD的同侧,A、B 两村到河的距离分别为1AC=千米,3BD=千米,3CD=千米.现要在河边CD上建造一水厂,向 A、B 两村送自来水(水管需直接到A、B 村).(1)水厂应修建在什么地方,可使所用的水管最短(请你在图中设计出水厂的位置):(2)如果铺设水管的工程费用为每千米 20000 元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?#QQABT4Skhmi4gBzhyBB6AQ1Ai0kx0BXS5q5ulxaGeg0KPhlATCA=#答案第 1 页,共 23 页1500 米【分析】过点 D 作DGBF交BF的延长线于点 G,然后根据勾股定理求解即可【详解】如图所示,过点 D 作DGBF交BF的延长线于点 G,由题意可得,300DGEF=米,100FGDEA