《第3题数量积的运算与极化恒等式（高一期末每日一题）[答案]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3题数量积的运算与极化恒等式（高一期末每日一题）[答案]（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、试卷第 1 页，共 6 页第第 3 题题 数量积的运算与极化恒等式数量积的运算与极化恒等式（22-23 高一下高一下全国全国期末）期末）在边长为 2 的正方形中，动点 P，Q 在线段上，且2PQ=，则的最小值为（）A2 B C1 D方法一：设PQ的中点为可得化简后可求出其最小值；方法二：建立平面直角坐标系设,2P aa-化简后可求得其最小值.详解模板总结方法一：设PQ的中点为，则1.极化恒等式适用于从同一点出发的两个向量的数量积计算极化恒等式适用于从同一点出发的两个向量的数量积计算，利用向量的线性运算表示出两个向量，转换为#QQABa0A0hmC4gB6gyQB6cQUwzwkx0AXSZSx
2、uk0aKaU0atltADAA=#试卷第 2 页，共 6 页（当为中点时取等号）.方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设,2P aa-，因为在边长为 2 的正方形中，动点 P，Q 在线段上，且2PQ=，所以，0,22a-，所以，所以当222a-=时，有最小值 1.故选：C.线段的长度，回避了向量的夹角；2.利用坐标法计算数量积坐标法计算数量积，首先要建系建系（有垂直关系的位置可以建系），然后表示出待求向量，直接利用向量的坐标运算法则利用向量的坐标运算法则直接求解.（1）、向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，#QQABa
3、0A0hmC4gB6gyQB6cQUwzwkx0AXSZSxuk0aKaU0atltADAA=#试卷第 3 页，共 6 页2214a bADBC=-r ruuuruuu r，即为极化恒等式.（2）极化恒等式适用于从同一点出发的两个向量的数量积计算.（23-24 高一下高一下重庆沙坪坝重庆沙坪坝期中联考）期中联考）1向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：2214a bADBC=-r ruuuruuu r，我们称为极化恒等式.在ABC中，M是BC中点，3AM=，10BC=，则AB AC=uuu r uuur（）A32B-32C
4、16D-16（23-24 高一下高一下广东潮州广东潮州联考）联考）阅读以下材料，解决本题：我们知道222()2abaa bb=rrrr rr；222()2abaa bb-=-rrrr rr.由-得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，为中点.#QQABa0A0hmC4gB6gyQB6cQUwzwkx0AXSZSxuk0aKaU0atltADAA=#试卷第 4 页，共 6 页(1)若，求的面积；(2)若2AEEC=uuu ruuu r，求CB CDuuu r uuu r的值；(3)若为平面内一点，求的最小值.
5、（1）利用数量积的定义求出AB ADuuu r uuur再利用三角形面积公式1sin2ABDSAB ADBAD=uuu r uuur直接求解；（2）根据“极化恒等式”分别列出式子计算即可；（3）连接，取的中点H，连接将转化为2PA PBPDPA PE=uuu r uuu ruuu ruuu r uuu r利用“极化恒等式”列出式子求最值.详解模板总结（1）因为48AB AD=uuu r uuur，所以，即，所以，又，所以5sin13BAD=，所以；（2）因为48AB AD=uuu r uuur，1.利用数量积定义求出AB ADuuu r uuur2.在解三角形中去三角形的面积通常利用1sin2
6、SabC=，出现哪个角就利用哪个角对应的面积公#QQABa0A0hmC4gB6gyQB6cQUwzwkx0AXSZSxuk0aKaU0atltADAA=#试卷第 5 页，共 6 页由极化恒等式得，所以，又2AEEC=uuu ruuu r，所以216ECAE=，由极化恒等式得；（3）连接，取的中点H，连接，由，142EHAE=，则 22PA PBPDPAPEPA PE=uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r，所以当点与H重合时，.式；3.利用极化恒等式AB AD=uuu r uuur224BDAE=-.求数量积的常用方法：（1）定义法：,cosa ba ba
7、b=r rr rr r；（2）坐标法：若11,ax y=r，22,bxy=r，则1212a bx xy y=r r；#QQABa0A0hmC4gB6gyQB6cQUwzwkx0AXSZSxuk0aKaU0atltADAA=#试卷第 6 页，共 6 页（3）利用极化恒等式求解：22()()4ababa b-=rrrrr r.（22-23 高一下高一下江苏常州江苏常州期中联考）期中联考）2阅读一下一段文字：2222222,2 abaabbabaabb=-=-uvuvvvvvvvvvvv，两式相减得：222214 4abababababab-=-vvvvvvvvvvvv，我们把这个等式称作“极化恒等
8、式”它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算试解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点（1）若5,4ADBC=，求AB ACuuu r uuu r的值；（2）若4AB AC=uuu r uuur，1FB FC=-uuu r uuu r，求EB ECuuu r uuu r的值#QQABa0A0hmC4gB6gyQB6cQUwzwkx0AXSZSxuk0aKaU0atltADAA=#答案第 1 页，共 1 页1D【分析】由题设有3AM=uuuu r，|10BC=uuu r代入极化恒等式求AB ACuuu r uuu r即可.
9、【详解】由题设，|3AM=uuuu r，|10BC=uuu r，2211(4|)(36 100)1644AB ACAMBC=-=-=-uuu r uuuruuuu ruuu r.故选：D2（1）21；（2）78.【分析】（1）利用极化恒等式，即可求解.(2)根据条件解出 m、n 即可求解.【详解】解：（1）由“极化恒等式”知：222211()()2542144AB ACABACABACADCB=-=-=-=uuu r uuuruuu ruuuruuu ruuuruuuruuu r；（2）设3,2(0,0)ADm BCn mn=，因为4AB AC=uuu r uuur由（1）知222214944ADCBmn-=-=uuuruuu r，因为1FB FC=-uuu r uuu r同理可得22221114FDCBmn-=-=-uuu ruuu r，由解得22513,88mn=，于是有222212013744888EB ECEDBCmn=-=-=-=uuu r uuu ruuu ruuu r.#QQABa0A0hmC4gB6gyQB6cQUwzwkx0AXSZSxuk0aKaU0atltADAA=#
